Produit scalaire

• Le concept de produit scalaire est apparu tardivement, au milieu du XIXe siècle, grâce au mathématicien allemand Hermann Grassmann et a été baptisé ainsi par William Hamilton en 1853.
• La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique.

Définitions

• Si A et B sont deux points, la norme du vecteur AB, notée ||AB||, correspond à la distance AB.
• Le produit scalaire de AB par AC, noté AB.AC, est un nombre réel défini par : AB.AC = AB × AC × cos(BAC).

Propriété

• AB.AB = AB² = ||AB||² = AB²

Remarques

• u. v se lit « u scalaire v ».
• Si l'un des vecteurs u et v est nul, alors u. v = 0.

Propriétés

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.
• Si l'on écrit par exemple u.v = 0, cela est une maladresse à éviter.

Propriété de symétrie

• u . v = v . u

Propriétés de bilinéarité

• u.(v + w) = u.v + u.w
• u . (kv) = k u . v, où k est un nombre réel.

Identités remarquables

• (u + v)² = u² + 2u.v + v² → On peut également écrire : ||u + v||² = ||u||² + 2u.v + ||v||²
• (u – v)² = u² – 2u.v + v²
• (u + v) . (u – v) = u² – v²

Produit scalaire et norme

• Soit A, B et C trois points. On a: AB. AC = 1/2 (AB² + AC² – BC²)

Théorème d'Al Kashi

• Dans un triangle ABC, a² = b² + c² - 2bc cos(A)
• Démonstration au programme: AB. AC = AB × AC × cos(Â) = bc cos(Â)
• AB. AC = 1/2 (AB² + AC² – BC²) = 1/2 (b² + c² – a²)
• Conclusion: b² + c² – a²) = bc cos(A), soit b² + c² — a² = 2 bc cos(A), donc a² = b² + c² – 2bc cos(A)

Produit scalaire et orthogonalité

• Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u.v=0.
• Démonstration: Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.
• En supposant le contraire: u.v=0 ⇔ ||u|| x ||v|| × cos(u; v) = 0, avec cos(u; v) = 0 ➡ Les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Projeté orthogonal

• Définition: Soit une droite d et un point M.
• Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.
• Propriété: Soit OA et OB deux vecteurs non nuls.
• H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA), par conséquent: OA. OB = OA. OH
• Démonstration: OA. OB = OA. (OH + HB), d'après la relation de Chasles, et donc = OA. OH + OA. HB = OA. OH, car les vecteurs OA et HB sont orthogonaux, donc OA. HB = 0.

Transformation de l'expression MA. MB

• L'ensemble des points M vérifiant l'égalité MA. MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
• Démonstration : Soit O le milieu du segment [AB].
• On a: MA. MB = 0 ⇔ (MO + OA). (MO + OB) = 0.
• Sachant que O est le milieu de [AB], on a : OB = −OA soit: (MO + OA). (MO – OA) = 0 ⇔ MO² – OA² = 0. Ainsi (u + v). (u – v) = u² – v² et MO2 - OA2 = 0.
• Conclusion: MO2 = OA2 soit encore MO = OA.
• M appartient donc au cercle de centre O et de rayon OA, c'est-à-dire le cercle de diamètre [AB].

Produit scalaire dans un repère orthonormé

• Dans cette partie, le plan est muni d'un repère orthonormé (0 ; i,j).
• Soit u (x, y) et v (x', y')
• Deux vecteurs: u.v = xx' + yy'.