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Questions and Answers
Si $P(X) = X^3 - 2X^2 + X$ et $Q(X) = 2X + 1$, quelle est la valeur de $\deg(P \circ Q)$ ?
Si $P(X) = X^3 - 2X^2 + X$ et $Q(X) = 2X + 1$, quelle est la valeur de $\deg(P \circ Q)$ ?
Si $P$ et $Q$ sont deux polynmes avec $\deg(P) = m$ et $\deg(Q) = n$, quelle est la valeur de $\deg(P + Q)$ si $m > n$ ?
Si $P$ et $Q$ sont deux polynmes avec $\deg(P) = m$ et $\deg(Q) = n$, quelle est la valeur de $\deg(P + Q)$ si $m > n$ ?
Quel est le degr du polynme driv de $P(X) = 3X^4 - 2X^3 + 5X - 1$ ?
Quel est le degr du polynme driv de $P(X) = 3X^4 - 2X^3 + 5X - 1$ ?
Si $A = X^4 + 2X^3 - X^2$ et $B = X^2 + 1$, quel est le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ ?
Si $A = X^4 + 2X^3 - X^2$ et $B = X^2 + 1$, quel est le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ ?
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Soit $P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1$. Quel est l'ordre de multiplicit de la racine $x = 1$ ?
Soit $P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1$. Quel est l'ordre de multiplicit de la racine $x = 1$ ?
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Quel est le degr du polynme $P(X)=3+5X^2-7X^5$ ?
Quel est le degr du polynme $P(X)=3+5X^2-7X^5$ ?
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Quel est le coefficient dominant du polynme $P(X)=2X^3+4X-1$ ?
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Lequel des polynmes suivants est unitaire ?
Lequel des polynmes suivants est unitaire ?
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Soit $P(X)=2X^2+1$ et $Q(X)=X+3$. Quel est le rsultat de $P(X)\circ Q(X)$ ?
Soit $P(X)=2X^2+1$ et $Q(X)=X+3$. Quel est le rsultat de $P(X)\circ Q(X)$ ?
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Si $P(X)$ et $Q(X)$ sont deux polynmes, quel est le degr de $P(X) + Q(X)$ ?
Si $P(X)$ et $Q(X)$ sont deux polynmes, quel est le degr de $P(X) + Q(X)$ ?
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Si $P(X) = 3X^2 + 2X - 1$ et $B(X) = X + 1$, quel est le rsultat de $B(X) \circ P(X)$ ?
Si $P(X) = 3X^2 + 2X - 1$ et $B(X) = X + 1$, quel est le rsultat de $B(X) \circ P(X)$ ?
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Quel est le compos du polynme $P(X) = X^2 + 1$ par le polynme $Q(X) = X + 2$ ?
Quel est le compos du polynme $P(X) = X^2 + 1$ par le polynme $Q(X) = X + 2$ ?
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Flashcards
Degré d'une somme de polynômes
Degré d'une somme de polynômes
Pour deux polynômes P et Q non nuls, le degré de leur somme est au plus le maximum des degrés des deux polynômes.
Degré d'un produit de polynômes
Degré d'un produit de polynômes
Pour deux polynômes P et Q dans K[X], le degré de leur produit est la somme des degrés des deux polynômes.
Polynôme dérivé
Polynôme dérivé
Le polynôme dérivé P' d'un polynôme P est obtenu en dérivant P, et son degré est un de moins que celui de P si P a un degré d'au moins 1.
Divisibilité de polynômes
Divisibilité de polynômes
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Racine d'ordre de multiplicité
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Polynôme
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Indéterminée
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Anneau de Polynômes
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Addition de Polynômes
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Multiplication de Polynômes
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Degré du Polynôme
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Coefficient Dominant
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Polynôme Unitaire
Polynôme Unitaire
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Study Notes
Polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$
- Polynômes: Finite sequences $(a_0, \dots, a_N)$ of elements in $\mathbb{K}$. Notably represented as $\sum_{n\ge0} a_nX^n$, where $X$ is the indeterminate.
- Set of Polynomials: $\mathbb{K}[X]$ is the set of all such polynomials with coefficients from $\mathbb{K}$.
- Operations on Polynomials:
- Addition: $(P+Q)(X)=\sum_{n\ge0}(a_n+b_n)X^n$.
- Multiplication: $(PQ)(X)=\sum_{n\ge0}c_nX^n$ where $c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$.
- $\mathbb{K}[X]$ forms a ring under these operations.
- Composition of Polynomials: If $A, B \in \mathbb{K}[X]$, with $B = \sum_{n=0}^N b_nX^n$, then $B\circ A = \sum_{n=0}^N b_n A^n$.
Degree and Dominant Coefficient
- Degree: For a non-zero polynomial $P=\sum_{n\ge0} a_nX^n$, the largest index $n$ for which $a_n \neq 0$ is the degree, denoted $\deg(P)$. If $P$ is the zero polynomial, its degree is $-\infty$.
- Dominant Coefficient: The coefficient $a_n$ corresponding to the degree is the dominant coefficient.
- Univariate Polynomials: A polynomial with dominant coefficient 1 is called a monic polynomial (or sometimes unitaire in some texts).
Properties of Degrees
- Degree of Sum: $\deg(P+Q) \le \max(\deg(P), \deg(Q))$.
- Degree of Product: $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.
- Degree of Composition: $\deg(P\circ Q) = \deg(P) \times \deg(Q)$.
Derivative of a Polynomial
- Derivative: The derivative of $P = \sum_{n\ge0}a_nX^n$ is $P' = \sum_{n\ge1}na_nX^{n-1}$.
- Degree of Derivative: If $\deg(P) \ge 1$, then $\deg(P') = \deg(P) - 1$.
Divisibility and Associated Polynomials
- Divisibility: $B$ divides $A$ if there exists $Q\in\mathbb{K}[X]$ such that $A = BQ$.
- Associated Polynomials: Two non-zero polynomials $A$ and $B$ are associated if $A$ divides $B$ and $B$ divides $A$. This is equivalent to the existence of $\lambda \in \mathbb{K}^*$ such that $A = \lambda B$.
Polynomial Long Division
- Remainder Theorem: For $A, B \in \mathbb{K}[X]$ with $B$ non-zero, there exists a unique pair $(Q, R) \in \mathbb{K}[X]$ such that $A = BQ + R$ and $\deg(R) < \deg(B)$.
Polynomial Functions
- Polynomial Function: A polynomial $P = \sum_{n=0}^N a_n X^n$ defines a polynomial function $\tilde{P}: \mathbb{K} \to \mathbb{K}$ by $\tilde{P}(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n$. Typically, the polynomial and the polynomial function are identified.
Roots of Polynomials and Multiplicity
- Root with Multiplicity: A value $a \in \mathbb{K}$ is a root of a polynomial $P$ with multiplicity $m$ if $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0$ and $P^{(m)}(a) \neq 0$.
- Equivalence Statements (about Roots): Several Equivalent statements are mentioned in the text relate to properties of roots and their multiplicity (but not fully detailed or presented here). The equivalence involves statements about derivates of the polynomial evaluated at the root and its existence.
Relation between Coefficients and Roots (if applicable)
- If a polynomial is factored (has all its roots), the coefficients can be expressed in terms of these roots. The text mentions a formula based on the roots. (The full details of the formula are not summarized here as the provided notes are incomplete.)
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Description
Ce quiz aborde les polynômes et leurs opérations dans l'ensemble des polynômes $ ext{K}[X]$. Vous explorerez des concepts tels que l'addition, la multiplication, ainsi que la composition des polynômes et la notion de degré. Testez vos connaissances sur ces fondements mathématiques essentiels.
