Polinomios: Valor Numérico y Operaciones

• El valor numérico de un polinomio es el resultado de evaluar el polinomio sustituyendo la variable por un valor numérico específico.
• Para calcular el valor numérico, se reemplaza cada instancia de la variable (usualmente 'x') por el número dado.
• Luego, se realizan las operaciones aritméticas indicadas (potencias, multiplicaciones, sumas y restas) siguiendo el orden correcto de las operaciones.
• El resultado final es el valor numérico del polinomio para ese valor específico de la variable.

Operaciones con un Polinomio

• Los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.
• Suma de polinomios: Se suman los términos semejantes (términos con la misma variable y exponente).
• Resta de polinomios: Se resta el polinomio sustraendo del polinomio minuendo, cambiando el signo de cada término del sustraendo y luego sumando los términos semejantes.
• Multiplicación de polinomios: Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio, y luego se suman los términos semejantes. Se utiliza la propiedad distributiva.
• División de polinomios: Se divide un polinomio (dividendo) entre otro polinomio (divisor) para obtener un cociente y un residuo.
• La división puede realizarse utilizando la división larga o la división sintética (regla de Ruffini), dependiendo del divisor.
• El grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor.

Divisiones de Polinomio

• División Larga: Un método general para dividir polinomios, similar a la división larga de números.
• Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor.
• Se multiplica el cociente obtenido por el divisor y se resta el resultado del dividendo.
• Se repite el proceso con el nuevo dividendo hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.
• División Sintética (Regla de Ruffini): Un método abreviado para dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x - a).
• Se escriben los coeficientes del polinomio dividendo y el valor 'a'.
• Se baja el primer coeficiente y se multiplica por 'a', luego se suma al siguiente coeficiente. Se repite el proceso.
• El último número obtenido es el residuo, y los números anteriores son los coeficientes del cociente.

Cálculo de Identidades Notables

• Las identidades notables son productos notables que tienen una forma específica y se pueden calcular directamente sin necesidad de realizar la multiplicación completa.
• Las identidades notables más comunes son:
  • Binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b² y (a - b)² = a² - 2ab + b²
  • Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
  • Binomio al cubo: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ y (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Operaciones con Identidades Notables

• Las identidades notables se pueden utilizar para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones.
• Simplificación: Reconocer una identidad notable dentro de una expresión permite reemplazarla directamente por su forma expandida o factorizada.
• Resolución de ecuaciones: Las identidades notables pueden ayudar a factorizar polinomios y encontrar las soluciones de ecuaciones algebraicas.
• Aplicación combinada: Se pueden combinar diferentes identidades notables para simplificar expresiones más complejas.
• Es importante identificar correctamente la estructura de la expresión para aplicar la identidad notable adecuada.