Poissonův proces

Poissonův proces

• Poissonův proces s intenzitou $\lambda > 0$ je stochastický proces v kontinuálním čase ${N(t), t \geq 0}$.
• $N(t)$ udává počet událostí, které nastaly do času $t$.

Definice

• $N(0) = 0$: Na začátku (v čase 0) nenastala žádná událost.
• Má nezávislé přírůstky: Počet událostí v jednom intervalu nezávisí na počtu událostí v jiném (disjunktním) intervalu.
• Počet událostí v libovolném intervalu délky $t$ má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou $\lambda t$:

$$ P(N(t+s) - N(s) = n) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$

- To znamená, že pravděpodobnost, že nastane $n$ událostí v intervalu délky $t$, závisí pouze na délce intervalu a intenzitě $\lambda$.

Vlastnosti

• $E[N(t)] = \lambda t$: Střední hodnota (očekávaný počet) událostí v intervalu délky $t$ je $\lambda t$.
• $Var[N(t)] = \lambda t$: Rozptyl počtu událostí v intervalu délky $t$ je také $\lambda t$.

Doby mezi událostmi (Interarrival Times)

• Nechť $T_i$ je čas mezi $(i-1)$-ní a $i$-tou událostí.
• Posloupnost ${T_i, i = 1, 2, \dots}$ je tvořena nezávislými a stejně rozdělenými exponenciálními náhodnými veličinami s parametrem $\lambda$.
  • Hustota pravděpodobnosti $T_i$ je $f_{T_i}(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0, \quad i = 1, 2, \dots$

Aplikace

• Modelování počtu zákazníků přicházejících do obchodu.
• Modelování počtu telefonních hovorů přijatých call centrem.
• Modelování počtu zemětřesení v regionu.
• Modelování radioaktivního rozpadu.

Příklady

• Zákazníci přicházejí do obchodu podle Poissonova procesu s intenzitou $\lambda = 10$ zákazníků za hodinu.
  • Pravděpodobnost, že během prvních 30 minut nepřijde žádný zákazník:

$$ P(N(0.5) = 0) = e^{-10 \times 0.5} \frac{(10 \times 0.5)^0}{0!} = e^{-5} \approx 0.0067 $$

- Pravděpodobnost, že během první hodiny přijde více než 5 zákazníků:

$$ P(N(1) > 5) = 1 - P(N(1) \leq 5) = 1 - \sum_{n=0}^{5} e^{-10} \frac{(10)^n}{n!} \approx 0.9329 $$