Poisson-Prozess: Definition und Eigenschaften

• Der Poisson-Prozess modelliert die Anzahl von Ereignissen und deren Ankunftszeiten in einem kontinuierlichen Zeitraum.

Motivation

• Betrachtet die Anzahl der Kunden, die in einer Bank ankommen.
• Betrachtet die Anzahl der Zugriffe auf eine Website.
• Modelliert die Anzahl der Ereignisse und ihre Ankunftszeiten.

Definition des Poisson-Prozesses

• Ein Poisson-Prozess mit der Rate $\lambda > 0$ ist ein stochastischer Prozess ${N(t): t \geq 0}$, der folgende Bedingungen erfüllt:
  • $N(0) = 0$
  • Unabhängige Inkremente: Für $0 \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n$ sind die Zufallsvariablen $N(t_2) - N(t_1), N(t_3) - N(t_2), \dots , N(t_n) - N(t_{n-1})$ unabhängig.
  • Die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge $t$ ist Poisson-verteilt mit dem Mittelwert $\lambda t$: $N(t+s) - N(s) \sim \text{Pois}(\lambda t)$ für alle $s, t \geq 0$.
  • Äquivalent dazu gilt für alle $s, t \geq 0$ und $n \geq 0$: $P(N(t+s) - N(s) = n) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}$

Eigenschaften des Poisson-Prozesses

• Der Poisson-Prozess ist ein Zählprozess. $N(t)$ repräsentiert die Gesamtzahl der Ereignisse, die bis zum Zeitpunkt $t$ eingetreten sind.
• Die Inkremente eines Poisson-Prozesses sind stationär: Die Verteilung von $N(t+s) - N(s)$ hängt nur von $t$ und nicht von $s$ ab.

Zwischenankunftszeiten

• Sei $T_1$ die Zeit des ersten Ereignisses, und für $i > 1$ sei $T_i$ die Zeit zwischen dem $(i-1)$-ten und dem $i$-ten Ereignis. Die Folge ${T_i, i = 1, 2,...}$ wird als Zwischenankunftszeiten bezeichnet.
• Theorem: Die Zwischenankunftszeiten eines Poisson-Prozesses mit der Rate $\lambda$ sind i.i.d. exponentialverteilte Zufallsvariablen mit dem Parameter $\lambda$.
• Beweis:
  • $P(T_1 > t) = P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t}$, also $T_1 \sim \text{Exp}(\lambda)$.
  • Für $i > 1$ ist $P(T_2 > t \mid T_1 = s) = P(\text{keine Ereignisse in }(s, s+t] \mid T_1 = s) = P(\text{keine Ereignisse in }(s, s+t]) = P(N(s+t) - N(s) = 0) = e^{-\lambda t}$.
  • Also ist $T_2 \sim \text{Exp}(\lambda)$, und $T_1$ und $T_2$ sind unabhängig.
  • Ähnlich kann gezeigt werden, dass $T_i \sim \text{Exp}(\lambda)$ ist und $T_1, T_2, \dots$ unabhängig sind.

Wartezeiten

• Sei $S_n$ die Zeit des $n$-ten Ereignisses. Die Folge ${S_n, n = 1, 2,...}$ wird als Wartezeiten bezeichnet.
• $S_n = \sum_{i=1}^n T_i$, wobei $T_i$ i.i.d. $\text{Exp}(\lambda)$-Zufallsvariablen sind.
• $S_n$ hat eine Gamma-Verteilung mit den Parametern $n$ und $\lambda$.
  • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von $S_n$ ist $f_{S_n}(t) = \lambda e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}$ für $t > 0$.
  • $E[S_n] = \frac{n}{\lambda}$ und $\text{Var}(S_n) = \frac{n}{\lambda^2}$.
• Theorem: Für einen Poisson-Prozess ${N(t): t \geq 0}$ mit der Rate $\lambda$ hat die $n$-te Wartezeit $S_n$ die gleiche Verteilung wie die Summe von $n$ i.i.d. exponentialverteilten Zufallsvariablen mit dem Parameter $\lambda$.
• Beweis:
  • $S_n \leq t$ gilt genau dann, wenn $N(t) \geq n$ gilt.
  • Daher ist $P(S_n \leq t) = P(N(t) \geq n) = \sum_{k=n}^{\infty} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}$.

Zusammengesetzter Poisson-Prozess

• Sei ${N(t): t \geq 0}$ ein Poisson-Prozess mit der Rate $\lambda$, und sei ${X_i, i = 1, 2,...}$ eine Folge von i.i.d. Zufallsvariablen, die unabhängig von ${N(t): t \geq 0}$ ist. Der zusammengesetzte Poisson-Prozess ${Y(t): t \geq 0}$ ist definiert als: $Y(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i$ für $t \geq 0$.

Beispiele für Poisson-Prozesse

• Die Anzahl der Schadensfälle, die bei einer Versicherungsgesellschaft eingehen.
• Die Gesamthöhe der Schadensfälle, die bei einer Versicherungsgesellschaft eingehen.
• Die Anzahl der Kunden, die in einer Bank ankommen, wobei jeder Kunde eine zufällige Zeit in der Bank verbringt.

Gebrochene Schriften

• Rundungen sind gebrochen
• Starker Strichstärkenkontrast
• Breitfeder-Look

Römische Serifen-Schriften

Renaissance-Antiqua

• Schwacher Strichstärkenkontrast
• Konkave Serife (nach innen gewölbt)
• Schräger Ansatz der Serifen
• Neigungsachse stark nach links

Klassizistische Antiqua

• Starker Strichstärkenkontrast
• Anstriche waagrecht gesetzt
• Waagrechte Serife ohne Kehlung
• Neigungsachse senkrecht

Barock-Antiqua

• Mittelstarker Strichstärkenkontrast
• Flache Kehlung der Serifen
• Neigungsachse leicht nach links

Lineare Schriften (Sans Serif)

Grotesk

• Schwacher Strichstärkenkontrast
• Keine Serife
• Antiqua-a
• Neigungsachse senkrecht

Angelo-Grotesk

• Besondere Ausformungen bei g, f, t
• Schwacher Strichstärkenkontrast

Konstruierte Grotesk

• Grundelement Kreis und Rechteck
• Keine Strichstärkenkontrast

Geschriebene-Grotesk

• Starker Strichstärkenkontrast
• Keine Serife
• Handschriftlicher Charakter

Serifenbetonte Schriften

Egyptienne

• Serifen ohne Kehlung vorhanden
• Neigungsachse senkrecht
• Serifen waagerecht angesetzt
• Grundstrich und Serife gleiche Stärke

Claredon

• Serifen vorhanden (kräftige Kehlung)
• Neigungsachse senkrecht
• Serifen passend zum Grundstrich
• Serifen gerundet, enden eckig

Italienne

• Serifen vorhanden
• Neigungsachse senkrecht
• Stark betonte Blockserifen

Geschriebene Schriften

• Keine strenge stilistische Systematik
• Handschrift-Look
• Zusammenhängende Buchstaben