Physique Statistique : Le Gaz Parfait

• La physique statistique est divisée en deux parties.

Chapitre IV : Le gaz parfait

• Se concentre sur le gaz parfait, y compris les particules discernables ou indiscernables, les particules quantiques ou classiques et les gaz d'électrons.
• Analyse le gaz parfait classique en termes d'espace des phases, de fonction de partition, de densité de probabilité et du théorème d'équipartition.

Particules indiscernables ou discernables

• En physique classique, les molécules d'un gaz parfait sont distinguables par un numéro d'ordre.
• La mécanique quantique exige que deux états obtenus par la permutation de deux molécules indiscernables n'en forment qu'un seul.
• Les particules indiscernables comprennent les électrons confinés dans une enceinte commune et les molécules appartenant à un gaz.
• Un gaz parfait est constitué de particules identiques et indépendantes, sans interaction.
• L'énergie d'un gaz parfait est d'origine purement cinétique.

Distinction entre les particules classiques et les particules quantiques

• Une approximation classique peut être plus simple et dérive de la supposition sur des particules thermiquement agitées.
• Importe de comparer la longueur d'onde thermique à la distance moyenne entre les particules pour déterminer si une approche classique est appropriée.
• Une condition précise caractérise l'approximation classique en considérant la densité du gaz par rapport à une densité quantique impliquant la masse, la température et la constante de Planck.
• Calculer la distance moyenne entre les particules pour un gaz parfait dans des conditions spécifiques comme 1 atm et 293K, et 10^-9 torr et 293K.
• Détermine si l'air à température et pression ambiantes se comporte comme des particules quantiques ou classiques.
• Le comportement quantique ou classique des électrons dans un métal à température et pression ambiantes est considéré.
• Les particules sont décrites comme faisant partie d'un système constitué d'un grand nombre d'entités.
• La mécanique quantique exige que ces états en forment un seul en raison de l'impossibilité de les distinguer par une mesure.

Particule libre confinée dans une boîte - Conditions aux limites strictes

• Une particule dans un puits infini de potentiel avec des limites nulles fait des solutions à l'équation de Schrödinger sous la forme d'ondes stationnaires.
• Des conditions aux limites strictes sont imposées, qui affectent les valeurs permises du vecteur d'onde et, par conséquent, les niveaux d'énergie de la particule.
• L'énergie est quantifiée, ce qui est une caractéristique de la mécanique quantique, et les niveaux d'énergie sont généralement dégénérés.

Continuum de niveaux d'énergie

• Distinction entre les cas où la longueur L est petite (niveaux d'énergie discrets) et où L est macroscopique (continuum de niveaux d'énergie) affectant le calcul et le comportement du système.

Gaz parfait classique de particules quantiques (cas discret)

• Considération d'un gaz parfait de N molécules confinées dans un volume, en traitant les particules comme indiscernables.
• L'énergie d'une seule particule est définie en fonction des nombres quantiques et des dimensions de la boîte.
• Le calcul de la fonction de partition pour une molécule implique la longueur d'onde thermique et conduit à définir la densité quantique.
• Les effets quantiques deviennent importants lorsque la densité du nombre de particules est supérieure à la densité quantique ou lorsque la longueur d'onde thermique est comparable à la distance entre les particules.

Approximation de Maxwell-Boltzmann

• Fournit et contraste deux approximations pour la fonction de partition Z d'un système de N particules indépendantes et indiscernables conduisant à l'approximation de Maxwell-Boltzmann.
• Définit le domaine de validité de l'approximation MB comme étant limité aux hautes températures et aux scénarios où seulement une infime partie des particules se trouve dans un certain état.
• Indique que si l'approximation MB n'est pas valable que les statistiques quantiques doivent êtres employés.

Grandeurs physiques de type de gaz parfait quantique

• L'énergie libre, la pression, l'entropie et le potentiel chimique du gaz parfait quantique sont déterminés en utilisant cette approche.
• Considérez un gaz d'électrons, en commençant par mettre un à un les électrons dans les niveaux d'énergie, en commençant par les niveaux les plus bas, mais en tenant compte du principe d'exclusion de Pauli.
• On ne peut mettre que deux électrons d'après le spin dans chaque état, et donc le continuum doit être considéré.

Continue de l'énergie

• L'écart entre les niveaux d'énergie devient infinitésimal et le nombre d'états à une énergie particulière tend vers l'infini.
• Le nombre d'états entre E et E+dE est défini par dΩ(E) = g(E) dE, où g(E) représente la densité des états.
• L'importance de la densité d'états dans le calcul des propriétés macroscopiques est mis en évidence.
• Les définitions, formules et relations qui décrivent un gaz parfait classique en termes de conditions aux limites périodiques et de conditions aux limites strictes.
• Dans la limite thermodynamique, le nombre d'états occupés tend vers la même valeur dans tout l'espace.

Densité d'états

• Le nombre d'états avec leur énergie entre EE+dE doit être calculé.
• La surface dans l'espace k avec une énergie constante est une sphère de rayon (2mE)^1/2/hbar.

Densité d'états g(e)

• Ce résultat est très utile en physique du solide.
• Modèle de gaz d'électrons libres de Sommerfeld pour modéliser un métal.
• On peut mettre au plus 2 électrons par état k (principe d'exclusion de Pauli).

L'espace des phases pour le gaz parfait classique

• Un micro-état d'un système classique décrit et mis en contraste avec un point dans un espace à 6N dimensions.
• L'état est improbable à calculer puisque les micro-états forment un continuum: impossible.
• La fonction de partition pour le gaz parfait classique peut être écrit dans l'intégrale sur tous les états dans l'espace des phases.
• Les concepts de normalisation, valeur moyenne et ensemble canonique de mécanique statistique sont évoqués.
• Le module des conditions de limites d'états utilisés n'a aucune influence sur les propriétés du volume du système.
• Si L est petit, les niveaux tendent vers une valeur non négligeable avec calcul des sommes mais si il elle est macroscopique et l'écart des niveaux tend vers 0 avec un calcul des intégrales.

Théorème d'équipartition

• Le théorème d'équipartition est décrit en déclarant que si l'énergie du système peut être exprimée comme la somme des termes quadratiques.
• L'énergie moyenne associée à chaque variable quadratique est kT/2.
• Le théorème d'équipartition à différents systèmes, y compris des gaz parfaits monoatomiques et des oscillateurs harmoniques, ce qui mène à des résultats bien connus comme Cv = 3R pour un solide.
• Le théorème d'équipartition qui est toujours applicable à l'énergie cinétique et qui est applicable à l'énergie potentielle seulement près de l'équilibre.
• Décrit la loi de Dulong et Petit décrivant la relation comme illustrée pour le cuivre et le diamant, expliquant sous quelles conditions ça marche et lorsque les températures sont dans un cadre classique pour le matériel.
• Décrit Expérience de Kappler (1931): son principe qui peut être utilisé pour déterminer kB

Chapitre V - Statistique quantique

• V.1 examine les particules quantiques en termes d'état orbital, bosons, fermions, taux d'occupation et enumération.
• V.2 examine les statistiques quantiques avec l'explication sur le gaz de fermions, les gaz de bosons, les raies et les limites classiques.