Pásová struktura pevných látek

Energy Bands in Solids

• Energy bands form in solids due to the interaction of electron waves with the periodic potential of the crystal lattice.

Bloch Functions

• Bloch functions describe the wave-like behavior of electrons in a periodic potential.
• Represented as ψₙ,ₖ(r) = e^(ik⋅r)uₙ,ₖ(r), where e^(ik⋅r) is a plane wave and uₙ,ₖ(r) is periodic with the lattice.

Schrödinger Equation

• The behavior of electrons in a solid is governed by the Schrödinger equation, Hψₙ,ₖ(r) = Eₙ,ₖψₙ,ₖ(r).

Properties of Bloch Functions

• Index n denotes the band index.
• Eₙ,ₖ is a continuous function of k
• Energies exhibit periodicity in reciprocal space: Eₙ,ₖ are periodic functions of k.
• Group velocity is calculated as vₙ(k) = (1/ħ)∇ₖEₙ,ₖ(r).
• Effective mass is determined by m* = ħ² (d²E/dk²)⁻¹.

Band Structure of Semiconductors

• The band structure refers to the relationship between the energy and momentum of electrons in a solid.

Band Structure of Silicon

• Silicon is an indirect band gap semiconductor.
• Conduction band minimum is located along the direction, away from Brillouin zone center.
• Constant energy surfaces are ellipsoids of revolution near conduction band minimum.
• Valence band maximum resides at Brillouin zone center.
• Valence band is degenerate at zone center.

Band Structure of Gallium Arsenide

• Gallium arsenide is a direct band gap semiconductor.
• Conduction band minimum sits at Brillouin zone center.
• Constant energy surfaces form spheres around the conduction band minimum.
• Valence band maximum is located at Brillouin zone center.
• Valence band is degenerate at zone center.

Density of States

• Density of states describes the number of available electron states at a particular energy level.

Density of States in 3D

• In 3D, D(E) = (1 / 2π²) (2m*/ħ²) ^(³/₂) E^(½).

Density of States in 2D

• In 2D, D(E) = m*/πħ².

Density of States in 1D

• In 1D, D(E) = (1/π) (2m*/ħ²) ^(½) E^(-½).

Occupation Probability

• Occupation probability determines the likelihood of an electron occupying a particular energy state.

Fermi-Dirac Distribution

• Fermi-Dirac distribution is f(E) = 1 / (e^((E-E_F)/kT) + 1), showing the probability of an electron occupying a state at energy E given temperature T and Fermi energy E_F.
• **

Les Structures de Données

• Struktura dat je způsob uspořádání a ukládání dat v počítači, aby bylo možné je efektivně používat.

Exemples

• Mezi příklady struktur dat patří pole, zřetězené seznamy, stromy, grafy a hashovací tabulky.

Types de Structures de Données

• Lineární struktury dat mají prvky uspořádány sekvenčně.
  • Patří sem pole, zřetězené seznamy, zásobníky a fronty.
• Nelineární struktury dat nemají prvky uspořádané sekvenčně.
  • Patří sem stromy a grafy.

Structures de Données et Types Abstraits de Données (TAD)

• Abstraktní typ dat (TAD) je matematická specifikace operací a dat, které může typ dat podporovat. Datová struktura je konkrétní implementací TAD.
• TAD „seznam“ lze implementovat pomocí pole nebo zřetězeného seznamu.

Complexité Temporelle

• Časová složitost operace na datové struktuře je měřítko času potřebného k provedení této operace v závislosti na velikosti dat.

Notation Grand O

• Notace Big O je matematická notace používaná k popisu limitního chování funkce, když se argument blíží ke konkrétní hodnotě nebo k nekonečnu. V informatice se používá k klasifikaci algoritmů podle doby jejich provádění nebo využití prostoru v závislosti na velikosti vstupu.

Exemples de Complexité Temporelle

• Přístup k prvku v poli: O(1)
• Hledání prvku v netříděném poli: O(n)
• Hledání prvku v seřazeném poli: O(log n)
• Třídění pole: O(n log n)

Choix d'une Structure de Données

• Volba datové struktury závisí na operacích, které je třeba provést na datech, a na časové složitosti těchto operací.
• **

The Ideal Gas Law

• Popisuje vztahy mezi fyzikálními vlastnostmi plynů.

Physical Properties of Gases

• Plyny vyplní jakoukoli nádobu, kterou zaujímají.
• Plyny jsou snadno stlačitelné.
• Plyny se zcela mísí s jinými plyny.

Gas Variables

• Plyny se popisují pomocí čtyř proměnných:
  • Množství (n) v molech
  • Teplota (T) v Kelvinech
  • Objem (V) v litrech
  • Tlak (P) v atmosférách

Standard Temperature and Pressure (STP)

• Standardní teplota a tlak jsou definovány takto:
  • T = 273 K = 0 °C
  • P = 1 atm
  • 1 mol = 22.4 L

Ideal Gas Law

• Zákon ideálního plynu formálně definuje vztah mezi tlakem, objemem, molárním množstvím a termodynamickou teplotou: PV = nRT
  • R = 0.0821 (L⋅atm) / (mol⋅K)
• Počet molů plynu lze vypočítat pomocí zákona ideálního plynu:
  • n = PV / RT

Example

• Příklad výpočtu ukazuje aplikaci zákona ideálního plynu k výpočtu počtu molů plynu obsažených ve válci o objemu 10,0 litru při 27 °C s tlakem 200,0 atm: n = 81,2 molů.
• **

The Chemical Context of Life

• Chemické složení hmoty a jeho vliv na živé organismy.

Early Ideas About Matter

• Hmotu tvoří prvky a sloučeniny.

Matter Consists of Elements and Compounds

• Prvek: Látka, kterou nelze chemickými reakcemi rozložit na jiné látky.
• Sloučenina: Látka skládající se ze dvou nebo více různých prvků spojených v pevném poměru.

Elements and Life

• Chemické vlastnosti prvků jsou důležité pro život.

Essential Elements

• Asi 20–25 % z 92 prvků jsou základní prvky, které organismus potřebuje k životu a rozmnožování.
• Stopové prvky jsou vyžadovány organismem pouze v nepatrném množství.

Concept Check 2.1

• V elektronovém uspořádání mají prvky s podobnými chemickými vlastnostmi společné stejné množství elektronů ve valenční vrstvě.
• Počet valenčních elektronů určuje počet vazeb, které může atom vytvořit. Elektronegativita určuje, jak silně atom přitahuje sdílené elektrony.

Covalent Bonds

• Stabilita molekul je ovlivněna kovalentními vazbami.

Single and Double Covalent Bonds

• Kovalentní vazba: Sdílení páru valenčních elektronů dvěma atomy.
• Jednoduchá vazba: Sdílení jednoho páru valenčních elektronů.
• Dvojná vazba: Sdílení dvou párů valenčních elektronů.
• Valence: Vazebná kapacita daného atomu; obvykle se rovná počtu nespárovaných elektronů potřebných k dokončení vnější (valenční) vrstvy atomu.

Electronegativity

• Elektronegativita: Atrakce konkrétního atomu pro elektrony kovalentní vazby.
• Nepolární kovalentní vazba: Kovalentní vazba, ve které jsou elektrony sdíleny rovnoměrně.
• Polární kovalentní vazba: Kovalentní vazba, ve které nejsou elektrony sdíleny rovnoměrně.

Ionic Bonds

• Iontové vazby a iontové sloučeniny jsou důležité v biologických systémech.

Formation of Ionic Bonds

• Iont: Atom nebo molekula s celkovým elektrickým nábojem v důsledku ztráty nebo zisku jednoho nebo více elektronů.
• Kation: Kladně nabitý iont.
• Anion: Záporně nabitý iont.
• Iontová vazba: Chemická vazba vyplývající z přitažlivosti mezi opačně nabitými ionty.
• Iontová sloučenina (nebo sůl): Sloučenina vytvořená iontovými vazbami.

Concept Check 2.2

• Silné kovalentní vazby spojují atomy a tvoří molekuly buňky. Slabé vazby, jako jsou vodíkové vazby a interakce van der Waalsovy, jsou nezbytné pro dynamické interakce.
• Tvar molekuly obvykle určuje, jak interaguje s jinými molekulami.
• Molekula je dva nebo více atomů držených pohromadě kovalentními vazbami. Sloučenina je kombinace dvou nebo více různých prvků chemicky spojených v pevném poměru.
• Elektronegativita je přitažlivost atomu ke sdíleným elektronům a polární kovalentní vazba je vazba mezi atomy s různými elektronegativitami.

Weak Chemical Bonds

• Slabé chemické vazby, jako jsou vodíkové vazby a interakce van der Waalsovy, jsou kritické.

Hydrogen Bonds

• Vodíková vazba: Slabá chemická vazba, která se tvoří, když je mírně pozitivní atom vodíku polární kovalentní vazby v jedné molekule přitahován k mírně negativnímu atomu polární kovalentní vazby v jiné molekule.

Van der Waals Interactions

• Interakce van der Waalsovy: Slabé přitažlivé síly mezi molekulami nebo částmi molekul, které jsou důsledkem přechodných lokálních parciálních nábojů.

Molecular Shape and Function

• Tvar molekuly je rozhodující pro její biologickou funkci.

Determining Molecular Shape

• Tvar molekuly je určen polohami orbitalů atomů (oblasti prostoru, kde se nacházejí elektrony).

Concept Check 2.3

• Znalost trojrozměrných tvarů přirozeně se vyskytujících signálních molekul pomáhá při syntéze podobných molekul, které mohou napodobovat nebo blokovat přirozené molekuly.

Chemical Reactions

• Chemické reakce provádějí syntézu biologických molekul.

Chemical Reactions Make and Break Chemical Bonds

• Chemické reakce: Vznik a rozpad chemických vazeb, což vede ke změnám ve složení hmoty.
• Reagenty: Výchozí materiál v chemické reakci.
• Produkty: Výsledkem je materiál v chemické reakci.
• Chemická rovnováha: Stav, ve kterém se rychlost dopředné reakce rovná rychlosti zpětné reakce, takže se relativní koncentrace reaktantů a produktů s časem nemění.

Concept Check 2.4

• Napište rovnici, která používá stejné atomy jako v příkladu na obrázku 2.17, ale která ukazuje tvorbu dvou molekul, z nichž každá se skládá z jednoho atomu uhlíku a dvou atomů vodíku: C + C + 4H2 ⇌ 2CH4.
• Reakce stále probíhají, ale relativní koncentrace reaktantů a produktů zůstávají stejné.
• **

Partial Differential Equations

• Partial differential equations form the basis of mathematical models for many physical phenomena.

Second Order Linear PDEs

• A(x,y)uₓₓ + B(x,y)uₓy + C(x,y)u_yy + D(x,y)uₓ + E(x,y)u_y + F(x,y)u = G(x,y)

Classification

• Δ = B² - 4AC is the discriminant.
  • Δ > 0: Hyperbolic (wave equation).
  • Δ = 0: Parabolic (heat equation).
  • Δ < 0: Elliptic (Laplace equation).

Canonical Forms

• Hyperbolic Canonical Form: η = y - sx and ξ = y - s₂x results in u_ξη = F(ξ, η, u, u_ξ, u_η).
• Parabolic Canonical Form: ξ = x and η = y - sx result in u_ξξ = F(ξ, η, u, u_ξ, u_η).
• Elliptic Canonical Form: ξ = x and η = y - sx result in u_ξξ + u_ηη = F(ξ, η, u, u_ξ, u_η).

Common Equations

• Heat Equation: u_t = kuₓₓ.
• Wave Equation: u_tt = c²uₓₓ.
• Laplace Equation: uₓₓ + u_yy = 0.
• **

Economía

• Ekonomie je studium toho, jak společnosti využívají vzácné zdroje k produkci cenných statků a služeb a jak je rozdělují mezi různé jednotlivce.

Dos ideas clave en economía

• Zboží je vzácné.
• Společnost musí využívat zdroje efektivně.

Microeconomía y Macroeconomía

• Mikroekonomie se zabývá chováním jednotlivých subjektů, jako jsou trhy, firmy a domácnosti.
• Makroekonomie analyzuje výkonnost ekonomiky jako celku.

Economía positiva frente a economía normativa

• Pozitivní ekonomie se zabývá fakty a chováním ekonomiky.
• Normativní ekonomie zahrnuje hodnotové soudy.

La economía como ciencia

• Ekonomové používají vědeckou metodu k vytváření teorií a jejich testování pomocí empirických důkazů.

Algunos conceptos clave en economía

• Nedostatek: Zdroje jsou omezené, zatímco lidské potřeby jsou neomezené.
• Efektivita: Využívání zdrojů co nejlepším způsobem k uspokojení potřeb a přání společnosti.
• Spravedlnost: Spravedlivé rozdělení zdrojů a bohatství.
• Náklady příležitosti: Hodnota nejlepší alternativy, které se člověk vzdá při rozhodování.

Las tres preguntas fundamentales de la economía

• Jaké zboží a služby by se měly vyrábět?
• Jak by se toto zboží a služby měly vyrábět?
• Pro koho by se toto zboží a služby měly vyrábět?

Sistemas económicos

• Tržní ekonomika: Hospodářská rozhodnutí činí především jednotlivci a soukromé firmy.
• Centralizovaná ekonomika: Většinu ekonomických rozhodnutí činí vláda.
• Smíšená ekonomika: Kombinace tržní a centralizované ekonomiky.

El papel del gobierno en la economía

• Zlepšení efektivity
• Podpora spravedlnosti
• Podpora hospodářského růstu a stability

Algunos temas importantes en economía

• Inflace
• Nezaměstnanost
• Hospodářský růst
• Mezinárodní obchod
• Veřejné finance

Conclusión

• Je nezbytné pochopit, jak svět funguje a jak ho můžeme zlepšit.