Bandas de Energía en Sólidos

Bandas de Energía en Sólidos

• Los electrones en los sólidos no tienen energías discretas como en átomos aislados.
• Forman bandas de energía permitidas separadas por bandas prohibidas (band gaps).
• Este comportamiento determina las propiedades eléctricas de los materiales.

Formación de Bandas de Energía

• La función de Bloch es una solución de la ecuación de Schrödinger para un potencial periódico.
• Se expresa como $\psi_{n,k}(r) = e^{ik \cdot r}u_{n,k}(r)$, donde $u_{n,k}(r)$ es periódica en la red directa.
• La condición de frontera de Born-von Karman asume un cristal formado por N1 celdas unitarias a lo largo de a1, N2 a lo largo de a2, y N3 a lo largo de a3.
• Conlleva a $k = \frac{n_1}{N_1} b_1 + \frac{n_2}{N_2} b_2 + \frac{n_3}{N_3} b_3$, donde hay N1 N2 N3 = N k puntos permitidos en la primera zona de Brillouin.

Densidad de Estados

• La densidad de estados (DOS) se define como el número de estados por rango de energía.
• Matemáticamente, se expresa como $D(E) = \frac{\text{number of states}}{\text{energy range}}$.

Ejemplos de Gas de Electrones Libres

• En 3D: $D(E) = \frac{V}{2 \pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} E^{1/2}$.
• En 2D: $D(E) = \frac{A}{2 \pi} \frac{m}{\hbar^2}$.
• En 1D: $D(E) = \frac{L}{2 \pi} (\frac{2m}{\hbar^2})^{1/2} E^{-1/2}$.

Band Gap

• El modelo de electrones casi libres considera el potencial periódico del cristal como una pequeña perturbación.
• Un ejemplo es $V(x) = V \cos(\frac{2 \pi x}{a})$, donde $V(x) = V(x+a)$.
• El Hamiltoniano es $H = \frac{p^2}{2m} + V(x) = \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)$.
• Para $k = \frac{\pi}{a} + q$, y $-\frac{\pi}{a} < q < \frac{\pi}{a}$, la función de onda es $\psi(x) = C_1 e^{i (\frac{\pi}{a} + q) x} + C_2 e^{i ( - \frac{\pi}{a} + q) x}$.
• Y la energía es $E = \frac{\hbar^2}{2m} (\frac{\pi}{a} + q)^2$.

Semiconductor

• Los semiconductores más importantes son Si, Ge y GaAs.
• El comportamiento cerca de los bordes de la banda es crucial en física de semiconductores.

Masa Efectiva

• En el modelo de la masa efectiva, la relación de dispersión se aproxima como una parábola cerca de un punto crítico.
• Se expresa como $E(k) = E(k_0) + \frac{1}{2} \frac{d^2 E}{dk^2} \rvert_{k=k_0} (k - k_0)^2 +...$
• Y también como $E(k) = E(k_0) + \frac{\hbar^2 (k - k_0)^2}{2 m^*}$.
• La masa efectiva se define como $\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{dk^2} \rvert_{k=k_0}$.
• El concepto de agujero se refiere la ausencia de un electrón.
• La masa efectiva del agujero se define como $m_h = -m_e$, donde $m_e$ es la masa efectiva del electrón.

Campos Eléctricos

• Los campos eléctricos son producidos por cargas eléctricas.
• Cada carga crea un campo eléctrico en el espacio circundante.

Detección de Campos Eléctricos

• Es posible detectar la presencia de un campo eléctrico y medir su intensidad colocando una "carga de prueba" positiva $q_0$ en el campo.
• La fuerza eléctrica sobre la carga de prueba es: $\vec{F} = q_0\vec{E}$
• El campo eléctrico se define como: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$

Líneas de Campo Eléctrico

• Proporcionan una forma útil de visualizar los patrones de campos eléctricos.
• Las líneas apuntan en la dirección de $\vec{E}$, tangentes a la línea de campo en cualquier punto.
• Las líneas comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas.
• El número de líneas que comienzan o terminan en una carga es proporcional a la magnitud de la carga.
• El campo es más fuerte donde las líneas de campo están más juntas.

Campo Eléctrico de una Carga Puntual

• El campo eléctrico debido a una carga puntual q: $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r}$
• $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} C^2/Nm^2$
• $\hat{r}$ es un vector unitario que apunta lejos de q.

Campo Eléctrico de un Dipolo Eléctrico

• Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales de igual magnitud y signo opuesto separadas por una pequeña distancia.
• El campo eléctrico en un punto P a una distancia z desde el punto medio del dipolo es: $\vec{E} = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{p}{z^3}$
• El momento dipolar p se define como: $p = qd$

Tensiones Normales

• Estas son las reacciones que impiden que los sólidos se penetren entre sí.

Presión

• Es una medida de estas fuerzas. $\qquad presion = \frac{fuerza}{area}$ $\qquad p = \frac{F}{A}$
• La presión se mide tipicamente en pascales: $1Pa = 1\frac{N}{m^2}$
• $PSI = \frac{Ibf}{in^2}$

Ejemplo 1

Una mujer de $120 Ibf$ esta parada sobre una superficie.

• Si la mujer esta usando zapatos con un area de contacto total de $39 in^2$, la presión promedio que ejerce es: $p = \frac{120 Ibf}{39 in^2} = 3.08 PSI$
• Si la mujer esta usando esquíes con un area de contacto total de $390 in^2$, la presión promedio que ejerce es: $p = \frac{120 Ibf}{390 in^2} = 0.308 PSI$

Ley de Pascal

• La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a través del fluido. $\qquad p_1 = p_2$ $\qquad \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$

Ejemplo 2

El diámetro del pistón de entrada de un elevador hidráulico es de $1 in$, y el diámetro del pistón de salida es de $6 in$; para levantar un coche que pesa $3000 Ibf$, la fuerza que debe aplicarse al pistón de entrada es: $\qquad A_1 = \pi (\frac{d_1}{2})^2 = \pi (\frac{1 in}{2})^2 = 0.785 in^2$ $\qquad A_2 = \pi (\frac{d_2}{2})^2 = \pi (\frac{6 in}{2})^2 = 28.3 in^2$ $\qquad \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$ $\qquad F_1 = \frac{A_1}{A_2} * F_2 = \frac{0.785 in^2}{28.3 in^2} * 3000 Ibf = 83.1 Ibf$

Introducción a las Lenguas Formales y la Teoría de Autómatas

• El curso proporciona conocimiento básico sobre lenguas formales y teoría de autómatas.
• El objetivo es comprender el funcionamiento de los compiladores.
• Además, busca clasificar algoritmos en términos de complejidad y computabilidad.

Propósito del curso

• Los estudiantes de informática son el público objetivo.
• Personas interesadas con conocimientos previos de informática.

Contenido del curso

• Lenguajes formales: definición, gramáticas, jerarquía de Chomsky
• Teoría de autómatas: autómatas finitos, expresiones regulares, gramáticas libres de contexto, autómatas de pila, máquinas de Turing
• Computabilidad y complejidad: modelos de computabilidad, tesis de Church-Turing, decidibilidad, NP-completitud

Importancia de los Lenguajes Formales

• Sirven como base para lenguajes de programación, lenguajes de marcado (HTML, XML), lenguajes de consulta de bases de datos (SQL)
• Permiten la comunicación entre humanos y máquinas
• Son fundamentales en la construcción de compiladores

Importancia de la Teoría de Autómatas

• Permite la modelización de sistemas
• Facilita la verificación de sistemas
• Es esencial en la construcción de compiladores

Estructura de un Compilador

• Análisis léxico: división del código fuente en tokens (palabras clave, operadores, identificadores)
• Análisis sintáctico: verificación de la corrección sintáctica del código fuente (Parser)
• Análisis semántico: verificación de la corrección semántica del código fuente (verificación de tipos, declaración de variables)
• Generación de código intermedio: traducción del código fuente a un lenguaje intermedio
• Optimización: mejora del código intermedio
• Generación de código: traducción del código intermedio a código de máquina

Ejemplo: Análisis Sintáctico

• Dada la instrucción a = b + c;
• El analizador sintáctico verifica si la instrucción es sintácticamente correcta (por ejemplo, si las variables están declaradas, si el operador + está definido para los tipos de datos de b y c)
• El analizador sintáctico genera un árbol de sintaxis que representa la estructura de la instrucción.

Alfabetos, Palabras, Lenguajes

• Un alfabeto Σ es un conjunto finito y no vacío de símbolos.
  • Ejemplos:
    • Σ1 = {0, 1} (alfabeto binario)
    • Σ2 = {a, b, c,..., z} (alfabeto de letras minúsculas)
    • Σ3 = {0, 1, a, b}
• Una palabra w sobre un alfabeto Σ es una secuencia finita de símbolos de Σ.
• La longitud de una palabra w se denota con |w|.
• La palabra vacía se denota con ε y tiene longitud 0, es decir, |ε| = 0.
  • Ejemplos:
    • w1 = 0101 es una palabra sobre Σ1 = {0, 1} con |w1| = 4
    • w2 = abba es una palabra sobre Σ2 = {a, b, c,..., z} con |w2| = 4

Concatenación de Palabras

• La concatenación de dos palabras w1 y w2 es la palabra w1w2, que se obtiene al adjuntar w2 a w1.
  • Ejemplos:
    • w1 = 01, w2 = 10, w1w2 = 0110
    • w1 = a, w2 = bb, w1w2 = abb
    • wε = εw = w

Definición: Lenguaje

• Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un conjunto de palabras sobre Σ, es decir, L ⊆ Σ*.
• Σ* denota el conjunto de todas las palabras sobre Σ, incluyendo la palabra vacía ε.
  • Ejemplos:
    • L1 = {0, 1, 00, 11, 000, 111,...} es el lenguaje de todas las palabras sobre Σ1 = {0, 1} que consisten en símbolos iguales.
    • L2 = {w ∈ {a, b}* | |w|a = |w|b} es el lenguaje de todas las palabras sobre Σ2 = {a, b} que contienen el mismo número de a's y b's.
    • L3 = ∅ es el lenguaje vacío, que no contiene palabras.
    • L4 = {ε} es el lenguaje que solo contiene la palabra vacía.

Operaciones sobre Lenguajes

• Unión: L1 ∪ L2 = {w | w ∈ L1 o w ∈ L2}
• Intersección: L1 ∩ L2 = {w | w ∈ L1 y w ∈ L2}
• Concatenación: L1L2 = {w1w2 | w1 ∈ L1 y w2 ∈ L2}
• Potencia: L0 = {ε}, Ln+1 = LnL
• Kleene-Stern: L* = ⋃n=0∞ Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪... (conjunto de todas las palabras que se crean al concatenar palabras de L)
• Clausura Positiva: L+ = ⋃n=1∞ Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪... (conjunto de todas las palabras que se crean al concatenar al menos una palabra de L)

Ejemplo: Operaciones sobre Lenguajes

• Σ = {a, b}
• L1 = {a, b}
• L2 = {bb}
• L1 ∪ L2 = {a, b, bb}
• L1 ∩ L2 = {b}
• L1L2 = {abb, bbb}
• L10 = {ε}
• L11 = {a, b}
• L12 = {aa, ab, ba, bb}
• L1* = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,...}

Gramáticas

• Una gramática G es una tupla G = (N, T, P, S), donde: - N es un conjunto finito de no terminales (variables) - T es un conjunto finito de terminales (alfabeto) - P es un conjunto finito de producciones (reglas) de la forma A → α, donde A ∈ N y α ∈ (N ∪ T)* - S ∈ N es el símbolo de inicio.

Ejemplo: Gramática

• G = ({S}, {a, b}, P, S) con las producciones: - S → aSb - S → ε

Derivación

• Una derivación es una secuencia de aplicaciones de producciones a una palabra.
• Sea αAβ ⇒ αγβ, si A → γ ∈ P, donde α, β, γ ∈ (N ∪ T)*.
• ⇒* denota el cierre reflexivo y transitivo de ⇒.
• El lenguaje generado por una gramática G es L(G) = {w ∈ T* | S ⇒* w}.

Ejemplo: Derivación

• Gramática G = ({S}, {a, b}, P, S) con las producciones: - S → aSb - S → ε
• Derivación de la palabra aabb: - S ⇒ aSb ⇒ aaSbb ⇒ aabb
• Por lo tanto, aabb ∈ L(G).

La Jerarquía de Chomsky

• La jerarquía de Chomsky divide los lenguajes formales en cuatro tipos, que se distinguen por el tipo de producciones permitidas en sus gramáticas. - Tipo 0: Lenguajes recursivamente enumerables (producciones arbitrarias) - Tipo 1: Lenguajes sensibles al contexto (producciones de la forma αAβ → αγβ, donde A ∈ N, α, β ∈ (N ∪ T)* y γ ∈ (N ∪ T)+) - Tipo 2: Lenguajes libres de contexto (producciones de la forma A → α, donde A ∈ N y α ∈ (N ∪ T)*) - Tipo 3: Lenguajes regulares (producciones de la forma A → aB o A → a, donde A, B ∈ N y a ∈ T)

Propiedades de la Jerarquía de Chomsky

• Todo lenguaje regular es también libre de contexto.

• Todo lenguaje libre de contexto es también sensible al contexto.

• Todo lenguaje sensible al contexto es también recursivamente enumerable.

• Lo contrario no se cumple.

• En resumen, la lección 1 ofrece una introducción a los fundamentos de los lenguajes formales y la teoría de autómatas. Se introducen las definiciones de alfabetos, palabras, lenguajes y gramáticas. Además, se presenta la jerarquía de Chomsky, que permite clasificar los lenguajes formales en función de sus gramáticas. La comprensión de estos fundamentos es esencial para el estudio posterior de la teoría de autómatas y la construcción de compiladores.

Algoritmos de Ordenacion

• Ordenar elementos en un orden específico eficiente y sistemáticamente.

Ordenamiento de Inserción

• Principio: Ordenar como se hace con cartas en la mano
  • Considerar los primeros i elementos del arreglo como ordenados
  • Insertar el elemento i+1 en su lugar entre los primeros i elementos
• Complejidad: $O(n^2)$

Ordenamiento de Selección

• Principio:
  • Buscar el elemento más pequeño del arreglo
  • Intercambiarlo con el primer elemento del arreglo
  • Buscar el elemento más pequeño del arreglo restante
  • Intercambiarlo con el segundo elemento del arreglo
  • Continuar hasta el final del arreglo
• Complejidad: $O(n^2)$

Ordenamiento de Burbuja

• Principio:
  • Recorrer el arreglo comparando los elementos adyacentes
  • Si dos elementos adyacentes no están en el orden correcto, intercambiarlos
  • Repetir el proceso hasta que no haya más intercambios
• Complejidad: $O(n^2)$

Ordenamiento Rápido (Quick Sort)

• Principio:
  • Elegir un elemento del arreglo llamado pivote
  • Particionar el arreglo en dos sub-arreglos:
    • Los elementos menores al pivote
    • Los elementos mayores al pivote
  • Ordenar recursivamente los dos sub-arreglos
• Complejidad:
  • En el mejor caso: $O(n \log n)$
  • En el peor caso: $O(n^2)$

Ordenamiento por Mezcla (Merge Sort)

• Principio:
  • Dividir el arreglo en dos sub-arreglos
  • Ordenar recursivamente los dos sub-arreglos
  • Mezclar los dos sub-arreglos ordenados
• Complejidad: $O(n \log n)$

Álgebra Lineal

Espacios Vectoriales

Definiciones y Ejemplos Fundamentales

Definición 5.1.1

• Un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ es un conjunto $E$ provisto de dos operaciones:

  • Una adición $+ : E \times E \rightarrow E$ donde $(u, v) \mapsto u + v$
  • Una multiplicación por un escalar $ \cdot : \mathbb{K} \times E \rightarrow E$ donde $(\lambda, u) \mapsto \lambda \cdot u = \lambda u$

• Deben cumplirse las siguientes propiedades:

  • $(E, +)$ es un grupo abeliano, esto es:
    • $\forall u, v \in E, u + v = v + u$ (conmutatividad)
    • $\forall u, v, w \in E, (u + v) + w = u + (v + w)$ (asociatividad)
    • $\exists 0_E \in E, \forall u \in E, u + 0_E = u$ (elemento neutro)
    • $\forall u \in E, \exists (-u) \in E, u + (-u) = 0_E$ (opuesto)
  • $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E$:
    • $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$
    • $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$
    • $(\lambda \mu)u = \lambda (\mu u)$
    • $1_{\mathbb{K}} u = u$

• Los elementos de $E$ son llamados vectores. El elemento $0_E$ es llamado el vector cero de $E$.

Ejemplos 5.1.2

• $\mathbb{K}^n = { (x_1,..., x_n) \mid x_i \in \mathbb{K} }$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial con las operaciones:
  • $(x_1,..., x_n) + (y_1,..., y_n) = (x_1 + y_1,..., x_n + y_n)$
  • $\lambda (x_1,..., x_n) = (\lambda x_1,..., \lambda x_n)$
• El conjunto de las matrices $\mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K})$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial con las operaciones usuales sobre las matrices.
• El conjunto de las funciones $E = { f : X \rightarrow \mathbb{K} }$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial con las operaciones:
  • $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
  • $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$
• $\mathbb{K}[X]$ el conjunto de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{K}$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial.
• Si $\mathbb{L}$ es un cuerpo conteniendo $\mathbb{K}$ entonces $\mathbb{L}$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial. Por ejemplo, $\mathbb{C}$ es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial.

Proposición 5.1.3

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial. Entonces:
  • $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \cdot 0_E = 0_E$
  • $\forall u \in E, 0_{\mathbb{K}} \cdot u = 0_E$
  • $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (-\lambda)u = \lambda(-u) = -(\lambda u)$

Demostración

- $\lambda \cdot 0_E = \lambda \cdot (0_E + 0_E) = \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E$. Anadiendo $-(\lambda \cdot 0_E)$ de cada lado, se obtiene $0_E = \lambda \cdot 0_E$.
- $0_{\mathbb{K}} \cdot u = (0_{\mathbb{K}} + 0_{\mathbb{K}}) \cdot u = 0_{\mathbb{K}} \cdot u + 0_{\mathbb{K}} \cdot u$. Anadiendo $-(0_{\mathbb{K}} \cdot u)$ de cada lado, se obtiene $0_E = 0_{\mathbb{K}} \cdot u$.
- $(-\lambda)u = (-1_{\mathbb{K}} \lambda)u = -1_{\mathbb{K}} (\lambda u) = -(\lambda u)$. Igualmente, $\lambda(-u) = \lambda(-1_{\mathbb{K}} u) = -1_{\mathbb{K}} (\lambda u) = -(\lambda u)$.

Subespacios Vectoriales

Definición 5.2.1

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial. Un subcojunto $F \subset E$ es un subespacio vectorial de $E$ si:
  • $0_E \in F$
  • $\forall u, v \in F, u + v \in F$
  • $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in F, \lambda u \in F$

Proposición 5.2.2

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F \subset E$. Entonces $F$ es un subespacio vectorial de $E$ si y solo si:
  • $F \neq \emptyset$
  • $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u, v \in F, \lambda u + \mu v \in F$

Demostración

• Si $F$ es un subespacio vectorial, entonces $0_E \in F$ por lo que $F \neq \emptyset$. Además, si $u, v \in F$ y $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, entonces $\lambda u \in F$ y $\mu v \in F$, por lo que $\lambda u + \mu v \in F$.

• Recíprocamente, si $F \neq \emptyset$, entonces existe $u \in F$. Tomando $\lambda = \mu = 0_{\mathbb{K}}$, se tiene $0_{\mathbb{K}} u + 0_{\mathbb{K}} u = 0_E \in F$. Luego, tomando $\lambda = \mu = 1_{\mathbb{K}}$, se tiene $u + v \in F$ para todo $u, v \in F$. Finalmente, tomando $\mu = 0_{\mathbb{K}}$, se tiene $\lambda u \in F$ para todo $\lambda \in \mathbb{K}$ y $u \in F$.

Ejemplos 5.2.3

• ${ 0_E }$ y $E$ son subespacios vectoriales de $E$.
• Sea $A \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{K})$. El conjunto de las soluciones del sistema lineal homogéneo $Ax = 0$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{K}^m$.
• Sea $a \in \mathbb{R}$. El conjunto de las funciones continuas $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(a) = 0$ es un subespacio vectorial del conjunto de las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.
• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $u \in E$. Entonces $F = { \lambda u \mid \lambda \in \mathbb{K} }$ es un subespacio vectorial de $E$.

Proposición 5.2.4

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F, G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Entonces $F \cap G$ es un subespacio vectorial de $E$.

Demostración

• $0_E \in F$ y $0_E \in G$ por lo que $0_E \in F \cap G$.
• Sea $u, v \in F \cap G$. Entonces $u, v \in F$ y $u, v \in G$. Por lo tanto $u + v \in F$ y $u + v \in G$. Esto implica que que $u + v \in F \cap G$.
• Sea $\lambda \in \mathbb{K}$ y $u \in F \cap G$. Entonces $u \in F$ y $u \in G$. Por lo tanto $\lambda u \in F$ y $\lambda u \in G$. Por lo tanto $\lambda u \in F \cap G$.

Observación 5.2.5

• En general, $F \cup G$ no es un subespacio vectorial de $E$.

• Ejemplo: $E = \mathbb{R}^2$, $F = { (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} }$ y $G = { (0, y) \mid y \in \mathbb{R} }$. Entonces $F \cup G = { (x, 0) \mid x \in \mathbb{R} } \cup { (0, y) \mid y \in \mathbb{R} }$. Se tiene $(1, 0) \in F \cup G$ y $(0, 1) \in F \cup G$, pero $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) \notin F \cup G$.

Definición 5.2.6

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F, G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Se define la suma de $F$ y $G$ por: $\qquad F + G = { u + v \mid u \in F, v \in G }$

Proposición 5.2.7

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F, G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Entonces $F + G$ es un subespacio vectorial de $E$. Es el subespacio vectorial más pequeño de $E$ conteniendo $F$ y $G$.

Demostración

• $0_E \in F$ y $0_E \in G$ por lo que $0_E = 0_E + 0_E \in F + G$.

• Sea $w_1, w_2 \in F + G$. Entonces $w_1 = u_1 + v_1$ y $w_2 = u_2 + v_2$ con $u_1, u_2 \in F$ y $v_1, v_2 \in G$. Esto implica que $w_1 + w_2 = (u_1 + u_2) + (v_1 + v_2) \in F + G$.

• Sea $\lambda \in \mathbb{K}$ y $w \in F + G$. Entonces $w = u + v$ con $u \in F$ y $v \in G$. Esto implica que $\lambda w = \lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v \in F + G$.

• Además, si $H$ es un subespacio vectorial de $E$ conteniendo $F$ y $G$, entonces para todo $u \in F$ y $v \in G$, se tiene $u \in H$ y $v \in H$, por lo que $u + v \in H$. Por lo tanto $F + G \subset H$.

Definición 5.2.8

• Sea $E$ un $\mathbb{K}$-espacio vectorial y $F, G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Se dice que $F$ y $G$ están en suma directa si $F \cap G = { 0_E }$. Se nota entonces $F \oplus G = F + G$. En este caso, todo vector $w \in F \oplus G$ se escribe de manera única como $w = u + v$ con $u \in F$ y $v \in G$.

Ejemplo

Dada $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$ como $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ Para encontrar todos los $\lambda \in \mathbb{C}$ tales que $A - \lambda I$ no sea invertible: $\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 \ -1 & 2-\lambda & -1 \ 0 & -1 & 2-\lambda \end{bmatrix}$ $= (2-\lambda) \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix} - (-1) \det \begin{bmatrix} -1 & -1 \ 0 & 2-\lambda \end{bmatrix} + 0 \det \begin{bmatrix} -1 & 2-\lambda \ 0 & -1 \end{bmatrix}$ $= (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) + (-1)(2-\lambda)$ $= (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1 - 1)$ $= (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 2)$ $= (2-\lambda)(4 - 4\lambda + \lambda^2 - 2)$ $= (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$ $\lambda_1 = 2, \lambda_{2, 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$ Autovalores: $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 2 + \sqrt{2}, \lambda_3 = 2 - \sqrt{2}$

Autovectores

Para $\lambda_1 = 2$. Se tiene que calcular $A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ -1 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$. Econtrar $v = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$ tal que $(A - 2I)v = 0$. $\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ -1 & 0 & -1 \ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$. $-x_2 = 0 \implies x_2 = 0$ $-x_1 - x_3 = 0 \implies x_1 = -x_3$ $v = \begin{bmatrix} -x_3 \ 0 \ x_3 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$. $v_1 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$ es un autovector correspondiente al autovalor $\lambda_1 = 2$.

Diagonalización

Sea $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$. Si A tiene n autovalores distintos $\lambda_1,..., \lambda_n$, entonces A es diagonalizable. Existe $P \in Gl_n (\mathbb{R})$ tal que $P^{-1}AP = D$, donde D es una matriz diagonal con los autovalores de A en la diagonal. Si $v_1,..., v_n$ son los autovectores correspondientes a los autovalores $\lambda_1,..., \lambda_n$. Los autovectores son linealmente independieentes Así que $\sum_{j \neq i} a_j \lambda_j v_j = \sum_{j \neq i} a_j \lambda_i v_j \implies \sum_{j \neq i} a_j (\lambda_j - \lambda_i) v_j = 0$. Ya que todos los autovalores son distintos, $\lambda_j - \lambda_i \neq 0$ para todo $j \neq i$. Esto significa que $a_j = 0$ para todo $j \neq i$