परिकल्पना परीक्षण अध्याय 20

ज़रूर, यहां आपके अध्ययन के लिए नोट्स दिए गए हैं:

अध्याय 20: परिकल्पना परीक्षण

1. आधारभूत अवधारणाएँ

1.1. शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना

• शून्य परिकल्पना $H_0$: जनसंख्या के बारे में एक कथन जिसे हम गलत साबित करने की कोशिश कर रहे हैं।
• वैकल्पिक परिकल्पना $H_1$: एक कथन जो शून्य परिकल्पना का खंडन करता है।

1.2. परीक्षण सांख्यिकी

• नमूना डेटा से गणना की गई एक मात्रा जिसका उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना है या नहीं।
• उदाहरण:
  • नमूना माध्य $\bar{X}$
  • टी-सांख्यिकी $\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$

1.3. p-मान

• नमूना डेटा से प्राप्त परीक्षण आंकड़े के जैसा ही चरम या उससे भी अधिक चरम परीक्षण आंकड़े को देखने की संभावना, यह मानते हुए कि शून्य परिकल्पना सही है।
• निर्णय नियम:
  • यदि p-मान ≤ महत्व स्तर ($α$), $H_0$ अस्वीकार करें।
  • अन्यथा, $H_0$ अस्वीकार न करें।

1.4. महत्व स्तर

• सही होने पर शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभावना (टाइप I त्रुटि)। आमतौर पर 0.05 (5%) पर सेट किया जाता है।
• संकेतन: $α$

2. सामान्य परिकल्पना परीक्षण

2.1. टी-टेस्ट

• साधनों की तुलना करने के लिए प्रयुक्त।
  • एक-नमूना टी-टेस्ट: एक एकल नमूने के माध्य की तुलना ज्ञात मान से करता है।
    • $H_0: \mu = \mu_0$
    • परीक्षण सांख्यिकी: $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
  • दो-नमूना टी-टेस्ट: दो स्वतंत्र नमूनों के साधनों की तुलना करता है।
    • $H_0: \mu_1 = \mu_2$
    • परीक्षण सांख्यिकी: $T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}}$
  • युग्मित टी-टेस्ट: दो संबंधित नमूनों के साधनों की तुलना करता है।
    • $H_0: \mu_d = 0$
    • परीक्षण सांख्यिकी: $T = \frac{\bar{D}}{S_D / \sqrt{n}}$

2.2. जेड-टेस्ट

• जब जनसंख्या मानक विचलन ज्ञात हो तो साधनों की तुलना करने के लिए प्रयुक्त।
• एक-नमूना जेड-टेस्ट:
  • $H_0: \mu = \mu_0$
  • परीक्षण सांख्यिकी: $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
• दो-नमूना जेड-टेस्ट:
  • $H_0: \mu_1 = \mu_2$
  • परीक्षण सांख्यिकी: $Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2}}$

2.3. काई-वर्ग टेस्ट

• वर्गीय डेटा का परीक्षण करने के लिए प्रयुक्त।
  • गुडनेस-ऑफ-फिट टेस्ट: टेस्ट करता है कि क्या एक वर्गीय चर का देखा गया वितरण एक परिकल्पित वितरण से अलग है।
    • $𝐻_0$: डेटा निर्दिष्ट वितरण का अनुसरण करता है।
    • परीक्षण सांख्यिकी: $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
  • स्वतंत्रता का परीक्षण: टेस्ट करता है कि क्या दो वर्गीय चर स्वतंत्र हैं।
    • $𝐻_0$: दो चर स्वतंत्र हैं।
    • टेस्ट स्टेटिस्टिक: $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

3. उदाहरण

3.1. टी-टेस्ट उदाहरण

• एक शोधकर्ता जानना चाहता है कि क्या विश्वविद्यालय A में छात्रों की औसत ऊंचाई 170 सेमी से अलग है।
  • $H_0: \mu=170$
  • $H_1: \mu \neq 170$
  • n = 30 छात्रों का एक साधारण यादृच्छिक नमूना एकत्र करें और उनकी ऊंचाई मापें।
  • नमूना माध्य $\bar{X}$ और नमूना मानक विचलन S की गणना करें।
  • टी-सांख्यिकी की गणना करें: $T = \frac{\bar{X} - 170}{S / \sqrt{30}}$
  • पी-मान निर्धारित करें और इसकी तुलना महत्व स्तर $\alpha$ से करें।
  • $𝐻_0$ के बारे में निर्णय लें।

4. परिकल्पना परीक्षण में त्रुटियाँ

4.1. टाइप I त्रुटि (झूठी सकारात्मक)

• शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना जब वह सही हो।
• संभावना: $\alpha$

4.2. टाइप II त्रुटि (झूठी नकारात्मक)

• शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल होना जब वह गलत हो।
• संभावना: $\beta$

4.3. एक परीक्षण की शक्ति

• गलत होने पर शून्य परिकल्पना को सही ढंग से अस्वीकार करने की प्रायिकता।
• सूत्र: $1 - \beta$

5. मान्यताएँ

5.1. टी-टेस्ट

• डेटा लगभग सामान्य रूप से वितरित होना चाहिए।
• दो समूहों का प्रसरण समान होना चाहिए (दो-नमूना टी-टेस्ट के लिए)।

5.2. जेड-टेस्ट

• डेटा लगभग सामान्य रूप से वितरित होना चाहिए।
• जनसंख्या मानक विचलन ज्ञात होना चाहिए।

5.3. काई-वर्ग टेस्ट

• अपेक्षित सेल गणना पर्याप्त रूप से बड़ी होनी चाहिए (कम से कम 5)।
• डेटा वर्गीय होना चाहिए।

6. एकाधिक परीक्षण के लिए सुधार

6.1. बोनफेरोनी सुधार

• महत्व स्तर $\alpha$ को परीक्षणों की संख्या से विभाजित करें।
• समायोजित महत्व स्तर: $\alpha' = \frac{\alpha}{n}$

6.2. झूठी खोज दर (FDR) नियंत्रण

• अस्वीकृत परिकल्पनाओं के बीच झूठे सकारात्मक के अपेक्षित अनुपात को नियंत्रित करता है।

7. सॉफ्टवेयर

7.1. आर

• टी-टेस्ट के लिए t.test()।
• जेड-टेस्ट के लिए z.test() (निर्मित नहीं, बाहरी पैकेज की आवश्यकता है)।
• काई-वर्ग परीक्षणों के लिए chisq.test()।

7.2. पाइथन

• टी-टेस्ट के लिए scipy.stats.ttest_1samp(), scipy.stats.ttest_ind(), scipy.stats.ttest_rel()।
• जेड-टेस्ट के लिए statsmodels.stats.weightstats.ztest()।
• काई-वर्ग परीक्षणों के लिए scipy.stats.chisquare() and scipy.stats.contingency.chi2_contingency()।

अभ्यास 1

$f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$ द्वारा $\mathbb{R}$ पर परिभाषित फलन $f$ पर विचार करें। नोट करें कि $C$ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $(0 ; \vec{i}, \vec{j})$ में इसका ग्राफिकल प्रतिनिधित्व है जिसका ग्राफिकल यूनिट 2 सेमी है।

• a) सत्यापित करें कि, सभी वास्तविक $x$ के लिए, $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ है

• b) $+\infty$ और $-\infty$ पर $f$ की सीमाएं निर्धारित करें। रेखांकन की व्याख्या करें।

• a) साबित करें कि $f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$।

• b) तब $\mathbb{R}$. पर $f$ के भिन्नता की दिशा का अनुमान लगाएं।

• साबित करें कि निर्देशांक $(0 ; \frac{1}{2})$ का बिंदु $I$ वक्र $C$ का एक केंद्र है।

• a) बिंदु $I$ पर वक्र $C$ के स्पर्शरेखा $(T)$ के समीकरण का पता लगाएं।

• b) $C$ के सापेक्ष $(T)$ की स्थिति का अध्ययन करें।

अभ्यास 2

मान लीजिए $\mathbb{R}$ पर परिभाषित फलन है $f(x) = x^2e^{-x}$.

• $+\infty$ और $-\infty$ पर की $f$ सीमाओं को निर्धारित करें।

• की $f$ विविधताओं का अध्ययन करें और इसकी पूरी भिन्नता तालिका बनाएं।

• आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व ट्रेस करें।

मान लीजिए $\lambda$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। हम डालते हैं: $\lambda$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। हम डालते हैं: $A(\lambda) = \int_0.\lambda f(x) dx$.

• एकीकरण द्वारा भागों का उपयोग करके, की गणना करें $A(\lambda)$.
• निर्धारित करें $\lim_{\lambda \to +\infty} A(\lambda)$.

अभ्यास 3

अनुक्रम पर विचार करें $(u_n)$ द्वारा परिभाषित:

$\begin{cases} u_0 = 1 \
u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + n - 2 \end{cases}$

• गणना करें $u_1$, $u_2$, $u_3$ और $u_4$.

• अनुक्रम के लिए $(v_n)$ विचार करें सभी पूर्णांकों $n$ द्वारा परिभाषित $v_n = u_n - \frac{3}{2}n + \frac{21}{4}$:

• a) साबित करें कि $n$ एक ज्यामितीय अनुक्रम है। उस दर को निर्दिष्ट करें जिसका यह पालन करता है।

• b) $v_n$ का मान मान $n$ और $u_n$ दोनों के अनुसार घटाएं।

• अनुक्रम का परिमित मान $(u_n)$ की गणना करें।