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Questions and Answers
पॉलीनोमियल का क्या मतलब है?
किस प्रकार के पॉलीनोमियल में केवल एक ही पद होता है?
डिग्री 2 के पॉलीनोमियल को किस नाम से जाना जाता है?
इनमें से कौन-सा पॉलीनोमियल को सरल कारकों में विभाजित करने की प्रक्रिया है?
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दो बायनॉमियल्स का गुणन करने के लिए कौन-सी विधि सबसे उपयुक्त है?
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धनात्मक पूर्णांक की डिग्री वाली पॉलीनोमियल का क्या अर्थ है?
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इनमें से कौन-सा पॉलीनॉमियल को शून्य के बराबर सेट करने वाला समीकरण है?
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समान पदों को जोड़ने या घटाने की प्रक्रिया को क्या कहा जाता है?
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Study Notes
Definition Of Polynomials
- A polynomial is a mathematical expression that consists of variables raised to non-negative integer powers and coefficients.
- General form: ( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 )
- ( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ) are constants (coefficients).
- ( n ) is a non-negative integer representing the degree of the polynomial.
Types Of Polynomials
-
Based on Number of Terms:
- Monomial: One term (e.g., ( 3x^2 )).
- Binomial: Two terms (e.g., ( x^2 + 4 )).
- Trinomial: Three terms (e.g., ( x^2 + 2x + 1 )).
- Polynomial: More than three terms.
-
Based on Degree:
- Constant Polynomial: Degree 0 (e.g., ( 5 )).
- Linear Polynomial: Degree 1 (e.g., ( 2x + 3 )).
- Quadratic Polynomial: Degree 2 (e.g., ( x^2 - 4x + 4 )).
- Cubic Polynomial: Degree 3 (e.g., ( x^3 + 2x^2 + 3 )).
- Higher-Degree Polynomials: Degree greater than 3.
Factoring Polynomials
- Process of breaking down a polynomial into simpler factors that, when multiplied together, yield the original polynomial.
- Common techniques include:
- Factoring out the Greatest Common Factor (GCF).
-
Using special products:
- Difference of squares: ( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ).
- Perfect square trinomials: ( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 ).
- Factoring by grouping: Grouping terms to factor out common factors.
- Quadratic trinomials: Using formulas like ( ax^2 + bx + c ).
Polynomial Operations
-
Addition/Subtraction: Combine like terms.
- Example: ( (2x^2 + 3x) + (x^2 + 4) = 3x^2 + 3x + 4 )
-
Multiplication: Use distributive property or FOIL for binomials.
- Example: ( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 )
-
Division: Polynomial long division or synthetic division.
- Example: Divide ( x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ) by ( x + 1 ).
Polynomial Equations
-
An equation that sets a polynomial equal to zero.
-
General form: ( P(x) = 0 ).
-
Solutions (roots) can be found using:
- Factoring.
- Quadratic formula (for quadratics): ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ).
- Numerical methods for higher degrees.
-
The Fundamental Theorem of Algebra states that a polynomial of degree ( n ) has exactly ( n ) roots (considering multiplicity).
बहुपदों की परिभाषा
- बहुपद एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें चर (variables) को गैर-नकारात्मक पूर्णांक शक्ति के रूप में और गुणांक (coefficients) होते हैं।
- सामान्य रूप: ( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 )
- ( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ) गुणांक हैं, और ( n ) गैर-नकारात्मक पूर्णांक है जो बहुपद की डिग्री को दर्शाता है।
बहुपद के प्रकार
-
शब्दों की संख्या के आधार पर:
- मोनोमियल: एक शब्द (जैसे ( 3x^2 ))
- बाइनोमियल: दो शब्द (जैसे ( x^2 + 4 ))
- ट्रिनोमियल: तीन शब्द (जैसे ( x^2 + 2x + 1 ))
- बहुपद: तीन से अधिक शब्द।
-
डिग्री के आधार पर:
- स्थायी बहुपद: डिग्री 0 (जैसे ( 5 ))
- रेखीय बहुपद: डिग्री 1 (जैसे ( 2x + 3 ))
- बहु-रेखीय बहुपद: डिग्री 2 (जैसे ( x^2 - 4x + 4 ))
- घन बहुपद: डिग्री 3 (जैसे ( x^3 + 2x^2 + 3 ))
- ऊँची डिग्री के बहुपद: डिग्री 3 से अधिक।
बहुपदों को गुणा करना
- बहुपद को सरल गणनाओं में विभाजित करने की प्रक्रिया है, जिसे गुना करने पर मूल बहुपद प्राप्त होता है।
- सामान्य तकनीकें शामिल हैं:
- महानतम सामान्य गुणांक (GCF) निकालना।
-
विशेष उत्पादों का उपयोग:
- वर्गों का अंतर: ( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) )
- पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल: ( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 )
- समूह द्वारा गुणा करना: सामान्य गुणांकों के लिए शब्दों को समूहित करना।
- क्वाड्रेटिक ट्रिनोमियल: जैसे ( ax^2 + bx + c ) के लिए सूत्रों का उपयोग करना।
बहुपद क्रियाएँ
-
जोड़/घटाव: समान शब्दों को मिलाना।
- उदाहरण: ( (2x^2 + 3x) + (x^2 + 4) = 3x^2 + 3x + 4 )
-
गुणा: वितरणीय गुणन या बाइनोमियल्स के लिए FOIL का उपयोग करना।
- उदाहरण: ( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 )
-
भाग: बहुपद दीर्घ भागन या संश्लेषण भागन।
- उदाहरण: ( x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ) को ( x + 1 ) से भाग दें।
बहुपद समीकरण
- यह एक समीकरण है जो एक बहुपद को शून्य के बराबर करता है।
- सामान्य रूप: ( P(x) = 0 )
- समाधान (roots) प्राप्त करने के तरीके:
- गुणा करना।
- क्वाड्रेटिक सूत्र (क्वाड्रेटिक्स के लिए): ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
- उच्च डिग्री के लिए संख्यात्मक विधियाँ।
- मूलभूत बीजगणित का प्रमेय कहता है कि डिग्री ( n ) वाले बहुपद के ठीक ( n ) जड़ें होती हैं (गुणन के साथ)।
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Description
इस क्विज में पॉलिनोमियल क्या होते हैं और उनके प्रकार के बारे में जानकारी दी गई है। आप जानेंगे कि एक पॉलिनोमियल कैसे परिभाषित किया जाता है और इसे विभिन्न प्रकारों में कैसे वर्गीकृत किया जाता है। इसके अलावा, आप विभिन्न डिग्री के पॉलिनोमियल्स के उदाहरण भी देखेंगे।
