पॉलिनोमियल की परिभाषा और प्रकार

Definition Of Polynomials

• A polynomial is a mathematical expression that consists of variables raised to non-negative integer powers and coefficients.
• General form: ( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 )
  • ( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ) are constants (coefficients).
  • ( n ) is a non-negative integer representing the degree of the polynomial.

Types Of Polynomials

1. Based on Number of Terms:

   • Monomial: One term (e.g., ( 3x^2 )).
   • Binomial: Two terms (e.g., ( x^2 + 4 )).
   • Trinomial: Three terms (e.g., ( x^2 + 2x + 1 )).
   • Polynomial: More than three terms.

2. Based on Degree:

   • Constant Polynomial: Degree 0 (e.g., ( 5 )).
   • Linear Polynomial: Degree 1 (e.g., ( 2x + 3 )).
   • Quadratic Polynomial: Degree 2 (e.g., ( x^2 - 4x + 4 )).
   • Cubic Polynomial: Degree 3 (e.g., ( x^3 + 2x^2 + 3 )).
   • Higher-Degree Polynomials: Degree greater than 3.

Factoring Polynomials

• Process of breaking down a polynomial into simpler factors that, when multiplied together, yield the original polynomial.
• Common techniques include:
  • Factoring out the Greatest Common Factor (GCF).
  • Using special products:
    • Difference of squares: ( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ).
    • Perfect square trinomials: ( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 ).
  • Factoring by grouping: Grouping terms to factor out common factors.
  • Quadratic trinomials: Using formulas like ( ax^2 + bx + c ).

Polynomial Operations

• Addition/Subtraction: Combine like terms.
  • Example: ( (2x^2 + 3x) + (x^2 + 4) = 3x^2 + 3x + 4 )
• Multiplication: Use distributive property or FOIL for binomials.
  • Example: ( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 )
• Division: Polynomial long division or synthetic division.
  • Example: Divide ( x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ) by ( x + 1 ).

Polynomial Equations

• An equation that sets a polynomial equal to zero.

• General form: ( P(x) = 0 ).

• Solutions (roots) can be found using:

  • Factoring.
  • Quadratic formula (for quadratics): ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ).
  • Numerical methods for higher degrees.

• The Fundamental Theorem of Algebra states that a polynomial of degree ( n ) has exactly ( n ) roots (considering multiplicity).

बहुपदों की परिभाषा

• बहुपद एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें चर (variables) को गैर-नकारात्मक पूर्णांक शक्ति के रूप में और गुणांक (coefficients) होते हैं।
• सामान्य रूप: ( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 )
• ( a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ) गुणांक हैं, और ( n ) गैर-नकारात्मक पूर्णांक है जो बहुपद की डिग्री को दर्शाता है।

बहुपद के प्रकार

• शब्दों की संख्या के आधार पर:

  • मोनोमियल: एक शब्द (जैसे ( 3x^2 ))
  • बाइनोमियल: दो शब्द (जैसे ( x^2 + 4 ))
  • ट्रिनोमियल: तीन शब्द (जैसे ( x^2 + 2x + 1 ))
  • बहुपद: तीन से अधिक शब्द।

• डिग्री के आधार पर:

  • स्थायी बहुपद: डिग्री 0 (जैसे ( 5 ))
  • रेखीय बहुपद: डिग्री 1 (जैसे ( 2x + 3 ))
  • बहु-रेखीय बहुपद: डिग्री 2 (जैसे ( x^2 - 4x + 4 ))
  • घन बहुपद: डिग्री 3 (जैसे ( x^3 + 2x^2 + 3 ))
  • ऊँची डिग्री के बहुपद: डिग्री 3 से अधिक।

बहुपदों को गुणा करना

• बहुपद को सरल गणनाओं में विभाजित करने की प्रक्रिया है, जिसे गुना करने पर मूल बहुपद प्राप्त होता है।
• सामान्य तकनीकें शामिल हैं:
  • महानतम सामान्य गुणांक (GCF) निकालना।
  • विशेष उत्पादों का उपयोग:
    • वर्गों का अंतर: ( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) )
    • पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल: ( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 )
  • समूह द्वारा गुणा करना: सामान्य गुणांकों के लिए शब्दों को समूहित करना।
  • क्वाड्रेटिक ट्रिनोमियल: जैसे ( ax^2 + bx + c ) के लिए सूत्रों का उपयोग करना।

बहुपद क्रियाएँ

• जोड़/घटाव: समान शब्दों को मिलाना।

  • उदाहरण: ( (2x^2 + 3x) + (x^2 + 4) = 3x^2 + 3x + 4 )

• गुणा: वितरणीय गुणन या बाइनोमियल्स के लिए FOIL का उपयोग करना।

  • उदाहरण: ( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6 )

• भाग: बहुपद दीर्घ भागन या संश्लेषण भागन।

  • उदाहरण: ( x^3 + 2x^2 + 3x + 4 ) को ( x + 1 ) से भाग दें।

बहुपद समीकरण

• यह एक समीकरण है जो एक बहुपद को शून्य के बराबर करता है।
• सामान्य रूप: ( P(x) = 0 )
• समाधान (roots) प्राप्त करने के तरीके:
  • गुणा करना।
  • क्वाड्रेटिक सूत्र (क्वाड्रेटिक्स के लिए): ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
  • उच्च डिग्री के लिए संख्यात्मक विधियाँ।
• मूलभूत बीजगणित का प्रमेय कहता है कि डिग्री ( n ) वाले बहुपद के ठीक ( n ) जड़ें होती हैं (गुणन के साथ)।