Écrire la négation des propositions suivantes :

1. 
   ∀ ∈ ℝ ;
    ≥    ≤ 
2. 
   ∃ ∈  ;  +  > 
3. 
   ∀ ∈ ℝ
   ∃ ∈ ℝ ;  ≤  <  + 
4. 
   ∀ ∈  ;  ≠  ⇒  > 
5. 
   ∀ ∈ ℝ ;  +  ≥  ⇔  ≥ 

Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs :

1. Pour tout entier naturel  il existe au moins un entier naturel  tel que  ≤ 
2. Le carré de tout réel est positif.
3. Il n’existe aucun rationnel solution de l’équation   −  = 
4. L’équation   −  −  =  admet une solution unique dans ℝ
5. La somme de deux cotés d’un triangle est supérieur strictement au troisième coté. On considère la proposition suivante : P: "
   ∃ ∈ ℝ
   ∀! ∈ ℝ ;   + ! + ! ≠  "
6. Écrire la négation de la proposition P.
7. Montrer que la proposition P est vraie.
8. Écrire la négation de la proposition P : " "∀ ∈ ℝ+

;  ≥  $%  −  +  >  "

2. Montrer que la proposition P est vraie. Soient  et ! deux réels appartenant à l’intervalle & , +∞( Montrer que :  ≠ ! ⇒  −  ≠ ! − ! . Montrer que : "∀ ∈ ∗

√ +  ∉ 

Montrer que : 
 + 
 +  est un multiple de 3 pour tout  de  On considère la fonction , définie sur ℝ par : ,
 =  +  Montrer que , n’est ni paire, ni impaire.

Montrer que :  + -./ est divisible par 11 pour tout  de  Montrer par récurrence que :

1. "∀ ∈ ℝ+ ∗

∀ ∈ ;
 + 

 ≥  +  2)  ×  +  ×  + ⋯ + 
 +  =   
 + 
 +  pour tout  de  3) Soit
, 3 ∈ ℝ Montrer que :
∀4 >  | − 3| ≤ 4 ⟺  = 3 4) Montrer que : c) 7∀
, 3 ∈ ℝ 8 ;  + 3 =  ⟹ | + 3| ≤ √ d)  × : est pair ou   − :  est un multiple de ; pour tout  et : de ℕ.