Osnove statistike

Osnove statistike

• Statistika izvira iz latinskega izraza "statisticum collegium" in prvotno označuje državoslovje. Od 19. stoletja dalje pomeni splošno zbiranje podatkov.
• Danes statistika obsega številčne podatke, zbiranje podatkov, organe za zbiranje statističnih podatkov (SURS, EUROSTAT), in znanost, ki se ukvarja z zbiranjem, analizo in interpretacijo podatkov.
• Statistika je veda o urejanju velikega števila podatkov in proučuje množične pojave, ki se kažejo v velikem številu v določenem času in prostoru.
• Gre za vrsto tehnik analiziranja, interpretacije in sprejemanja odločitev na osnovi podatkov, ki omogočajo ocenjevanje sedanjosti in napovedovanje prihodnosti.
• Statistika je metoda proučevanja, ki velja za vse množične pojave neodvisno od predmeta proučevanja.
• Namen statističnega proučevanja je razumevanje množičnega pojava in odkrivanje njegovih zakonitosti, kar pomaga drugim strokam pri upravljanju in načrtovanju različnih procesov.
• Statistično proučevanje je razdeljeno na tri faze: zbiranje in urejanje podatkov, analiza s statističnimi metodami in interpretacija rezultatov.
• Statistično znanje je pomembno za razumevanje in raziskovanje na vseh znanstvenih področjih, razumevanje strokovne literature in zaznavanje nelogičnih ugotovitev.

Zakaj se učimo statistike

• Statistika je povezava med raziskovalno idejo in uporabnimi zaključki v znanosti.
• Omogoča razlaganje velikih količin informacij, ki jih vsebujejo podatki, in omogoča urejanje številk v bolj razumljivo obliko.
• Statistika zagotavlja orodja za pravilno ocenjevanje podatkov in trditev, s čimer se lahko pametno odzovete na informacije.

Osnovni statistični pojmi

• Pri statističnem proučevanju je treba opredeliti statistično populacijo, enoto, vzorec in spremenljivko za razumevanje opazovanega pojava.
• Statistično populacijo predstavlja množica vseh proučevanih elementov oziroma enot, ki jo je treba natančno opredeliti (stvarno, krajevno in časovno).
• Statistična enota je posamezen proučevani element; enote delimo na realne in dogodke/dogajanja.
• Velikost populacije označujemo z N.
• Vzorec je podmnožica populacije, izbrana z namenom oceniti stanje v populaciji, ki jo dobro posreduje in imenujemo reprezentativen vzorec. Velikost vzorca označujemo z n, pri čemer je n < N.
• V statistiki posamezno lastnost enote opisuje statistična spremenljivka, ki jo označujemo z velikimi tiskanimi črkami (X, Y, itd.), njihove vrednosti pa s pripadajočimi malimi.

Vrste spremenljivk

• Opisne (atributivne) spremenljivke imajo vrednosti izražene z opisi (besedami), medtem ko imajo številske (numerične) vrednosti izražene s števili.
• Številske spremenljivke delimo na zvezne (lahko zavzamejo katerokoli vrednost na nekem intervalu) in diskretne (lahko zavzamejo le določeno število vrednosti).
• Statistični spremenljivki določimo mersko lestvico glede na urejenost vrednosti spremenljivke.
• Ločimo štiri vrste spremenljivk glede na tip merjenja: imenske (nominalne) spremenljivke, urejenostne (ordinalne) spremenljivke, razmične (intervalne) spremenljivke in razmernostne spremenljivke.
• Nominalne spremenljivke nimajo nobene urejenosti, ordinalne pa lahko uredimo glede na določen vrstni red.
• Intervale spremenljivke so izražene s številkami in jih lahko odštevamo, razmernostne spremenljivke pa so številske, kjer lahko računamo tudi razmerje poljubnih dveh vrednosti.
• Različne vrste spremenljivk nosijo različno količino informacij oziroma imajo različne merske lastnosti.

Tipi statističnih analiz

• Glede na namen statistične analize ločimo opisno in sklepno statistiko.
• Opisna statistika opisuje zbrane podatke brez posploševanja, medtem ko sklepna statistika omogoča sklepanje o značilnostih celotne populacije na osnovi vzorčnih podatkov.
• Glede na število hkrati analiziranih spremenljivk ločimo univariatno, bivariatno in multivariatno analizo.

Merjenje in zbriranje podatkov v psihologiji

• V statistiki izvajamo analize na osnovi kvantitativnih, empiričnih podatkov pridobljenih z merjenjem.
• Merjenje je postopek pripisovanja vrednosti določenim vedenjem ali lastnostim enote.
• V psihologiji merimo konstrukte, saj večine stvari ne moremo izmeriti neposredno, te so "psihološke zadeve".
• Vprašanje, s pomočjo katerega želimo izmeriti vedenje, imenujemo trditev ali postavka. Zbirka postavk pa je anketa, vprašalnik, instrument ali lestvica.
• Razlikujemo lestvice (test), podlestvice (podtest) ter ankete.
• Za merjenje konstruktov je potrebno uporabiti različne postavke, ki zajamejo vse dimenzije konstrukta.

Vnos, urejanje in pregled podatkov

• Ko podatke zberemo, jih moramo pregledati in prečistiti: Ali so podatki ustrezni? Ali so vrednosti na posameznih spremenljivkah »sprejemljive«? Kakšne oznake v podatkih določajo manjkajoče vrednosti?
• Čiščenje podatkov vključuje: popravke neustreznih vrednosti, poenotenje oznak za manjkajoče vrednosti in pripis ustreznih opisnih vrednosti opisnim spremenljivkam.

Prikaz podatkov s pomočjo tabel in grafov

• Za lažje razumevanje podatkov se uporablja tabele in preglednice, diagrame, grafe in druga vizualna orodja, da vidimo porazdelitev podatkov oziroma spremenljivk.
• Izbira vizualnega orodja je odvisna od vrste spremenljivke (opisne ali številske).

Prikaz Opisnih spremenljivk

• Opisne spremenljivke so kvalitativne, vrednosti izražene z besedami. Frekvenčna tabela prikazuje porazdelitev enot glede na opisno spremenljivko.
• Frekvenčna tabela vsebuje stolpce za različne vrednosti spremenljivke (označimo s k), absolutno frekvenco (označimo z fk) ter relativne in kumulativne frekvence.
• Frekvenčno tabelo lahko grafično prikažemo s strukturnimi stolpci ali strukturnimi krogi.
• Tudi grafični prikaz mora biti samozadosten.

Prikaz Številskih spremenljivk

• Porazdelitev enot glede na številske spremenljivke lahko prikažemo s frekvenčno tabelo, kjer vrednosti grupiramo v razrede (spodnja in zgornja meja razreda). Širino k-tega razreda je: dk = Xk,max - Xk,min
• Sredino k-tega razreda je: Xk = (Xk,min + Xk,max)/2
• Frekvenčno porazdelitev številskih spremenljivk grafično prikažemo s histogramom, poligonom in ogivo. Pomembno je, da so razredi enako široki.

Normalna porazdelitev

• S pomočjo oblike histograma se oceni ali se določeni podatki priblišujejo normalni (Gaussovi) porazdelitvi.
• Oblika porazdelitve se lahko razlikuje od normalne zaradi nehomogenosti populacije, okrnjenega delovanja določenih faktorjev, itd.
• Alternativne porazdelitve: bimodalna, asimetrična v levo, polimodalna, asimetrična v desno, koničasta ali bolj sploščena.

Kvartili in okvir z ročaji

• Porazdelitev številskih spremenljivk lahko prikažemo tudi s pomočjo okvirja z ročaji (boxplot), ki prikazuje pogojni minimum in maksimum, kvartile ter osamelce.
• Kvartili delijo urejeno ranžirno vrsto na štiri enake dele.
• Prvi kvartil Q1 je vrednost, od katere ima četrtina enot manjšo in tri četrtine večjo vrednost, drugi kvartil Q2 je mediana, tretji kvartil Q3 pa je vrednost, od katere ima tri četrtine enot manjšo in četrtina večjo vrednost.
• Osamelec je vrednost, ki bistveno odstopa od večine ostalih vrednosti, ekstremni osamelec pa osamelec, ki ima vrednost manjšo od Q₁ - 3Q ali večjo od Q1 + 3·Q.
• Pogojni minimum min* je najmanjša vrednost, ki ni spodnji osamelec, pogojni maksimum max* pa največja vrednost, ki ni zgornji osamelec. Okvir ročaji določa 5 točk: min*, Q1, Q2, Q3 ter max*.

APA standardi za prikaz podatkov

• Tabele in slike omogočajo piscem učinkovito predstavitev velike količine informacij in večjo razumljivost podatkov.
• V tabeli so običajno prikazane številčne vrednosti in/ali besedilne informacije, razporejene v stolpce in vrstice.
• Slika je lahko grafikon, graf, fotografija, risba, diagram, infografika ali katera koli druga ilustracija, ki ni tabela.
• Cilj vsake tabele ali slike je pomagati bralcem pri razumevanju dela in morajo biti prilnacno dostopne uporabnikom.

Priprava tabel po APA standardih

• Tabela je brez navpičnih črt, zgornja in spodnja linija sta debelejši, črta pod legendo tanjša, brez vmesnih vodoravnih črt, brez barv.
• Nad tabelo s krepkim tiskom zapišemo številko tabele v novo vrstico pa za razmikom dodamo še naslov tabele v ležečem tekstu brez pike na koncu.
• če imamo opombe, jih dodamo pod tabelo v velikosti besedila 10 pt; izraz »Opombe.« zapišemo v ležečem tisku, tekst pa v normalnem in Opombe dodajamo takrat, kadar imamo v tabeli kratice, ki niso splošno znane.

Priprava slik po APA standardih

• Nad sliko s krepkim tiskom zapišemo številko slike, v novo vrstico pa za razmikom dodamo še kratek opis slike v ležečem tekstu brez pike na koncu;;
• če imamo opombe, jih dodamo pod sliko in izraz »Opombe.« zapišemo v ležečem tisku, tekst pa v normalnem. Opombe služijo temu, da natančneje opišemo vstavljeno sliko.

Opisna statistika

• S pomočjo opisne statistike opišemo posamezne spremenljivke, pri tem pa nas zanimajo osnovne značilnosti spremenljivk, zato je to tudi prvi korak v procesu statistične analize podatkov.
• V okviru opisne statistike se osredotočamo na prikaz skupnih lastnosti enot, ki nam omogočajo opisati posamezne spremenljivke.
• Skupne lastnosti enot lahko prikažemo s pomočjo različnih mer, med katerimi najpogosteje uporabljamo srednje vrednosti in mere variabilnosti.

Srednje vrednosti

• Srednje vrednosti spremenljivke predstavljajo mere sredine spremenljivke: najbolj tipična, običajna, reprezentativna, normalna, pričakovana, pogosta.
• Za ostale vrednosti spremenljivke velja, da se od srednje vrednosti bolj ali manj odklanjajo (pravimo tudi, da variirajo). Slabše kot se posamezne vrednosti odklanjajo od srednje vrednosti, tem slabše ta predstavlja spremenljivko.
• Med srednjimi vrednostmi se najpogosteje pojavljajo: mediana (Me), modus (Mo) in aritmetična sredina. Katera srednja vrednost je primerna, pa je odvisno od njene merske lestvice.

Modus

• Modus je edina srednja vrednost, ki je primerna za vse vrste spremenljivk, tudi za nominalne.
• Modus je lahko eden, več ali pa ga ne določimo.
• Pri spremenljivki z opisnimi vrednostmi ali diskretnimi številskimi vrednostmi je modus tista vrednost, ki se najpogosteje pojavlja.
• Pri številske spremenljivke z zveznimi vrednostmi je modus tista vrednost spremenljivke, okoli katere se ostale vrednosti najbolj gostijo.

Mediana

• Mediana je tista vrednost spremenljivke, od katere je ravno toliko vrednosti manjših, kolikor jih je tudi večjih.
• Deli vrednosti spremenljivk (urejene po velikosti) na polovico.
• Primerna za ordinalne (ali boljše) spremenljivke in izračunamo jo s pomočjo ranžirne vrste.
• V ranžirni vrsti se z vrednostjo N=2m +1 Mediano izračuna kot xm+1
• V ranžirni vrsti se pa z vrednostjo N=2m Mediano izračuna kot (xm+xm+1)/2

Aritmetična sredina

• Arimetična sredina je srednja vednost, ki je primerna za intervalne in razmernostne spremenljivke ter je tudi primerna za tiste številske spremenljivke, ki so približno normalno porazdeljene.
• Vedno leži med vrendostmi spremenljivke.
• Za poplucijo: m = 1/N * vsota X, i = 1 do N
• Za vzorec: povprečno X = 1/n * vsota Xi i = 1 do n

Mere Variabilnosti

• Srednja vrednost je predstavnik vseh vednosti spremenljivke, vendar je njena informativoost le deloma natančna.
• Ne vemo koliko so podatki variabilni (koliko se vednosti med seboj razlikujejo), koliko se vrednosti odmikajo od sredine ali kolikšna je razlika od sredine.
• Za podredno razrešico so nam lahko v oporo količine ki jim rečemo mere variabilnosti, ki dopolnjujejo mere sredine , Med njimi ločimo absolutne in relativne mer variabilnosti.
• Absolutne mere variabilnosti najpogosteje računamo varianco in standardni odklon.
• Relativne mere variabilnosti so aspolutne mere deljenje z ustrezno srednjo vrenostjo. Naj pogosteje računamo koeficient varianca.
• Relativne mere variabilnosti lahk uporabljano le pri razmernostnih spremenjivkah

Varianca

• Varianca velja za eno najpomembmejših mer variabilnosti, Opazovana je na osnoiv voste kvadratov odklonev od povprečja.
• Formula*: Sigma^2 = Sum(Xi - mi)^(1/N), Na populaciji S^2 = Vsota (xi - X)^2 * 1/(n-1), Na vzorcu

Standardni odklon

• Prav tako velja za najpomemembnejšo med variabilnostmi
• Lahko ugotovimo na osnovni enačbi za izračun variance, je ta izražena v kvadratnih merski enotah opazovane spremenljivke in je zato vsebinso težje obrazložljiva mera
• Zato varianco korenimo, dobimo standardni odklon, ki ima iste merske enote kot spremenljivka.
• Standardni odklon ima tud vsebinski pomen, kot je prikazano, za spremeljivko, ki ima prebližno simetrično, unimodalno frekvenčno porazdelitev, pričakujemo da se bo:
• *približno 2/3 vrednosti spremenljivke nahajal na intervalu mi +- sigma za populacijo oz. X + - s za vzorec;
• približno 95% vrednosti spremenljivke nahajal na intervalu mi+-2 *sigma za populacijo oz X= - 2s za vzorec;
• skoraj vse vrednosti spremenljivke nahajale na intervalu mi+- 3sigma za populacijo oz. X+= 3s za vzorec

Koeficient Variacije

• Imejemo tudi relativni standardni odklon in prestavlja razmerje med standardrdnim odkloni aritmetino sredino
• Meri, kolkisen odstotek aritmemtiče srdenje predstakvlya standardni odklo Formula: KV = S/ povprežno X; za populacijo KV = Sigma/ mi; za vzorec

Verjetnostni račun in statistika

• Statistika proučuje lastnosti populacije tako, da analizira spremenljivke, ki opisujejo to populacijo. Zanimajo jo predvsem porazdelitev spremenljivk in določene značilnosti teh porazdelitev povprečne vrednoti in standardne odklone.
• Kadar imamo podatke za vse enotes, potemlahko nepopesredno ovrednotimo lastnosti populaxije.
• V nasprotno primeru enote izbere močne vzorce in izračunava o ocene popolacij.
• Pomagamo pa si z verjetnostnim računom- matematična disciplina, ki prejstavlja ossnovo orodje statistike prei delu z nepopolsnim informxijom

Slučajna Spermenljivka

• Statistične spremenljivke prikažejo določeno lasnost enote. Marenje ten lasnosti lahko izvedemo na celotno poplucijo, ajpogostem da pa jih merjenja izvajajo na enotah v vzorcu.
• Če bila izbral enote v vzorcu slučajjna, je tudi vrednost statitisce spremeljivke pri posmamezni neti vzroca odvisno od slučaja Taksne statistničnim spremnevlkvma pravimu količinom ki v vsakma poskusu dobi niko vrednost in in tem se iz od slučaja. Formula P ( X < x) + F(x)

Diskretne slučajne spremenljivke

• Zaloga vrednosti diskrete slučajne spremenljivke x je cončna množica

• x1, x#, ....xm. Vse izmerljivi dogodki x so števlil z k 1 do ma in pripišemo pripadajoče verjetnosti

• Porazdeljeva funkciija je v tem primeru: - `Σ i = P1

• Če vse verjetnosta enakone, s eporazdeljuje enakomerno-enako disketnaporazdelje

• Ena najpomembnerših porazdelitev diskretne spremeljivk je binomoska poredelitev z: a) alalogo vrednosti{0,1,2,... n) in b) vrenostim ki ih racucanu po Bernoullijevem obrauzcu.

• P(x = k( = N (p/m" (1 - p)^(n-k) k = 0.1.23...

• Binomska porazdelitev je natančno določena z dvemi podatki, ametroma: in in p. Ĉe se slučajna spremenljivke x opazimoo binoskom parametrou in binp izpisemo.

Zvezne slučajne spremenljive

• Zaloga vednostina zvzne slučajna spremenljivke X je vsako vsako realno število znotra - intervala a < x /6 verjetnost je ne slučaona funkcija zavarazme enote vrednos: Formula p(x)dx
• Funkcijo p(x) imenujemo verjetnostna gostota: Če Je vezn porazdeljva enakomerno i je berjtevestno gostost

Verjetntostie Porazdelitve

• Najo krat uporabljane zvezne verjetno porazedelitve, ki ji skušamo v statistix so: normaola gaoussova poredelitev), studentova y poredelitev, hi.kadrat oz. x² poredelite, F poredolitev.

Normaola ( Gaussvoa Poredelited)

Normla, poredelievev igrao serdnjo vlogo v verjetnosti in statistike Centramo limitni namre pravilno da če jeučajna spremenljievost vsota vlekega števila neredvisnih sčaučnih sperejlevek sej se spremmljivka poraseluje prelbizno normale

• Spremenleivost porenmotevje po dločenas o perametroma mi in sigmu Da slučajna spermenljvka Y opustita normane s perametroma min v siom zapişemos Y - N, MI, sigma. Parameter my pliva sa legu kirvalje, parameer sigma sa obliko kreivulye. Vexji sigmoid pomeni večjo rajtegnite v smeri ascsisne osi. Vertjelnostna gostorta normalne prszadelitve

Stndettvoa T poredelitve

• Studentova y porazeelotev je zeb podobna Standrdatizirami normani porezelutve. Kadar je v modelu, ki predvaja normaolino poredelotev podatikw, variarne neznano, se rabina (marginalia) perazdelzitev artimeticne srdenel poroazeluje port poredelitui.

• Zaradi perama, se nama mahino velkost vzorea uporabima kot robuston altereativnho moraalne poredelitve' S čimer kompranzrapo salyio repri v poredeliti podati Zaraščanes verikosts se prenanja negotesot gledeo zatoy porazedeliti koergiria 4 normanialno poredelitivr

Hi Kvadrat oz. X* poredeliitev

• x# poredeliter je zvézna poredeliter, ki je definirana le na pozitivnen Delv realne asi. To unimodalna in asimetriya vz in , odvisna pa je od prostostnih stopenj. Pri tem verja, da je prostustnih preblizuje normalani perazdelitvi
• da je primanjsem število, bolj asimretučna v desno

F poredelitve

• F poredeliteve predstakvlja poredlitev razmrerja variante, saj obilno deficira razmere odstopaj dih normalo poroazedeljenij
• Nenina vrednost je vendono pozitvna ali eneka nič.

Neverjetnostnos Vrtenje

• Uprabljeno je precej zaširjeno, glazvni rageo to je cenehša in hitrejšo izveda , Poleg tega 40 s4 Pogodba da se z opreme, dobljen na neverjrtnospnih wzrocih m razhikeijo od