Origines Physiques de l'Équation des Ondes

Origines Physiques de l'Équation des Ondes

• Le chapitre précédent a introduit l'équation des ondes à une dimension, également appelée équation de d'Alembert, ses solutions et leur interprétation physique en tant que propagation sans déformation d'une perturbation d'un état d'équilibre.
• Le présent chapitre étudie l'origine physique de l'équation des ondes à travers trois phénomènes physiques utilisant l'équation de d'Alembert.
  • Vibrations longitudinales d'une chaîne de masses et de ressorts
  • Ondes acoustiques dans les fluides
  • Signaux électriques dans les câbles coaxiaux
• À la fin de l'étude, les points clés à maîtriser incluent.
  • Établir l'équation des ondes pour tous les types d'ondes présentés.
  • Relier les différentes grandeurs associées à l'onde : déplacement, vitesse, accélération, etc., pour les ondes acoustiques, et tension et courant pour les ondes électriques.
  • Maîtriser la notion d'impédance caractéristique d'un milieu (acoustique et électrique).
  • Calculer la puissance et l'énergie pour les ondes acoustiques et électriques, en utilisant les décibels, les valeurs efficaces, et le vecteur de Poynting.
  • Appliquer des calculs numériques et d'ordre de grandeur, tracer des graphiques, et interpréter des données pour déduire des informations sur l'onde ou le milieu.

Fiche de synthèse

• L'équation des ondes est établie sur un morceau de taille dx du milieu, en appliquant les lois fondamentales, valide si dx est bien supérieure aux distances interatomiques et bien inférieure à la distance caractéristique de propagation de l'onde.

Ondes acoustiques

• La célérité des ondes acoustiques est égale à √1/(masse volumique × compressibilité).
• L'impédance acoustique d'un matériau est Z = masse volumique × célérité du son.
• Relations pour une onde se propageant vers les x croissants ou décroissants : surpression = ±Z × composante x de la vitesse particulaire
  • Ces relations ne valent que pour une onde se propageant dans une direction unique.
• Vecteur de Poynting acoustique = surpression × vecteur vitesse particulaire.
  • La puissance instantanée traversant une surface se calcule par le flux du vecteur de Poynting.
  • L'intensité acoustique équivaut à la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting.

Ondes électriques

• La célérité des ondes électriques est √1/(inductance linéique × capacité linéique).
• L'impédance caractéristique d'un câble est Z = √(inductance linéique / capacité linéique).
• Relations pour une onde électrique se propageant vers les x croissants ou décroissants : tension entre les deux conducteurs = ±Z × courant.
  • Ces relations ne valent que pour une onde se propageant dans une direction unique.
• La puissance électrique instantanée est égale à la tension entre les deux conducteurs × courant.

Ondes mécaniques longitudinales dans les solides

• Un matériau solide est modélisé comme une succession infinie de masses et de ressorts identiques représentant atomes et interactions, en considérant uniquement les mouvements longitudinaux.
• On cherche à établir une loi d'évolution pour l'écart e de chaque atome par rapport à sa position d'équilibre, en procédant avec logique et rigueur.

Bilan des forces exercées sur l'atome n

• Chaque atome est soumis à deux forces proportionnelles aux élongations des ressorts à gauche (Fç) et à droite (FD).
• Les élongations sont positives si la distance entre les atomes voisins est ro > lo et négatives si ro < lo, orientant les forces.

Hypothèse de milieu continu

• La distance ro entre atomes voisins doit être infinitésimale devant la distance caractéristique du phénomène de propagation.
• Les DL2 suivants sont valables
• ε(xn+1, t) = ε(xn, t) + ro * ∂ε/∂x(xn, t) + (ro²/2) * ∂²ε/∂x²(xn, t)
• ε(xn-1, t) = ε(xn, t) - ro * ∂ε/∂x(xn, t) + (ro²/2) * ∂²ε/∂x²(xn, t)

Équation des ondes mécaniques longitudinales

• Le vecteur position et le principe fondamental de la dynamique mènent à l'équation des ondes :
  • ∂²ε/∂x² = (M/Krο) * ∂²ε/∂t² = 1/c² * ∂²ε/∂t² = 0

Propagation longitudinale du son dans les solides

• Un solide est modélisé comme un ensemble de chaînes parallèles de masses et de ressorts cubiques, avec une masse volumique ρ = M/rο³.

• Formule pour la vitesse de propagation des ondes mécaniques.

  • c = √(K/rο)/ρ

• Le module d'élasticité longitudinale, K/ro(p), joue le même rôle pour les solides que l'incompressibilité 1/χ pour les fluides, et la vitesse des ondes acoustiques est de quelques kilomètres par seconde.

• L'énergie potentielle d'interaction, la distance interatomique ro et la masse individuelle M des atomes déterminent la vitesse de propagation des ondes mécaniques longitudinales dans un solide.

• Ce modèle basique ne concerne que les ondes mécaniques longitudinales ; les ondes transversales impliquent un autre coefficient d'élasticité, le module d'élasticité de cisaillement.

Ondes acoustiques dans les fluides

• On étudie la propagation des vibrations dans un fluide homogène au repos, de masse volumique p, de compressibilité K, à une pression ambiante Po.

Modélisation

• On analyse une petite tranche de fluide d'épaisseur dx au repos, δx étant suffisamment grande pour considérer le fluide comme continu, et suffisamment petite pour traiter les différences comme infinitésimales.
• L'épaisseur de la trancket le déplacement à l'instant t de la face de la tranche de fluide dont la position au repos était x(t).
• e(x,t) et f(x,t) est une surpression (= différence entre la tension et la tension initiale P0) engendrée par l'onde.

Dilatation d'une particule de fluide

• On exprime le coefficient de dilatation d, soit le rapport entre l'élongation et la longueur initiale.

Relation entre dilatation et surpression

• La loi de Hooke suppose que le coefficient de dilatation est proportionnel et opposé à la surpression (loi de Hooke) : d(x,t) = -Xψ(x,t)

Vitesse particulaire

• Le vecteur vitesse v(x,t) est la dérivée temporelle du déplacement e et est appelée vitesse particulaire.

Principe fondamental de la dynamique

• La différence de pression entre les deux faces de la tranche est exprimée en fonction de la surpression :
  • P(A’) – P(B’) = [Po + ψ(x, t)] – [Po + ψ(x + dx,t)] = -ψ(x + dx,t) + ψ(x,t)
• Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche de fluide mène à une relation entre l'accélération et la surpression.

Équation des ondes et vitesse du son

• Combinaison de quatre équations portant sur le déplacement ε(xt),la vitesse particulaire v(xt), la dilatation d(xt) et la compression f(xt).
• Cela produit l'équation des ondes avec pour vitesse de propagation.

Vitesse du son

• La masse volumique de l'air à température ambiante est de l'ordre de 1.2kg·m¯³, son incompressibilité adiabatique est d'environ 1.2 kg/m3.
• Les organes du corps humain étant essentiellement constitués d’eau, toutes les applications de l’acoustique à l’imagerie médicale et la thérapie, utilisent des valeurs de vitesse de propagation de l'ordre de approx. Cson =~1500-ms^{-1}.

Impédance acoustique d'un milieu matériel

• Pour le les fluides: surpression =±pcv(xt)| dans la direction croissants (l’impédance acoustique du milieu de propagation).

OPPH acoustique

• Ce que les grandeurs associées à une onde acoustique sont toutes décrites par l'équation des ondes( milieux fluides ou solide).

Retour sur les hypothèses de validité

• Le liquide est traiter comme un fluide continu ,qu'on peut le couper en petite << tranche >>,laille ddxde ces tranches doit être le nombre de molécule.
• La tranche est soumise à surpression,on peut le considérer comme d= -x

Aspects énergétiques

• L’énergie véhiculée par une onde acoustique est infini , il est par conséquent plus pertinent de fonctionner sur l’énergie par unité de volume = la densité d’énergie ( en J).,il donc très important d(étudier ses aspects énergétiques .

Vecteur de Poynting acoustique

• Il est possible d(étude le transport de l’énergie par ses aspect coustiques, donc l'analyse de son transport.

Le vecteur de Poynting moyen sur une période est appelé vecteur de Poynting acoustique(c'est l'énergie par unité de surface et de temps)

Intensité sonore et niveau sonore Le seuil d'audibilité pour l'être humain est de l'ordre de 10-12 (W/m²).

Ondes électriques le long d'un câble

• Les câbles sont utiliser pour transmettre , pour assurer la l’aller , le retour pour tout les application électrique

Établissement de l’équation des ondes vitesse de propagation

• En électrocinétiqu: ARQS , le signal électrique voyagerant sur les câble avec un vitesse dépendant des ces caractéristique

• les signaux doivent être pris en compte , sinon les signaux électriques doit dépendre Loi de kirchoff

Modélisation

Comment étudier le son , il faut se placer dans un fluide( une succession de tronçons de longueur infinitésimal dx)il faut construire le schéma équivalent

Circuit qui modélise un tronçon de câble coaxial de longueur infinitésima

• il possible d'appliquer les LOI de Kirchhoff

Loi de Kirchhoff.

• relation tension courant
• loi des mailles
• les nœuds

Résumé des équations

• Propagation on des onde électrique => les signaux se propage( tension intensité ) se font sur la câble et elle ont déterminé par les caractéristiques de se câble

Impédance électrique du câble coaxial

• Expression de l'impédance électrique du câble coaxial : Z = Λc = 1/Γc

OPPH électrique du câble

• L’étude de OPPH nous permettent d’avancer une réponse plus précise et en effet

Aspects énergétiques

• Quelle que soit la nature physique de l'onde, la solution sera de la forme f(x-ct) pour les deux variables considérées. Et il est possible aussi ajouter dans se chapitre les câble résistive

Analogie et puissance instantané

Equation d’alembert et de des sur tension électrique, courant d’équations qui donne l’équivalence en la matière.