Origines Physiques de l'Équation des Ondes

Origines Physiques de l'Équation des Ondes

Introduction

• Ce chapitre explique l'origine physique de l'équation des ondes, précédemment introduite sans justification de son origine.
• Il démontre comment une grandeur physique peut obéir à cette équation et ce qui détermine la valeur de la célérité d'une onde.
• Trois phénomènes physiques différents, liés à l'équation de d'Alembert, seront étudiés.

Phénomènes physiques étudiés

• Vibrations longitudinales d'une chaîne de masses et de ressorts
• Ondes acoustiques dans les fluides
• Signaux électriques dans les câbles coaxiaux

Savoirs fondamentaux du chapitre

• Savoir établir l'équation des ondes pour différents types d'ondes.
• Relier les grandeurs associées à l'onde (acoustiques: déplacement, vitesse, dilatation, surpression; électriques: tension, courant).
• Maîtriser la notion d'impédance caractéristique d'un milieu (acoustique et électrique).
• Calculer la puissance et l'énergie pour les ondes acoustiques et électriques ; utiliser les décibels, valeurs efficaces, vecteur de Poynting.
• Effectuer des applications numériques et des calculs d'ordre de grandeur, tracer et interpréter des graphes relatifs aux ondes.

Fiche de synthèse

Établissement de l'équation des ondes

• Obtention de l'équation des ondes avec un raisonnement sur un morceau de taille dx du milieu.
• Application des lois fondamentales pertinentes (Newton pour la mécanique, Kirchhoff pour l'électricité).
• Condition de validité: dx doit être supérieur aux distances interatomiques et inférieur à la distance caractéristique de propagation de l'onde.

Ondes acoustiques

• La célérité des ondes acoustiques est égale à √1/(masse volumique × compressibilité).
• Formule de l'impédance acoustique: Z = masse volumique × célérité du son.
• Relation entre surpression et vitesse particulaire pour une onde se propageant dans une direction: ψ(x,t) = Zv(x,t) · ñ (ψ=surpression).
• Vecteur de Poynting acoustique: surpression × vecteur vitesse particulaire.
• La puissance instantanée traversant une surface est le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.
• L'intensité acoustique correspond à la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting.

Ondes électriques

• La célérité des ondes électriques est égale à √1/(inductance linéique × capacité linéique).
• Formule de l'impédance caractéristique: Z = √inductance linéique / capacité linéique.

Ondes mécaniques longitudinales dans les solides

Modélisation

• Modélisation d'un matériau solide comme une succession infinie de masses et de ressorts identiques.
• Masses: atomes, ressorts: interactions entre atomes.
• Simplification: seuls les mouvements longitudinaux sont considérés.

Variables

• x: coordonnée spatiale.
• M: masse individuelle d'un atome.
• ro: distance entre deux atomes au repos.
• K: raideur de chaque ressort.
• lo: longueur à vide de chaque ressort.

Analyse Forces/Positions

• xn: position d'équilibre de l'atome n.
• εn(t): écart de l'atome n à sa position d'équilibre à l'instant t.

Bilan des forces sur l'atome n

• Forces exercées par les ressorts gauche (Fç) et droite (FD), proportionnelles aux élongations respectives.
• Définition mathématique des élongations en fonction des distances entre les atomes et de la longueur à vide des ressorts.

Hypothèse de milieu continu

• La distance roentre atomes voisins est considérée infinitésimale devant la distance caractéristique du phénomène étudié.
• Utilisation des développements limités (DL2) pour simplifier les expressions en fonction des déplacements.

Équation des ondes mécaniques longitudinales

• Application du principe fondamental de la dynamique à l'atome n pour établir une équation différentielle.
• Identification de l'équation des ondes dans l'expression obtenue.
• La vitesse de propagation (célérité) est c = = √(K*ro) / M.

Propagation longitudinale du son dans les solides

• Modélisation d'un solide comme un ensemble de chaînes parallèles de masses et de ressorts.
• Si les atomes sont disposés de manière cubique, la masse volumique du solide est ρ = M/r0³.
• La vitesse de propagation des ondes longitudinales dans un solide est c = = √(K/ro) / ρ
• K/ro est appelé le module d'élasticité longitudinale, comparable à l'incompressibilité pour un fluide.

Ondes acoustiques dans les fluides

Établissement de l'équation des ondes

• Considération d'un fluide homogène initialement au repos avec masse volumique ρ, compressibilité χ et pression ambiante Po.
• Création d'un son avec un haut-parleur et supposition d'ondes planes pour simplifier.

Modélisation d'une tranche de fluide

• Étude d'une petite tranche de fluide d'épaisseur AB = dx au repos.
• dx est suffisamment grand pour que le fluide soit un milieu continu, mais suffisamment petit pour être traité comme infinitésimal.

Variables

• ε(x, t): déplacement à l'instant t de la face de la tranche dont la position au repos est x.
• ψ(x, t) est la surpression, soit la différence entre la pression à l'instant t et la pression initiale Po.

Dilatation d'une particule de fluide

• Le coefficient de dilatation d est le rapport entre l'élongation et la longueur initiale dx de la tranche.
• La dilatation est égale à la dérivée spatiale du déplacement.
• Variation de volume de la tranche rapportée à son volume au repos.

Relation entre dilatation et surpression: loi de Hooke

• Supposition de proportionnalité entre la dilatation d et la surpression ψ: d(x,t) = - χψ(x,t) .
• χ représente la compressibilité du milieu.

Vitesse particulaire

• La position instantanée du bord gauche de la tranche A est notée x(t) = x + ε(x, t).
• Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du déplacement.

Le principe fondamental de la dynamique

• Utilisation de la différence de pression entre les faces de la tranche et du principe fondamental de la dynamique pour établir l'équation du mouvement.

Ondes électriques le long d'un câble

Établissement de l'équation des ondes

• Utilisation des câbles coaxiaux pour la transmission des signaux électriques.
• Le câble coaxial est composé d'une âme (fil central) et d'un blindage (couche extérieure).

La réalité des composants

• Les composants ont une résistance (R)
• Les composants ont une inductance (L)
• Les composants ont une capacité (C)