Optimizare: Minimizarea funcțiilor f(x)

• O problemă de optimizare implică găsirea unui punct optim (minim sau maxim) pentru o funcție f(x) pe un domeniu D.

Formularea generală

• Se minimizează f(x) unde x aparține domeniului D.
• f(x) este funcția obiectiv, cea care se optimizează.
• D este domeniul fezabil, care conține toate constrângerile impuse.
• Optimizare fără constrângeri are domeniul D ca întreg spațiul R; exemplu: min f(x) = x² + 3x + 5.
• Optimizare cu constrângeri are domeniul D restricționat; exemplu: min f(x) = x² + 3x + 5, cu condiția x≥0.

Noțiuni fundamentale în optimizare

• Minim local: Un punct x* este un minim local dacă în vecinătatea sa nu există puncte cu valori mai mici.
• Minim global: Cel mai mic punct pe întreg domeniul.
• Maximele se definesc similar cu minimele.
• Gradientul: ∇f = [df/dx1, ..., df/dxn], reprezentând derivatele parțiale de ordinul întâi.
• Hessiana: Matricea derivatelor parțiale de ordinul doi.
• Condiții necesare pentru optimalitate: ∇f(x)=0 pentru un minim local.
• Condiții suficiente pentru optimalitate: Hessiana trebuie să fie pozitiv definită.

Introducere în MATLAB pentru Optimizare

• MATLAB oferă funcții puternice pentru optimizare numerică.
• Derivare simbolică:
  • Se declară variabila simbolică: syms x;
  • Se definește funcția: f = x^2 - 4*x + 5;
  • Se calculează derivata: df = diff(f, x) (% Derivata lui f)
• Minimizare folosind fminbnd (pentru optimizare fără constrângeri):
  • Se definește funcția: f = @(x) x.^2 - 4*x + 5;
  • Se minimizează pe un interval: [x_min, f_min] = fminbnd(f, -10, 10)
• Programare liniară folosind linprog:
  • c = [-1; -2]; % Funcția obiectiv (maximizare -> se pune minus)
  • A = [1 1; -1 2]; % Matricea coeficienților inegalităților
  • b = [4; 2]; % Termenii din dreapta ai inegalităților
  • x = linprog(c, A, b)
• Optimizare neliniară cu fmincon:
  • f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;
  • x0 = [1, 1]; % Punct inițial
  • A = [];, b = [];, Aeq = [];, beq = [];
  • lb = [0, 0]; % Limite inferioare
  • ub = [2, 2]; % Limite superioare
  • x_min = fmincon(f, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
• Identificarea variabilelor simbolice în MATLAB:
  • Se utilizează pentru calcul simbolic cu Symbolic Math Toolbox.
  • Se creează cu syms sau sym.
  • Se identifică folosind: symvar(f) (returnează toate variabilele simbolice dintr-o expresie).

Exemple de identificare a variabilelor simbolice

• Identificarea variabilelor dintr-o funcție:
  • syms x y z
  • f = x^2 + y*z + sin(x*y);
  • vars = symvar(f);
  • Rezultat: x, y, z
• MATLAB detectează automat variabilele simbolice dintr-o expresie.
• Identificarea variabilelor într-o expresie numerică returnează o listă goală:
  • f = 3 + 5;
  • vars = symvar(f);
  • Rezultat: []
• Identificarea primei variabile simbolice dintr-o expresie:
  • syms a b c
  • g = a^3 + 2*b + c^2;
  • first_var = symvar(g, 1);
  • Rezultat: a

Cum verificăm dacă o variabilă este simbolică?

• Se folosește funcția isa pentru a verifica tipul unei variabile:
  • syms x y
  • a = 5; % Variabilă numerică
  • b = x^2 + y;
  • disp(['a este simbolică? ', num2str(isa(a, 'sym'))]);
  • disp(['b este simbolică? ', num2str(isa(b, 'sym'))]);
  • Rezultatul indică 0 pentru numeric și 1 pentru simbolic.

De reținut

• symvar(f) identifică toate variabilele simbolice dintr-o expresie.
• symvar(f, 1) returnează doar prima variabilă simbolică.
• isa(var, 'sym') verifică dacă o variabilă este simbolică sau numerică.
• Principalele instrucțiuni pentru reprezentarea grafică a funcțiilor în MATLAB:
  • plot(x, y) - Desenează un grafic 2D.
  • fplot(@funcție, interval) – Reprezentare automată a unei funcții.
  • ezplot(f, interval) – Funcție veche, înlocuită cu fplot.
• Exemplu de reprezentare grafică a funcției f(x) = x² - 4x + 5:
  • x = linspace(-2, 6, 100); % Generăm valori pentru x între -2 și 6
  • y = x.^2 - 4*x + 5; % Calculăm f(x)
  • figure;
  • plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Reprezentare grafică
  • grid on;
  • xlabel('x'); ylabel('f(x)');
  • title('Graficul functiei f(x) = x^2 - 4x + 5');
• Pentru grafice 3D, se folosesc:
  • mesh(X, Y, Z) – Reprezentare 3D cu plasa de contur.
  • surf(X, Y, Z) – Reprezentare 3D cu suprafață colorată.
  • contour(X, Y, Z) – Linii de contur 2D pentru o funcție 3D.
  • fmesh(@funcție, intervalX, intervalY) – Reprezentare automată.
• Exemplu de reprezentare a funcției f(x,y) = x² + y² – 3xy în 3D:
  • [X, Y] = meshgrid(-3:0.1:3, -3:0.1:3); % Cream un grid 2D
  • Z = X.^2 + Y.^2 - 3*X.*Y; % Calculăm valorile funcției
  • figure;
  • surf(X, Y, Z); % Reprezentare 3D
  • xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('f(x, y)');
  • title('Grafic 3D al functiei f(x, y)');
  • colorbar; % Adaugă bara de culori

Comenzi esențiale MATLAB

• plot(x, y): Grafic 2D pentru funcții de o variabilă.
• fplot(@funcție, interval): Reprezentare automată a unei funcții 2D.
• mesh(X, Y, Z): Reprezentare 3D tip "plasă".
• surf(X, Y, Z): Reprezentare 3D colorată.
• fmesh(@funcție, intervalX, intervalY): Reprezentare 3D automată.
• contour(X, Y, Z, niveluri): Linii de contur ale unei funcții 3D.
• Un obiect simbolic este o variabilă MATLAB interpretată ca o expresie matematică, fără valoare numerică imediată.

Exemple de obiecte simbolice

• Variabile simbolice: syms x
• Expresii simbolice: f = x^2 + y
• Funcții simbolice: f(x) = sin(x) + x^2
• Ecuații simbolice: solve(x^2 - 4 == 0, x)
• Matrice simbolice: [x, y; y, x^2]

Crearea variabilelor simbolice

• Metoda 1: Folosind syms: syms x y z (creează variabilele x, y, z).
• Metoda 2: Folosind sym:
  • x = sym('x');
  • y = sym('y');
  • Aceasta permite crearea variabilelor individual.
• Crearea expresiilor simbolice: se definesc expresii matematice după declararea variabilelor simbolice.
• Exemplu:
  • syms x y
  • f = x^2 + 3*x*y - y^2 + 5;
• O expresie simbolică poate fi utilizată pentru derivate, integrale și rezolvarea ecuațiilor.
• Se poate evalua o expresie simbolică:
  • syms x
  • f = x^2 + 2*x + 1; % Definim o funcție simbolică
  • val = subs(f, x, 3); % Evaluăm funcţia pentru x = 3
  • Rezultatul va fi 16.
• Operații și funcții simbolice MATLAB: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, putere.

Manipularea expresiilor simbolice

• Funcții pentru simplificare și expansiune.
• Exemplu:
  • syms x
  • f = (x + 1)^2;
  • expanded_f = expand(f); % Expansiunea expresiei
  • simplified_f = simplify(expanded_f); % Simplificare
  • Rezultat: Expandare: x² + 2x + 1; Simplificare: (x + 1)².
• Se pot calcula derivate și integrale folosind diff() și int().
• Exemplu derivare:
  • syms x
  • f = x^3 + 2*x^2 - 5*x + 4;
  • df = diff(f, x); % Derivata lui f(x) în raport cu x
  • Rezultat: 3x² + 4x - 5
• Exemplu integrare:
  • syms x
  • f = x^2 + 3x + 2;
  • int_f = int(f, x);
  • Rezultat: (x*(2x^2 + 9x + 12))/6
• Se pot rezolva ecuații simbolice folosind solve().
• Exemplu:
  • syms x
  • eq = x^2 - 4*x + 3 == 0;
  • sol = solve(eq, x);
  • Rezultat: x = 1, x = 3.

Funcții esențiale MATLAB

• syms x y: Creează variabile simbolice.
• sym('x'): Creează o variabilă simbolică (alternativ).
• expand(f): Expandează o expresie matematică.
• simplify(f): Simplifică o expresie matematică.
• subs(f, x, val): Înlocuiește o variabilă cu o valoare dată.
• diff(f, x): Derivează f(x) față de x.
• int(f, x): Integrează f(x) față de x.
• solve(eq, x): Rezolvă ecuația simbolică.

De reținut

• Variabilele simbolice permit lucrul cu ecuații fără valori numerice.
• Se pot manipula expresii simbolic (expandare, simplificare, substituire).
• Derivarea, integrarea și rezolvarea ecuațiilor sunt ușor de realizat simbolic în MATLAB.
• Funcții pentru operații cu obiecte simbolice: expand(f), simplify(f), subs(f, x, val), diff(f, x), int(f, x), solve(eq, x).
• Atenție: findsym este instrucțiunea veche pentru symvar.

Conversie între simbolic și numeric în MATLAB

• Se pot face conversii între expresii simbolice și valori numerice folosind Symbolic Math Toolbox.
• Conversie din numeric în simbolic:
  • Se folosește sym() pentru a converti un număr sau o expresie numerică într-un obiect simbolic; ex: sym(3.14159).
• Conversie din simbolic în numeric:
  • Se folosește double() pentru a obține o valoare numerică dintr-o expresie simbolică; ex: double(sin(pi/4) + sqrt(2)).
• Conversie automată între simbolic și numeric:
  • Se folosește vpa() pentru a obține o valoare numerică cu precizie variabilă; ex: vpa(pi + sqrt(2), 50).
• Conversia între simbolic și numeric este esențială pentru calcule exacte și aproximări numerice.
  • sym() → Convertire în simbolic.
  • double() → Convertire în numeric.
  • vpa() → Aproximare numerică de mare precizie.