Optimierung: Maxima und Minima einer Funktion

Optimierung

• Optimierung befasst sich mit der Suche nach den maximalen und minimalen Werten einer Funktion.

Absolute Maximal- und Minimalwerte

• Ein absolutes Maximum von $f$ auf einem Intervall $I$ ist $f(c)$, wenn $f(c) \geq f(x)$ für alle $x$ in $I$ gilt.
• Ein absolutes Minimum von $f$ auf einem Intervall $I$ ist $f(c)$, wenn $f(c) \leq f(x)$ für alle $x$ in $I$ gilt.
• Absolute Maximal- und Minimalwerte werden auch als Extremwerte von $f$ bezeichnet.

Satz (Extremwertsatz)

• Wenn $f$ auf einem geschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig ist, dann nimmt $f$ einen absoluten Maximalwert $f(c)$ und einen absoluten Minimalwert $f(d)$ an, wobei $c$ und $d$ in $[a, b]$ liegen.

Fermats Satz

• Wenn $f$ ein lokales Maximum oder Minimum bei $c$ hat und wenn $f'(c)$ existiert, dann ist $f'(c) = 0$.

Definition

• Eine kritische Zahl von $f$ ist eine Zahl $c$ im Definitionsbereich von $f$, so dass $f'(c) = 0$ oder $f'(c)$ nicht existiert.

Vorgehensweise zum Auffinden absoluter Maximal- und Minimalwerte einer stetigen Funktion $f$ auf einem geschlossenen Intervall $[a, b]$

• Bestimme die Werte von $f$ an den kritischen Zahlen von $f$ in $(a, b)$.
• Bestimme $f(a)$ und $f(b)$.
• Der größte Wert aus den Schritten 1 und 2 ist das absolute Maximum; der kleinste dieser Werte ist das absolute Minimum.

Stammfunktionen

• Eine Funktion $F$ wird als Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall $I$ bezeichnet, wenn $F'(x) = f(x)$ für alle $x$ in $I$ gilt.

Satz

• Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall $I$ ist, dann ist die allgemeinstmögliche Stammfunktion von $f$ auf $I$: $F(x) + C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist.