Operaciones de Matrices

Study Notes

Matrix Operations

Addition:
- Matrices can be added if they have the same dimensions (same number of rows and columns).
- Element-wise addition:
  - If A = [a_ij] and B = [b_ij], then A + B = [a_ij + b_ij].
Subtraction:
- Similar to addition, matrices can be subtracted if they have the same dimensions.
- Element-wise subtraction:
  - A - B = [a_ij - b_ij].
Scalar Multiplication:
- A matrix can be multiplied by a scalar (a real number).
- Multiply each element by the scalar:
  - If c is a scalar and A = [a_ij], then cA = [c * a_ij].
Matrix Multiplication:
- Two matrices A (m x n) and B (n x p) can be multiplied if the number of columns in A equals the number of rows in B.
- Resulting matrix C will be of dimension (m x p).
- Element computation:
  - C_ij = sum(a_ik * b_kj) for k = 1 to n.
Transpose of a Matrix:
- The transpose of matrix A (denoted A^T) is formed by swapping rows and columns.
- If A = [a_ij], then A^T = [a_ji].
Determinant:
- A scalar value that can be computed from a square matrix.
- Represents properties such as invertibility and area/volume scaling.
- Not applicable to non-square matrices.
Inverse of a Matrix:
- The inverse A^(-1) of a square matrix A exists if and only if the determinant of A is non-zero.
- A * A^(-1) = I, where I is the identity matrix.
- Methods to find the inverse include:
  - Gaussian elimination
  - Adjoint method
Identity Matrix:
- A square matrix with ones on the diagonal and zeros elsewhere.
- Denoted as I_n for an n x n identity matrix.
- Acts as the multiplicative identity: A * I_n = A.
Special Types of Matrices:
- Zero Matrix: All elements are zero.
- Diagonal Matrix: Non-diagonal elements are zero; only diagonal elements can be non-zero.
- Symmetric Matrix: A matrix equal to its transpose (A = A^T).
- Orthogonal Matrix: A square matrix whose rows and columns are orthonormal vectors; A * A^T = I.

Operaciones de Matrices

Adición:
- Las matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones (mismo número de filas y columnas).
- La suma se realiza elemento por elemento: si A = [a_ij] y B = [b_ij], entonces A + B = [a_ij + b_ij].
Sustracción:
- Similar a la adición, las matrices también pueden restarse si tienen las mismas dimensiones.
- La resta se efectúa elemento por elemento: A - B = [a_ij - b_ij].
Multiplicación Escalar:
- Una matriz puede multiplicarse por un escalar (número real).
- Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar: si c es un escalar y A = [a_ij], entonces cA = [c * a_ij].
Multiplicación de Matrices:
- Dos matrices A (m x n) y B (n x p) pueden multiplicarse si el número de columnas en A es igual al número de filas en B.
- La matriz resultante C tendrá dimensiones (m x p).
- El cálculo de los elementos se realiza como: C_ij = suma(a_ik * b_kj) para k = 1 hasta n.
Transposición de una Matriz:
- La transposición de la matriz A (denotada como A^T) se forma intercambiando filas y columnas.
- Si A = [a_ij], entonces A^T = [a_ji].
Determinante:
- Es un valor escalar que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada.
- Representa propiedades como la invertibilidad y el escalado de área/volumen.
- No es aplicable a matrices no cuadradas.
Inversa de una Matriz:
- La inversa A^(-1) de una matriz cuadrada A existe si y solo si el determinante de A es diferente de cero.
- Se cumple que A * A^(-1) = I, donde I es la matriz identidad.
- Métodos para encontrar la inversa incluyen la eliminación de Gauss y el método del adjunto.
Matriz Identidad:
- Es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal y ceros en el resto.
- Se denota como I_n para la matriz identidad de n x n.
- Actúa como la identidad multiplicativa: A * I_n = A.
Tipos Especiales de Matrices:
- Matriz Cero: Todos sus elementos son cero.
- Matriz Diagonal: Los elementos no diagonales son cero; solo los elementos diagonales pueden ser distintos de cero.
- Matriz Simétrica: Una matriz que es igual a su transpuesta (A = A^T).
- Matriz Ortogonal: Una matriz cuadrada cuyas filas y columnas son vectores ortonormales; se cumple que A * A^T = I.

Description

Este cuestionario evalúa tu conocimiento sobre las operaciones básicas de matrices, incluyendo la adición, sustracción, multiplicación escalar y multiplicación de matrices. También se abordan conceptos como la transposición de matrices. ¡Pon a prueba lo que has aprendido!