Operaciones de Matrices

Matrix Operations

• Addition:

  • Matrices can be added if they have the same dimensions (same number of rows and columns).
  • Element-wise addition:
    • If A = [a_ij] and B = [b_ij], then A + B = [a_ij + b_ij].

• Subtraction:

  • Similar to addition, matrices can be subtracted if they have the same dimensions.
  • Element-wise subtraction:
    • A - B = [a_ij - b_ij].

• Scalar Multiplication:

  • A matrix can be multiplied by a scalar (a real number).
  • Multiply each element by the scalar:
    • If c is a scalar and A = [a_ij], then cA = [c * a_ij].

• Matrix Multiplication:

  • Two matrices A (m x n) and B (n x p) can be multiplied if the number of columns in A equals the number of rows in B.
  • Resulting matrix C will be of dimension (m x p).
  • Element computation:
    • C_ij = sum(a_ik * b_kj) for k = 1 to n.

• Transpose of a Matrix:

  • The transpose of matrix A (denoted A^T) is formed by swapping rows and columns.
  • If A = [a_ij], then A^T = [a_ji].

• Determinant:

  • A scalar value that can be computed from a square matrix.
  • Represents properties such as invertibility and area/volume scaling.
  • Not applicable to non-square matrices.

• Inverse of a Matrix:

  • The inverse A^(-1) of a square matrix A exists if and only if the determinant of A is non-zero.
  • A * A^(-1) = I, where I is the identity matrix.
  • Methods to find the inverse include:
    • Gaussian elimination
    • Adjoint method

• Identity Matrix:

  • A square matrix with ones on the diagonal and zeros elsewhere.
  • Denoted as I_n for an n x n identity matrix.
  • Acts as the multiplicative identity: A * I_n = A.

• Special Types of Matrices:

  • Zero Matrix: All elements are zero.
  • Diagonal Matrix: Non-diagonal elements are zero; only diagonal elements can be non-zero.
  • Symmetric Matrix: A matrix equal to its transpose (A = A^T).
  • Orthogonal Matrix: A square matrix whose rows and columns are orthonormal vectors; A * A^T = I.

Operaciones de Matrices

• Adición:

  • Las matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones (mismo número de filas y columnas).
  • La suma se realiza elemento por elemento: si A = [a_ij] y B = [b_ij], entonces A + B = [a_ij + b_ij].

• Sustracción:

  • Similar a la adición, las matrices también pueden restarse si tienen las mismas dimensiones.
  • La resta se efectúa elemento por elemento: A - B = [a_ij - b_ij].

• Multiplicación Escalar:

  • Una matriz puede multiplicarse por un escalar (número real).
  • Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar: si c es un escalar y A = [a_ij], entonces cA = [c * a_ij].

• Multiplicación de Matrices:

  • Dos matrices A (m x n) y B (n x p) pueden multiplicarse si el número de columnas en A es igual al número de filas en B.
  • La matriz resultante C tendrá dimensiones (m x p).
  • El cálculo de los elementos se realiza como: C_ij = suma(a_ik * b_kj) para k = 1 hasta n.

• Transposición de una Matriz:

  • La transposición de la matriz A (denotada como A^T) se forma intercambiando filas y columnas.
  • Si A = [a_ij], entonces A^T = [a_ji].

• Determinante:

  • Es un valor escalar que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada.
  • Representa propiedades como la invertibilidad y el escalado de área/volumen.
  • No es aplicable a matrices no cuadradas.

• Inversa de una Matriz:

  • La inversa A^(-1) de una matriz cuadrada A existe si y solo si el determinante de A es diferente de cero.
  • Se cumple que A * A^(-1) = I, donde I es la matriz identidad.
  • Métodos para encontrar la inversa incluyen la eliminación de Gauss y el método del adjunto.

• Matriz Identidad:

  • Es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal y ceros en el resto.
  • Se denota como I_n para la matriz identidad de n x n.
  • Actúa como la identidad multiplicativa: A * I_n = A.

• Tipos Especiales de Matrices:

  • Matriz Cero: Todos sus elementos son cero.
  • Matriz Diagonal: Los elementos no diagonales son cero; solo los elementos diagonales pueden ser distintos de cero.
  • Matriz Simétrica: Una matriz que es igual a su transpuesta (A = A^T).
  • Matriz Ortogonal: Una matriz cuadrada cuyas filas y columnas son vectores ortonormales; se cumple que A * A^T = I.