Onda Periodica e Proprietà

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Questions and Answers

Cos'è un'onda periodica?

Un'onda periodica è una funzione che si ripete nel tempo e può essere descritta matematicamente.

Cosa sono la frequenza, il periodo e la pulsazione di un'onda periodica?

La frequenza è il numero di oscillazioni per secondo, il periodo è il tempo necessario per un'oscillazione completa, e la pulsazione è 2π diviso il periodo.

Cosa sono la frequenza, la lunghezza d'onda e la velocità di un'onda periodica?

La frequenza è il numero di oscillazioni per secondo, la lunghezza d'onda è la distanza tra due punti equivalenti di due oscillazioni consecutive, e la velocità è la distanza percorsa dall'onda in un secondo.

Cosa sono la fase e l'ampiezza di un'onda periodica?

La fase indica la posizione di un punto in un'oscillazione e l'ampiezza è l'intensità massima dell'onda. Signup and view all the answers

Cosa rappresentano i termini A, 2π e φ0 nella funzione matematica y(t) = A sin(2πft + φ0)?

A è l'ampiezza, 2π è la pulsazione, e φ0 è la fase iniziale dell'onda. Signup and view all the answers

Cos'è l'analisi armonica di Fourier?

È una tecnica per rappresentare un segnale come somma di armoniche sinusoidali. Signup and view all the answers

Qual è la differenza tra Serie di Fourier e Trasformata di Fourier?

La Serie di Fourier è usata per segnali periodici, mentre la Trasformata di Fourier è utilizzata per segnali non periodici. Signup and view all the answers

La Serie di Fourier può essere utilizzata sempre?

No, ci sono condizioni specifiche, come la periodicità e la regolarità del segnale. Signup and view all the answers

Cos'è l'n-esima armonica di un'onda periodica?

È una componente di un'onda che ha una frequenza pari a n volte la frequenza fondamentale. Signup and view all the answers

Cos'è l'armonica fondamentale?

È la prima armonica e corrisponde alla frequenza più bassa di un segnale periodico. Signup and view all the answers

Cos'è la frequenza di campionamento?

È il numero di campioni prelevati al secondo da un segnale continuo. Signup and view all the answers

Cosa recita il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon?

Il teorema afferma che un segnale può essere esattamente ricostruito se campionato a una frequenza maggiore del doppio della sua frequenza massima. Signup and view all the answers

Cos'è l'aliasing?

È una distorsione che si verifica quando un segnale non è campionato sufficientemente. Signup and view all the answers

Cos'è la precisione di quantizzazione?

È la misura della capacità di un sistema di rappresentare valori continui in un formato digitale. Signup and view all the answers

Cos'è il Signal to Quantization Noise Ratio?

È il rapporto tra il segnale utile e il rumore di quantizzazione. Signup and view all the answers

Cos'è il dithering?

È una tecnica usata per ridurre l'errore di quantizzazione introducendo rumore. Signup and view all the answers

Study Notes

Onda Periodica

Un'onda periodica è una funzione che si ripete a intervalli regolari.
Esempio: Un'onda sinusoidale.

Frequenza, Periodo e Pulsazione

Frequenza: Il numero di cicli completi dell'onda in un secondo, misurato in Hertz (Hz).
Periodo: Il tempo necessario per un ciclo completo dell'onda, misurato in secondi (s).
Pulsazione: La velocità angolare dell'onda, misurata in radianti al secondo (rad/s).
Relazione: La frequenza (f), il periodo (T) e la pulsazione (ω) sono legati dalla seguente relazione:
- f = 1/T = ω/2π

Frequenza, Lunghezza d'Onda e Velocità

Frequenza: Il numero di cicli completi dell'onda in un secondo, misurato in Hertz (Hz).
Lunghezza d'Onda: La distanza tra due punti successivi in fase dell'onda, misurata in metri (m).
Velocità: La velocità di propagazione dell'onda, misurata in metri al secondo (m/s).
Relazione: La frequenza (f), la lunghezza d'onda (λ) e la velocità (v) sono legate dalla seguente relazione:
- v = fλ

Fase e Ampiezza

Fase: Indica la posizione del picco dell'onda rispetto a un punto di riferimento, misurata in radianti (rad).
Ampiezza: Indica la grandezza massima dell'onda rispetto alla posizione di equilibrio, misurata in unità appropriate per la grandezza fisica in gioco (es. Volt per la tensione).

Funzione matematica di un'onda sinusoidale

y(t) = A sin(2πft + φ0)
A: Ampiezza dell'onda
2πf: Pulsazione dell'onda
φ0: Fase iniziale dell'onda

Analisi armonica di Fourier

Tecnica matematica che consente di decomporre un segnale periodico in una somma infinita di onde sinusoidali.
Utilità: Consente di analizzare e comprendere la struttura di un segnale complesso.
Teorema di Fourier: Afferma che ogni funzione periodica può essere rappresentata come una somma infinita di seni e coseni con frequenze multiple della frequenza fondamentale del segnale.

Serie di Fourier e Trasformata di Fourier

Serie di Fourier: Utilizzata per rappresentare segnali periodici.
Trasformata di Fourier: Utilizzata per rappresentare segnali non periodici.

Condizioni di utilizzo della Serie di Fourier

La Serie di Fourier può essere utilizzata per rappresentare segnali periodici che soddisfano le seguenti condizioni:
- Il segnale deve essere periodico.
- Il segnale deve essere limitato, ovvero la sua ampiezza deve essere finita.
- Il segnale deve essere integrabile, ovvero la sua area sotto la curva deve essere finita.

n-esima armonica

L'n-esima armonica di un'onda periodica è un'onda sinusoidale con frequenza n volte la frequenza fondamentale.
Espressione matematica: An sin(2πnft + φn)
Ampiezza dell'n-esima armonica: An

Armonica fondamentale

L'armonica fondamentale è l'onda sinusoidale con la frequenza più bassa nel segnale periodico.
Caratteristica: La sua frequenza corrisponde alla frequenza del segnale periodico.
Relazione con le altre armoniche: Le altre armoniche hanno frequenze multiple della frequenza fondamentale.

Rappresentazione di A cos(ωt + φ0)

A cos(ωt + φ0) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
a = A cos(φ0)
b = -A sin(φ0)

Spettro di un'onda

L'insieme delle frequenze e delle ampiezze delle armoniche che compongono un'onda periodica.
Strumenti matematici: Serie di Fourier o Trasformata di Fourier.

Numero di armoniche necessarie

Onda sinusoidale: Una sola armonica.
Onda a dente di sega: Infinite armoniche.

Espressione ∫(1/T) ∫(T/2) y(t)e^(-i2πnt/T) dt

n: Numero dell'armonica.
T: Periodo del segnale.
y(t): Funzione che descrive il segnale.
Espressione: Rappresenta il coefficiente complesso dell'n-esima armonica nella Serie di Fourier.
Significato: Fornisce informazioni sull'ampiezza e sulla fase dell'n-esima armonica.

Frequenza di campionamento e più alta frequenza del segnale

Frequenza di campionamento (fs): Il numero di campioni prelevati al secondo da un segnale analogico per convertirlo in un segnale digitale.
Più alta frequenza del segnale (fmax): La frequenza massima presente nel segnale.
Relazione: La frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della più alta frequenza del segnale (fs ≥ 2fmax) per evitare la perdita di informazioni.

Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

Afferma che un segnale analogico può essere ricostruito perfettamente da una serie di campioni discreti se la frequenza di campionamento è almeno il doppio della più alta frequenza del segnale.
Conseguenze del mancato rispetto del teorema: Perdita di informazioni, distorsione del segnale.

Spettro di un segnale campionato

Lo spettro di un segnale campionato presenta delle copie dello spettro originale a intervalli multipli della frequenza di campionamento.
Ricostruzione del segnale originale: Possibile se la frequenza di campionamento rispetta il Teorema di Nyquist-Shannon.

Aliasing

Distorsione dei segnali digitali introdotta durante il processo di campionamento.
Motivo: Frequenze del segnale superiori a metà della frequenza di campionamento vengono erroneamente interpretate come frequenze inferiori.
Prevenzione: Utilizzare una frequenza di campionamento sufficientemente alta.

Sottocampionamento

Possibili conseguenze: Aliasing, perdita di informazioni.
Condizioni: Frequenza di campionamento inferiore alla doppia della più alta frequenza del segnale.

Precisione di quantizzazione

La capacità di un sistema di quantizzazione di rappresentare i valori del segnale analogico con un numero finito di livelli discreti.

Quantizzazione uniforme e non uniforme

Quantizzazione uniforme: Tutti i livelli di quantizzazione hanno la stessa ampiezza.
Quantizzazione non uniforme: I livelli hanno ampiezze diverse.

Errore massimo di quantizzazione uniforme

L'errore massimo di quantizzazione uniforme è la metà della dimensione del livello di quantizzazione.
Calcolo: (Δ/2), dove Δ è la dimensione del livello di quantizzazione.

Livelli di quantizzazione

Il numero di livelli di quantizzazione determina la precisione del sistema di quantizzazione.
Numero di livelli: Determinato dal numero di bit utilizzati per rappresentare ogni campione.

Distorsione introdotta dalla quantizzazione

La quantizzazione introduce distorsione perché sostituisce i valori continui del segnale con valori discreti.

Distorsione introdotta dal campionamento

Il campionamento introduce distorsione se la frequenza di campionamento è troppo bassa.

Signal to Quantization Noise Ratio (SQNR)

Il rapporto segnale-rumore di quantizzazione.
Calcolo: 10 log10 (Psegnale/Pquantizzazione).
Psegnale: Potenza del segnale.
Pquantizzazione: Potenza del rumore di quantizzazione.

Distorsione maggiore tra due segnali digitali con lo stesso SQNR

Possibile se i due segnali hanno differenti spettri di frequenza o se la quantizzazione è non uniforme.

Formula di Whittaker-Shannon

Formula matematica che descrive la ricostruzione di un segnale analogico da una serie di campioni discreti.

RMS

Il valore quadratico medio di un segnale.
Calcolo: radice quadrata della media dei quadrati dei valori del segnale.
Relazione con SQNR: Il SQNR è proporzionale al quadrato del RMS del segnale.

Riduzione dell'errore di quantizzazione percepito

Possibile senza cambiare il numero di livelli di quantizzazione mediante:
- Dithering.
- Quantizzazione non uniforme.

Dithering

Tecnica di riduzione del rumore di quantizzazione.
Risoluzione di due problemi:
- Riduzione dell'errore di quantizzazione percepito.
- Interruzione della distorsione di granulazione percepita.

Matrice di Bayer

Matrice utilizzata nella fotografia digitale per simulare una maggiore risoluzione di colore.
Costruzione: Dispone sensori sensibili a colori diversi in una griglia specifica.

Rumore casuale per attenuare l'errore di quantizzazione

Aggiunta di rumore casuale al segnale prima della quantizzazione.
Motivo: Il rumore maschera l'errore di quantizzazione, rendendolo meno evidente.

Ordered dithering

Una forma di dithering che utilizza un pattern deterministico per aggiungere rumore al segnale.

Dithering basato su diffusione dell'errore

Una forma di dithering che distribuisce l'errore di quantizzazione ai campioni vicini.

Dithering di Floyd-Steinberg

Una forma di dithering basato su diffusione dell'errore che utilizza un algoritmo specifico per distribuire l'errore.

Trasformata discreta

Trasformazione matematica che converte un segnale digitale da un dominio di tempo a un dominio di frequenza.

Proprietà della Trasformata di Haar

Proprietà:
- Ortogonalità.
- Semplicità di calcolo.
- Applicazione a segnali di immagine e audio.

Costruzione della matrice di trasformazione

Costruita a partire dallo spazio di funzioni che la caratterizzano.

Vantaggi dell'ortogonalità della matrice di trasformazione

Consiste nel ridurre la redundanza dei dati.
Consente la ricostruzione del segnale originale senza perdita di informazioni.

Matrice di trasformazione della Trasformata di Fourier

Proprietà:
- Unitarietà.
- Ortogonalità.
Vantaggi:
- Consente l'analisi spettrale del segnale.
- Favorisce la compressione dei dati.

Matrice di Hadamard

Matrice ortogonale utilizzata per la trasformazione di Hadamard.
Costruzione:
- Partendo da una matrice identità 2x2.
- Applicando ricorsivamente la seguente operazione:
  - Raddoppiare la dimensione della matrice.
  - Riprodurre la parte superiore sinistra nella parte inferiore destra.
  - Sostituire gli elementi nella parte superiore destra e nella parte inferiore sinistra con la loro versione negata.

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Description

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