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Questions and Answers
Cos'è un'onda periodica?
Un'onda periodica è una funzione che si ripete nel tempo e può essere descritta matematicamente.
Cosa sono la frequenza, il periodo e la pulsazione di un'onda periodica?
La frequenza è il numero di oscillazioni per secondo, il periodo è il tempo necessario per un'oscillazione completa, e la pulsazione è 2π diviso il periodo.
Cosa sono la frequenza, la lunghezza d'onda e la velocità di un'onda periodica?
La frequenza è il numero di oscillazioni per secondo, la lunghezza d'onda è la distanza tra due punti equivalenti di due oscillazioni consecutive, e la velocità è la distanza percorsa dall'onda in un secondo.
Cosa sono la fase e l'ampiezza di un'onda periodica?
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Cosa rappresentano i termini A, 2π e φ0 nella funzione matematica y(t) = A sin(2πft + φ0)?
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Cos'è l'analisi armonica di Fourier?
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Qual è la differenza tra Serie di Fourier e Trasformata di Fourier?
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La Serie di Fourier può essere utilizzata sempre?
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Cos'è l'n-esima armonica di un'onda periodica?
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Cos'è l'armonica fondamentale?
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Cos'è la frequenza di campionamento?
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Cosa recita il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon?
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Cos'è l'aliasing?
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Cos'è la precisione di quantizzazione?
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Cos'è il Signal to Quantization Noise Ratio?
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Cos'è il dithering?
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Study Notes
Onda Periodica
- Un'onda periodica è una funzione che si ripete a intervalli regolari.
- Esempio: Un'onda sinusoidale.
Frequenza, Periodo e Pulsazione
- Frequenza: Il numero di cicli completi dell'onda in un secondo, misurato in Hertz (Hz).
- Periodo: Il tempo necessario per un ciclo completo dell'onda, misurato in secondi (s).
- Pulsazione: La velocità angolare dell'onda, misurata in radianti al secondo (rad/s).
-
Relazione: La frequenza (f), il periodo (T) e la pulsazione (ω) sono legati dalla seguente relazione:
- f = 1/T = ω/2π
Frequenza, Lunghezza d'Onda e Velocità
- Frequenza: Il numero di cicli completi dell'onda in un secondo, misurato in Hertz (Hz).
- Lunghezza d'Onda: La distanza tra due punti successivi in fase dell'onda, misurata in metri (m).
- Velocità: La velocità di propagazione dell'onda, misurata in metri al secondo (m/s).
-
Relazione: La frequenza (f), la lunghezza d'onda (λ) e la velocità (v) sono legate dalla seguente relazione:
- v = fλ
Fase e Ampiezza
- Fase: Indica la posizione del picco dell'onda rispetto a un punto di riferimento, misurata in radianti (rad).
- Ampiezza: Indica la grandezza massima dell'onda rispetto alla posizione di equilibrio, misurata in unità appropriate per la grandezza fisica in gioco (es. Volt per la tensione).
Funzione matematica di un'onda sinusoidale
- y(t) = A sin(2πft + φ0)
- A: Ampiezza dell'onda
- 2πf: Pulsazione dell'onda
- φ0: Fase iniziale dell'onda
Analisi armonica di Fourier
- Tecnica matematica che consente di decomporre un segnale periodico in una somma infinita di onde sinusoidali.
- Utilità: Consente di analizzare e comprendere la struttura di un segnale complesso.
- Teorema di Fourier: Afferma che ogni funzione periodica può essere rappresentata come una somma infinita di seni e coseni con frequenze multiple della frequenza fondamentale del segnale.
Serie di Fourier e Trasformata di Fourier
- Serie di Fourier: Utilizzata per rappresentare segnali periodici.
- Trasformata di Fourier: Utilizzata per rappresentare segnali non periodici.
Condizioni di utilizzo della Serie di Fourier
- La Serie di Fourier può essere utilizzata per rappresentare segnali periodici che soddisfano le seguenti condizioni:
- Il segnale deve essere periodico.
- Il segnale deve essere limitato, ovvero la sua ampiezza deve essere finita.
- Il segnale deve essere integrabile, ovvero la sua area sotto la curva deve essere finita.
n-esima armonica
- L'n-esima armonica di un'onda periodica è un'onda sinusoidale con frequenza n volte la frequenza fondamentale.
- Espressione matematica: An sin(2πnft + φn)
- Ampiezza dell'n-esima armonica: An
Armonica fondamentale
- L'armonica fondamentale è l'onda sinusoidale con la frequenza più bassa nel segnale periodico.
- Caratteristica: La sua frequenza corrisponde alla frequenza del segnale periodico.
- Relazione con le altre armoniche: Le altre armoniche hanno frequenze multiple della frequenza fondamentale.
Rappresentazione di A cos(ωt + φ0)
- A cos(ωt + φ0) = a cos(ωt) + b sin(ωt)
- a = A cos(φ0)
- b = -A sin(φ0)
Spettro di un'onda
- L'insieme delle frequenze e delle ampiezze delle armoniche che compongono un'onda periodica.
- Strumenti matematici: Serie di Fourier o Trasformata di Fourier.
Numero di armoniche necessarie
- Onda sinusoidale: Una sola armonica.
- Onda a dente di sega: Infinite armoniche.
Espressione ∫(1/T) ∫(T/2) y(t)e^(-i2πnt/T) dt
- n: Numero dell'armonica.
- T: Periodo del segnale.
- y(t): Funzione che descrive il segnale.
- Espressione: Rappresenta il coefficiente complesso dell'n-esima armonica nella Serie di Fourier.
- Significato: Fornisce informazioni sull'ampiezza e sulla fase dell'n-esima armonica.
Frequenza di campionamento e più alta frequenza del segnale
- Frequenza di campionamento (fs): Il numero di campioni prelevati al secondo da un segnale analogico per convertirlo in un segnale digitale.
- Più alta frequenza del segnale (fmax): La frequenza massima presente nel segnale.
- Relazione: La frequenza di campionamento deve essere almeno il doppio della più alta frequenza del segnale (fs ≥ 2fmax) per evitare la perdita di informazioni.
Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon
- Afferma che un segnale analogico può essere ricostruito perfettamente da una serie di campioni discreti se la frequenza di campionamento è almeno il doppio della più alta frequenza del segnale.
- Conseguenze del mancato rispetto del teorema: Perdita di informazioni, distorsione del segnale.
Spettro di un segnale campionato
- Lo spettro di un segnale campionato presenta delle copie dello spettro originale a intervalli multipli della frequenza di campionamento.
- Ricostruzione del segnale originale: Possibile se la frequenza di campionamento rispetta il Teorema di Nyquist-Shannon.
Aliasing
- Distorsione dei segnali digitali introdotta durante il processo di campionamento.
- Motivo: Frequenze del segnale superiori a metà della frequenza di campionamento vengono erroneamente interpretate come frequenze inferiori.
- Prevenzione: Utilizzare una frequenza di campionamento sufficientemente alta.
Sottocampionamento
- Possibili conseguenze: Aliasing, perdita di informazioni.
- Condizioni: Frequenza di campionamento inferiore alla doppia della più alta frequenza del segnale.
Precisione di quantizzazione
- La capacità di un sistema di quantizzazione di rappresentare i valori del segnale analogico con un numero finito di livelli discreti.
Quantizzazione uniforme e non uniforme
- Quantizzazione uniforme: Tutti i livelli di quantizzazione hanno la stessa ampiezza.
- Quantizzazione non uniforme: I livelli hanno ampiezze diverse.
Errore massimo di quantizzazione uniforme
- L'errore massimo di quantizzazione uniforme è la metà della dimensione del livello di quantizzazione.
- Calcolo: (Δ/2), dove Δ è la dimensione del livello di quantizzazione.
Livelli di quantizzazione
- Il numero di livelli di quantizzazione determina la precisione del sistema di quantizzazione.
- Numero di livelli: Determinato dal numero di bit utilizzati per rappresentare ogni campione.
Distorsione introdotta dalla quantizzazione
- La quantizzazione introduce distorsione perché sostituisce i valori continui del segnale con valori discreti.
Distorsione introdotta dal campionamento
- Il campionamento introduce distorsione se la frequenza di campionamento è troppo bassa.
Signal to Quantization Noise Ratio (SQNR)
- Il rapporto segnale-rumore di quantizzazione.
- Calcolo: 10 log10 (Psegnale/Pquantizzazione).
- Psegnale: Potenza del segnale.
- Pquantizzazione: Potenza del rumore di quantizzazione.
Distorsione maggiore tra due segnali digitali con lo stesso SQNR
- Possibile se i due segnali hanno differenti spettri di frequenza o se la quantizzazione è non uniforme.
Formula di Whittaker-Shannon
- Formula matematica che descrive la ricostruzione di un segnale analogico da una serie di campioni discreti.
RMS
- Il valore quadratico medio di un segnale.
- Calcolo: radice quadrata della media dei quadrati dei valori del segnale.
- Relazione con SQNR: Il SQNR è proporzionale al quadrato del RMS del segnale.
Riduzione dell'errore di quantizzazione percepito
- Possibile senza cambiare il numero di livelli di quantizzazione mediante:
- Dithering.
- Quantizzazione non uniforme.
Dithering
- Tecnica di riduzione del rumore di quantizzazione.
-
Risoluzione di due problemi:
- Riduzione dell'errore di quantizzazione percepito.
- Interruzione della distorsione di granulazione percepita.
Matrice di Bayer
- Matrice utilizzata nella fotografia digitale per simulare una maggiore risoluzione di colore.
- Costruzione: Dispone sensori sensibili a colori diversi in una griglia specifica.
Rumore casuale per attenuare l'errore di quantizzazione
- Aggiunta di rumore casuale al segnale prima della quantizzazione.
- Motivo: Il rumore maschera l'errore di quantizzazione, rendendolo meno evidente.
Ordered dithering
- Una forma di dithering che utilizza un pattern deterministico per aggiungere rumore al segnale.
Dithering basato su diffusione dell'errore
- Una forma di dithering che distribuisce l'errore di quantizzazione ai campioni vicini.
Dithering di Floyd-Steinberg
- Una forma di dithering basato su diffusione dell'errore che utilizza un algoritmo specifico per distribuire l'errore.
Trasformata discreta
- Trasformazione matematica che converte un segnale digitale da un dominio di tempo a un dominio di frequenza.
Proprietà della Trasformata di Haar
-
Proprietà:
- Ortogonalità.
- Semplicità di calcolo.
- Applicazione a segnali di immagine e audio.
Costruzione della matrice di trasformazione
- Costruita a partire dallo spazio di funzioni che la caratterizzano.
Vantaggi dell'ortogonalità della matrice di trasformazione
- Consiste nel ridurre la redundanza dei dati.
- Consente la ricostruzione del segnale originale senza perdita di informazioni.
Matrice di trasformazione della Trasformata di Fourier
-
Proprietà:
- Unitarietà.
- Ortogonalità.
-
Vantaggi:
- Consente l'analisi spettrale del segnale.
- Favorisce la compressione dei dati.
Matrice di Hadamard
- Matrice ortogonale utilizzata per la trasformazione di Hadamard.
-
Costruzione:
- Partendo da una matrice identità 2x2.
- Applicando ricorsivamente la seguente operazione:
- Raddoppiare la dimensione della matrice.
- Riprodurre la parte superiore sinistra nella parte inferiore destra.
- Sostituire gli elementi nella parte superiore destra e nella parte inferiore sinistra con la loro versione negata.
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Description
Esplora le caratteristiche delle onde periodiche, incluse la frequenza, il periodo e la pulsazione. Comprendi le relazioni fondamentali tra frequenza, lunghezza d'onda e velocità dell'onda. Questo quiz ti aiuterà a consolidare le tue conoscenze su questi concetti chiave della fisica.
