Números Reales y la Recta Real

Números Reales

• El conjunto de números reales ($\mathbb{R}$) incluye números racionales ($\mathbb{Q}$) e irracionales ($\mathbb{I}$), lo que significa que $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

Representación Decimal

• Los números reales se pueden representar decimalmente de forma finita, infinita periódica o infinita no periódica.
• Los números racionales ($\mathbb{Q}$) tienen representaciones decimales finitas o infinitas periódicas.
• Los números irracionales ($\mathbb{I}$) tienen representaciones decimales infinitas no periódicas.

La Recta Real

• Cada número real corresponde a un punto en la recta real, y viceversa.

Orden en $\mathbb{R}$

• Para cualquier par de números reales a y b, sólo una de las siguientes relaciones es verdadera: a < b, a = b, o a > b.

Intervalos

• Los intervalos son conjuntos de números reales entre dos valores, que pueden ser abiertos, cerrados, semiabiertos o semicerrados.
• Intervalo abierto: $(a, b) = {x \in \mathbb{R} : a < x < b}$.
• Intervalo cerrado: $[a, b] = {x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b}$.
• Intervalo semiabierto: $(a, b] = {x \in \mathbb{R} : a < x \leq b}$ o $[a, b) = {x \in \mathbb{R} : a \leq x < b}$.

Entornos

• Un entorno de un número real a es un intervalo abierto que contiene a a.
• Entorno de centro a y radio r: $E(a, r) = (a - r, a + r) = {x \in \mathbb{R} : |x - a| < r}$.
• Entorno reducido de centro a y radio r: $E^{*}(a, r) = E(a, r) \setminus {a} = (a - r, a) \cup (a, a + r)$.

Valor Absoluto

• El valor absoluto de un número real a, simbolizado como $|a|$, se define como:
  • $|a| = a$ si $a \geq 0$, y $|a| = -a$ si $a < 0$.

Propiedades del Valor Absoluto

• $|a| \geq 0$
• $|a| = |-a|$
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ (Desigualdad triangular)
• $||a| - |b|| \leq |a - b|$

Desigualdades e Inecuaciones

• Una desigualdad es una relación matemática entre dos cantidades diferentes. Una inecuación es una desigualdad con una o más incógnitas.

Propiedades de las Desigualdades

• Si $a \leq b$, entonces $a + c \leq b + c$ para cualquier $c \in \mathbb{R}$.
• Si $a \leq b$ y $c > 0$, entonces $ac \leq bc$.
• Si $a \leq b$ y $c < 0$, entonces $ac \geq bc$.

Resolución de Inecuaciones

• Resolver una inecuación implica encontrar todos los valores de la incógnita que satisfacen la desigualdad.

Conceptos Básicos de Termodinámica

• Termodinámica: Ciencia que estudia la energía y la entropía.
• El término termodinámica proviene de las palabras griegas therme (calor) y dynamis (potencia).
• Principio de conservación de la energía: La energía puede cambiar de una forma a otra durante una interacción, pero la cantidad total de energía permanece constante.
• Primera Ley de la Termodinámica: Expresión del principio de conservación de la energía.
• Segunda Ley de la Termodinámica: La energía tiene calidad y cantidad, y los procesos reales ocurren en la dirección de la disminución de la calidad de la energía.
• Termodinámica clásica: Enfoque macroscópico que se ocupa de los efectos globales o promedio de muchas moléculas.
• Termodinámica estadística: Enfoque microscópico basado en el comportamiento promedio de grandes grupos de moléculas individuales.

Dimensiones y Unidades

• Cualquier cantidad física se puede caracterizar por dimensiones.
• Las unidades son magnitudes arbitrarias asignadas a las dimensiones.
• Dimensiones primarias o fundamentales: masa $m$, longitud $L$, tiempo $t$ y temperatura $T$.
• Dimensiones secundarias o derivadas: velocidad $V$, energía $E$ y volumen $V$.
• Sistema métrico SI: Sistema lógico basado en la relación decimal entre varias unidades.
• Sistema inglés: También conocido como Sistema Consuetudinario de los Estados Unidos (USCS).
• Homogeneidad dimensional: Todos los términos en una ecuación deben tener las mismas dimensiones.
• Factores de conversión de unidades: Su producto siempre es uno e ignoran magnitudes y unidades.

Sistemas y Volúmenes de Control

• Sistema: Cantidad de materia o región en el espacio elegida para su estudio.
• Entorno: Masa o región fuera del sistema.
• Límite: Superficie real o imaginaria que separa el sistema de su entorno.
  • El límite de un sistema puede ser fijo o móvil.
• Sistema cerrado (masa de control): Cantidad fija de masa, y ninguna masa puede cruzar su límite.
• Sistema abierto (volumen de control): Región en el espacio seleccionada apropiadamente.
  • Generalmente encierra un dispositivo que implica flujo de masa, como un compresor, turbina o boquilla.
  • Tanto la masa como la energía pueden cruzar el límite de un volumen de control.
• Superficie de control: Los límites de un volumen de control. Puede ser real o imaginaria.
• Sistema aislado: Ni siquiera la energía puede cruzar el límite.

Propiedades de un Sistema

• Propiedad: Cualquier característica de un sistema.
  • Algunas propiedades familiares son la presión $P$, la temperatura $T$, el volumen $V$ y la masa $m$.
• Propiedades intensivas: Aquellas que son independientes de la masa de un sistema, como la temperatura, la presión y la densidad.
• Propiedades extensivas: Aquellas cuyos valores dependen del tamaño o extensión del sistema.
• Propiedades específicas: Propiedades extensivas por unidad de masa.
• Continuo: La materia se compone de átomos que están muy espaciados en la fase gaseosa; sin embargo, es conveniente ignorar la naturaleza atómica de una sustancia.

Densidad y Gravedad Específica

• Densidad: Masa por unidad de volumen.
  • $\rho = \frac{m}{V} (kg/m^3)$
• Volumen específico: Volumen por unidad de masa.
  • $v = \frac{V}{m} = \frac{1}{\rho}$
• Gravedad específica: La relación de la densidad de una sustancia con la densidad de alguna sustancia estándar a una temperatura específica.
  • $SG = \frac{\rho}{\rho_{H_2O}}$
• Peso específico: El peso de un volumen unitario de una sustancia.
  • $\gamma_s = \rho g (N/m^3)$

Estado y Equilibrio

• Estado: La condición de un sistema descrita por sus propiedades.
• Equilibrio: Un estado de equilibrio.
• Equilibrio térmico: La temperatura es la misma en todo el sistema.
• Equilibrio mecánico: No hay cambio en la presión en ningún punto del sistema con el tiempo.
• Equilibrio de fase: La masa de cada fase alcanza un nivel de equilibrio y permanece allí.
• Equilibrio químico: La composición química no cambia con el tiempo.
• Equilibrio termodinámico: Un sistema en equilibrio térmico, mecánico, de fase y químico.
• Proceso: Cualquier cambio que sufre un sistema de un estado de equilibrio a otro.
• Trayectoria: La serie de estados por los que pasa un sistema durante un proceso.
• Proceso cuasiestático o cuasiequilibrio: Cuando un proceso avanza de tal manera que el sistema permanece infinitesimalmente cerca de un estado de equilibrio en todo momento.
• Proceso isotérmico: Un proceso durante el cual la temperatura $T$ permanece constante.
• Proceso isobárico: Un proceso durante el cual la presión $P$ permanece constante.
• Proceso isocórico: Un proceso durante el cual el volumen específico $v$ permanece constante.
• Ciclo: Un proceso durante el cual los estados inicial y final son idénticos.

Temperatura y la Ley Cero de la Termodinámica

• Ley cero de la termodinámica: Si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercer cuerpo, también están en equilibrio térmico entre sí.
• Escalas de temperatura: Escala Celsius ${ }^{\circ} \mathrm{C}$, escala Fahrenheit ${ }^{\circ} \mathrm{F}$, escala Kelvin $\mathrm{K}$, escala Rankine $\mathrm{R}$.
  • $T({ }^{\circ} \mathrm{C}) = T(\mathrm{K})-273.15$
  • $T({ }^{\circ} \mathrm{F}) = 1.8 T({ }^{\circ} \mathrm{C})+32$
  • $T(\mathrm{R}) = 1.8 T(\mathrm{K})$
  • $T(\mathrm{R}) = T({ }^{\circ} \mathrm{F})+459.67$
• $\Delta T(\mathrm{K}) = \Delta T({ }^{\circ} \mathrm{C})$
• $\Delta T(\mathrm{R}) = \Delta T({ }^{\circ} \mathrm{F})$
• $\Delta T(\mathrm{R}) = 1.8 \Delta T(\mathrm{K})$

Presión

• Presión: Una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de área.
  • $P = \frac{F}{A} (N/m^2)$
• Presión absoluta: La presión real en una posición dada. Se mide en relación con el vacío absoluto.
• Presión manométrica: La diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica local.
  • $P_{\text{gage}} = P_{\text{abs}} - P_{\text{atm}}$
• Presión de vacío: Presiones por debajo de la presión atmosférica.
  • $P_{\text{vac}} = P_{\text{atm}} - P_{\text{abs}}$
• Unidades de presión: $1 \mathrm{~Pa} = 1 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}$, $1 \mathrm{bar} = 10^{5} \mathrm{~Pa} = 0.1 \mathrm{~MPa}$, $1 \mathrm{~atm} = 101325 \mathrm{~Pa} = 101.325 \mathrm{kPa} = 1.01325 \mathrm{bars}$
• Presión hidrostática: La presión en un fluido en reposo aumenta con la profundidad.
  • $\Delta P = \rho g \Delta z$
  • $P = P_{\text{atm}} + \rho g h$
• Manómetro: Un dispositivo basado en este principio se llama manómetro, y se utiliza comúnmente para medir diferencias de presión pequeñas y moderadas.
  • $P_1 = P_{\text{atm}} + \rho g h$
  • $P_1 = P_2 + \rho_2 g h$

Técnica de Resolución de Problemas

• Paso 1: Declaración del Problema
• Paso 2: Esquema
• Paso 3: Suposiciones y Aproximaciones
• Paso 4: Leyes Físicas
• Paso 5: Propiedades
• Paso 6: Cálculos
• Paso 7: Razonamiento, Verificación y Discusión

Algunas Unidades SI e Inglesas

Espacios Vectoriales

• Un espacio vectorial es un conjunto $V$ con dos operaciones:
  • Adición: $V \times V \rightarrow V$, $(u, v) \mapsto u + v$
  • Multiplicación escalar: $\mathbb{F} \times V \rightarrow V$, $(a, v) \mapsto av$, donde $\mathbb{F}$ es un campo.

Axiomas

• Estas operaciones deben satisfacer los siguientes axiomas: Para todo $u, v, w \in V$ y $a, b \in \mathbb{F}$:
  • $(u+v)+w = u+(v+w)$ (Asociatividad de la adición)
  • $u+v = v+u$ (Conmutatividad de la adición)
  • Existe $0 \in V$ tal que $v+0=v$ para todo $v \in V$ (Identidad aditiva)
  • Para todo $v \in V$, existe $w \in V$ tal que $v+w=0$ (Inverso aditivo)
  • $a(u+v) = au+av$ (Distributividad con respecto a la adición de vectores)
  • $(a+b)v = av+bv$ (Distributividad con respecto a la adición escalar)
  • $(ab)v = a(bv)$ (Asociatividad de la multiplicación escalar)
  • $1v = v$ (Identidad multiplicativa)

Ejemplos

• $\mathbb{F}^n = {(a_1, a_2,..., a_n) : a_i \in \mathbb{F} }$ con adición y multiplicación escalar componente a componente.
• $M_{m \times n}(\mathbb{F})$ = {matrices de $m \times n$ con entradas en $\mathbb{F}$ } con adición y multiplicación escalar entrada a entrada.
• $\mathbb{F}[x]$ = {polinomios en $x$ con coeficientes en $\mathbb{F}$ } con adición y multiplicación escalar usual.
• Sea $S$ un conjunto. Entonces $\mathbb{F}^S$ = {funciones $f: S \rightarrow \mathbb{F}$ } con adición y multiplicación escalar puntual:
  • $(f+g)(s) = f(s) + g(s)$
  • $(af)(s) = a(f(s))$
• El conjunto de soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea. Por ejemplo, $f'' + f = 0$. Las soluciones son de la forma $A\cos(x) + B\sin(x)$, donde $A, B \in \mathbb{R}$.

Subespacios

• Un subconjunto $W$ de un espacio vectorial $V$ es un subespacio si $W$ es en sí mismo un espacio vectorial con las operaciones de $V$.

Teorema

• $W \subseteq V$ es un subespacio si y solo si:
  • $W \neq \emptyset$
  • $u, v \in W \implies u+v \in W$
  • $a \in \mathbb{F}, v \in W \implies av \in W$

Ejemplos

• $V$, ${0}$ siempre son subespacios de $V$.
• Sea $v \in V$, entonces span${v} = {av : a \in \mathbb{F}}$ es un subespacio de $V$.
• Sea $A \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$. Entonces $N(A) = {v \in \mathbb{F}^n : Av = 0}$ es un subespacio de $\mathbb{F}^n$. (Espacio nulo de A)
• Sea $A \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$. Entonces $R(A) = {Av : v \in \mathbb{F}^n}$ es un subespacio de $\mathbb{F}^m$. (Rango de A)
• Sea $V = \mathbb{R}^3$. Entonces $W = {(x, y, z) : x+y+z = 0}$ es un subespacio de $V$.
• Sea $V = \mathbb{R}^3$. Entonces $W = {(x, y, z) : x+y+z = 1}$ no es un subespacio de $V$.
• Sea $V = \mathbb{R}[x]$. Entonces $W = {f \in \mathbb{R}[x] : \text{deg}(f) \leq n}$ es un subespacio de $V$.

Psicología Social

• La psicología social estudia cómo los pensamientos, sentimientos y comportamientos de las personas son influenciados por la presencia real, imaginada o implícita de otros.

Temas en Psicología Social

• Actitudes: Evaluaciones de personas, objetos e ideas.
• Persuasión: El proceso de cambiar la actitud de alguien.
• Cognición Social: Cómo las personas procesan y utilizan la información sobre el mundo social.
• Estereotipos: Generalizaciones sobre un grupo de personas.
• Prejuicio: Sentimientos negativos hacia un grupo de personas.
• Discriminación: Comportamiento negativo hacia un grupo de personas.
• Atracción Interpersonal: Factores que llevan a las personas a agradarse entre sí.
• Relaciones Cercanas: Intimidad, pasión y compromiso.
• Comportamiento Prosocial: Ayudar a otros.
• Agresión: Comportamiento destinado a dañar a otros.
• Grupos: Dos o más personas que interactúan y son interdependientes.
• Influencia Social: Cómo las personas son afectadas por la presión real o imaginada de otros.

Teoría de la Atribución Social

• La teoría de la atribución es una descripción de la forma en que las personas explican las causas de su propio comportamiento y el de otras personas.

Tipos de Atribuciones

• Atribución Interna: Inferir que una persona se comporta de cierta manera debido a algo acerca de la persona (por ejemplo, actitud, carácter o personalidad).
• Atribución Externa: Inferir que una persona se comporta de cierta manera debido a algo acerca de la situación; la suposición es que la mayoría de las personas responderían de la misma manera en esa situación.

Errores de Atribución

• Error Fundamental de Atribución: La tendencia a sobreestimar el grado en que el comportamiento de las personas se debe a factores internos y disposicionales, y a subestimar el papel de los factores situacionales.
• Sesgo Actor/Observador: La tendencia a ver el comportamiento de otras personas como causado disposicionalmente, pero enfocándose más en el papel de los factores situacionales al explicar el propio comportamiento.
• Sesgo de Autoservicio: Explicaciones de los éxitos que acreditan factores internos y disposicionales, y explicaciones de los fracasos que culpan a factores externos y situacionales.

Actitudes

• Evaluaciones de personas, objetos e ideas.

Formación de Actitudes

• Predisposición Genética: Influencia de la genética.
• Condicionamiento Clásico: Asociación de un estímulo neutral con uno positivo o negativo.
• Condicionamiento Operante: Recompensas o castigos por expresar ciertas opiniones.
• Aprendizaje Observacional: Observación de actitudes de otros, especialmente de quienes se admira o respeta.

Cambio de Actitudes

• Teoría de la Disonancia Cognitiva: El malestar que sienten las personas cuando dos cogniciones (creencias, actitudes) entran en conflicto, o cuando se comportan de maneras que son inconsistentes con su concepción de sí mismas.
  • Formas de Reducir la Disonancia:
    • Cambiar el comportamiento.
    • Cambiar la actitud.
    • Añadir cogniciones nuevas.
• Modelo de Probabilidad de Elaboración: Un modelo que explica dos formas en que las comunicaciones persuasivas pueden causar un cambio de actitud:
  • Ruta Central: Cuando las personas están motivadas y tienen la capacidad de prestar atención a los argumentos de la comunicación.
  • Ruta Periférica: Cuando las personas no prestan atención a los argumentos, pero se dejan influir por las características superficiales.

Cognición Social

• Esquemas: Estructuras mentales que la gente usa para organizar su conocimiento sobre el mundo social alrededor de temas o materias y que influyen en la información que la gente advierte, piensa y recuerda.

Heurísticas

• Atajos mentales que las personas utilizan para hacer juicios de forma rápida y eficiente.
  • Heurística de Disponibilidad: Una regla mental por la cual las personas basan un juicio en la facilidad con la que pueden recordar algo.
  • Heurística Representativa: Un atajo mental por el cual las personas clasifican algo según lo similar que sea a un caso típico.

Influencia Social

• Cambio en el comportamiento debido a la influencia real o imaginada de otras personas.
  • Influencia Social Informativa: Confiar en otras personas como fuente de información para guiar nuestro comportamiento; nos conformamos porque creemos que la interpretación de otros sobre una situación ambigua es más correcta que la nuestra y nos ayudará a elegir un curso de acción apropiado.
  • Influencia Social Normativa: Seguir lo que otras personas hacen para ser gustados y aceptados por ellos; nos conformamos públicamente con las creencias y comportamientos del grupo, pero no siempre los aceptamos en privado.

Obediencia

• Cambio en el comportamiento debido a la influencia directa de una figura de autoridad.
  • Experimento de Obediencia de Milgram: Un famoso experimento que demostró el poder de la obediencia a la autoridad.

Cumplimiento

• Cambio en el comportamiento debido a una solicitud directa.
  • Técnica del Pie en la Puerta: Una técnica de cumplimiento en la que primero se pide a las personas que acepten una pequeña solicitud, lo que aumenta la probabilidad de que luego cumplan con una solicitud mayor.
  • Técnica de la Puerta en la Cara: Una técnica de cumplimiento en la que primero se pide a las personas una gran solicitud que probablemente rechazarán y luego se pide una solicitud menor.

Comportamiento Grupal

• Facilitación Social: La tendencia de las personas a desempeñarse mejor en tareas simples y peor en tareas complejas cuando están en presencia de otros y su desempeño individual puede ser evaluado.
• Holgazanería Social: La tendencia de las personas a desempeñarse peor en tareas simples, pero mejor en tareas complejas cuando están en presencia de otros y su desempeño individual no puede ser evaluado.
• Desindividualización: La relajación de las restricciones normales sobre el comportamiento cuando las personas están en una multitud, lo que lleva a un aumento de actos impulsivos y desviados.
• Polarización Grupal: La tendencia de los grupos a tomar decisiones que son más extremas que las inclinaciones iniciales de sus miembros.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

• Similar a las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), pero para funciones de varias variables.
• La incógnita es una función:
  • $u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$
  • $u: \mathbb{R}^3 \times [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ (3 dimensiones espaciales, 1 dimensión temporal)
• La ecuación involucra derivadas (parciales) de la función desconocida.

Ejemplos

• $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (Ecuación del Calor)
• $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (Ecuación de la Onda)
• $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ (Ecuación de Laplace)

Importancia

• Modelan muchos fenómenos en ciencia e ingeniería:
  • Dinámica de Fluidos
  • Electromagnetismo
  • Mecánica Cuántica
  • Relatividad General
• Su comprensión ayuda a entender el mundo.

Clasificación

• Orden: El orden de una EDP es el orden más alto de la derivada que aparece en la ecuación.
  • $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (2do orden)
  • $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (2do orden)
  • $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ (2do orden)
• Linealidad: Una EDP es lineal si es lineal en la función desconocida y sus derivadas.
  • $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (Lineal)
  • $u \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (No lineal)
• Tipos de EDPs Lineales de 2do Orden: Para una EDP de la forma
  • $A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D \frac{\partial u}{\partial x} + E \frac{\partial u}{\partial y} + F u = G$
  • Donde $A, B, C, D, E, F, G$ son funciones de $x$ y $y$:
    • Si $B^2 - 4AC < 0$: Elíptica (ej. Ecuación de Laplace)
    • Si $B^2 - 4AC = 0$: Parabólica (ej. Ecuación del Calor)
    • Si $B^2 - 4AC > 0$: Hiperbólica (ej. Ecuación de la Onda)

Resolución de EDPs

• Métodos Analíticos:
  • Separación de Variables
  • Método de las Características
  • Transformadas Integrales
• Métodos Numéricos:
  • Método de Diferencias Finitas
  • Método de Elementos Finitos
  • Método de Volumen Finito

Correcta Formulación (Well-Posedness)

• Una EDP está bien planteada si satisface las siguientes condiciones:
  • Existencia: Existe una solución.
  • Unicidad: La solución es única.
  • Estabilidad: La solución depende continuamente de las condiciones iniciales/de frontera.

Importancia

• Una EDP mal planteada puede no ser un buen modelo para un fenómeno físico.
• Los métodos numéricos pueden no converger a una solución significativa si la EDP no está bien planteada.

Teoría Algorítmica de Juegos - Verano 2023

Diseño de Mecanismos sin Dinero

Emparejamientos

Definición 1

• Dado un conjunto de jugadores N, cada jugador $i \in N$ tiene un orden de preferencia estricto $>_i$ sobre un conjunto de resultados O.
• Una función de elección social (SCF) es una función $f: (>i){i \in N} \rightarrow O$ que mapea cada perfil de preferencia a un resultado.
• Un mecanismo es una forma de juego $g: (A_i)_{i \in N} \rightarrow O$ que mapea cada perfil de acción a un resultado.

Implementación

• Dado un SCF f, un mecanismo g implementa f en estrategias dominantes si para cada jugador $i \in N$, reportar verazmente las preferencias es una estrategia dominante.
• Es decir, reportar $>_i$ es una estrategia dominante para cada jugador $i \in N$.
• Formalmente, $f((>i){i \in N}) = g((>i){i \in N})$, para todo $(>i){i \in N}$.

Ejemplo: Matrimonio Estable

• N = conjunto de n hombres y n mujeres.
• Cada hombre i tiene una lista de preferencias estricta $>_i$ sobre todas las mujeres.
• Cada mujer j tiene una lista de preferencias estricta $>_j$ sobre todos los hombres.
• O = conjunto de todos los emparejamientos posibles entre hombres y mujeres.

Definición 2

• Un emparejamiento $\mu$ es un conjunto de pares (hombre, mujer) tal que cada hombre y cada mujer aparece en como máximo un par.
  • Si el hombre i y la mujer j están emparejados en $\mu$, escribimos $\mu(i) = j$ y $\mu(j) = i$.
  • Si el hombre i no está emparejado en $\mu$, escribimos $\mu(i) = i$.
  • Si la mujer j no está emparejada en $\mu$, escribimos $\mu(j) = j$.

Definición 3

• Un emparejamiento $\mu$ es inestable si existe un hombre i y una mujer j tal que:
  • i prefiere a j a su pareja actual $\mu(i)$, es decir, $j >_i \mu(i)$.
  • j prefiere a i a su pareja actual $\mu(j)$, es decir, $i >_j \mu(j)$.
• Tal par (i, j) se llama un par bloqueador.

Definición 4

• Un emparejamiento $\mu$ es estable si no es inestable, es decir, no hay pares bloqueadores.
  • Un emparejamiento estable es individualmente racional, es decir, ningún jugador está emparejado con alguien que le disguste más que estar sin emparejar.
  • Los emparejamientos estables siempre existen (algoritmo de Gale-Shapley).

Algoritmo de Aceptación Diferida (Algoritmo de Gale-Shapley)

1. Inicialmente, todos los hombres y mujeres están sin emparejar.
2. Mientras exista un hombre sin emparejar i:
   • i propone a la mujer j que más prefiere a la que aún no le ha propuesto.
   • Si j no está emparejada, acepta la propuesta.
   • Si no, compara a i con su pareja actual.
     • Si prefiere a i, acepta la propuesta y rechaza a su pareja actual.
     • Si no, rechaza la propuesta.
3. Cada hombre se empareja con la mujer que sostiene su propuesta (o permanece sin emparejar).
   • El algoritmo termina en como máximo $n^2$ iteraciones.
   • El emparejamiento resultante es estable.
   • El algoritmo es óptimo para los hombres.
   • Es estrategia-prueba para los hombres reportar sus verdaderas preferencias.
   • No es estrategia-prueba para las mujeres.