Números Racionales e Irracionales

• Un número racional se expresa como a/b, donde a y b son enteros, y b no es cero.
• Los enteros y las expresiones decimales finitas o periódicas son racionales.

Fracciones y Números Decimales

• 3.142 puede expresarse como la fracción 3142/1000.
• 3.142 (periódico) se expresa como (3142 - 3)/999 = 3139/999.
• 3.142 (semiperiódico) se expresa como (3142-314)/900 = 2828/900 = 707/225.
• Los números decimales periódicos pueden ubicarse en la recta numérica al convertirlos a fracciones.
• Para ubicar 11/6 en la recta numérica, se expresa como 1 + 5/6, que es 1 y 5/6.

Números Irracionales

• Un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas y no puede expresarse como fracción.
• Ejemplos de números irracionales incluyen π (3.14159...), e (2.7182...), y la raíz cuadrada de números no cuadrados perfectos.
• Números irracionales pueden tener una regla de formación en su escritura decimal, pero sin período.
• El teorema de Pitágoras puede ser usado para representar números irracionales como √5 en la recta numérica, usando un triángulo rectángulo de catetos 2 y 1.

Conjuntos Numéricos

• El conjunto de los números irracionales se denota como II.
• Algunos números irracionales tienen símbolos especiales, como π (3.14159265...).
• El conjunto de los números irracionales no comparte elementos con el conjunto de los números racionales.
• El conjunto de los números naturales (N) está incluido en los enteros (Z), que a su vez están incluidos en los racionales (Q).

Números Reales

• Los números reales (IR) son la unión de los números racionales (Q) y los irracionales (II).
• Si a, b, y c son números reales, la adición y multiplicación resultan en valores reales con las siguientes propiedades:

Propiedades de los Números Reales

• Conmutativa: a + b = b + a, a * b = b * a.
• Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c, a * (b * c) = (a * b) * c.
• Distributiva: a * (b + c) = a * b + a * c.
• Neutro: a + 0 = a, a * 1 = a.
• Inverso: a + (-a) = 0, a * (1/a) = 1 (con a ≠ 0).
• Los números reales son infinitos, densos (siempre hay un número real entre dos reales), completos (cada punto en la recta corresponde a un número real), y ordenados (a < b o a > b).

Intervalos

• Un intervalo es un subconjunto de números reales entre dos límites, que pueden o no pertenecer al intervalo.
• Intervalo cerrado incluye los límites: [a, b] = {x ∈ IR / a ≤ x ≤ b}.
• Intervalo abierto no incluye los límites: (a, b) = {x ∈ IR / a < x < b}.
• Intervalos semiabiertos incluyen uno de los límites: [a, b) = {x ∈ IR / a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ IR / a < x ≤ b}.
• Intervalos ilimitados se extienden hasta el infinito: (-∞, a] = {x ∈ IR / x ≤ a}, (b, +∞) = {x ∈ IR / x > b}.
• Ejemplo: Si x ∈ [-1, 3], entonces (2x + 5) pertenece al intervalo [3, 11].

Valor Absoluto

• El valor absoluto de un número real x (|x|) es su distancia al origen.
• |x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0
• Ejemplos: |-3.1| = 3.1, |1.7| = 1.7

Propiedades del Valor Absoluto

• |a| ≥ 0
• |a + b| ≤ |a| + |b|
• |a * b| = |a| * |b|
• |a/b| = |a| / |b|
• √(a²) = |a|
• Si |a| = b y b > 0, entonces a = b o a = -b
• Si |a| ≤ b y b > 0, entonces -b ≤ a ≤ b
• Si |a| ≥ b y b > 0, entonces a ≤ -b o a ≥ b

Operaciones con Números Reales

• Se reemplazan los números racionales por sus fracciones y manteniendo los irracionales.
• Ejemplos: π + 7.1333... – √2 + 2.16, 0.81π - e/√2 + 2.2π
• Para π + 7.13 - √2 + 2.16 se remplaza el número con su fracción respectiva 713−71/90 - √2 + 216/100.
• Podemos aproximar los resultados usando una calculadora.