Números Complejos: Conceptos y Aplicaciones

Números Complejos

• Combinación de números reales e imaginarios.
• Parte real puede ser entera o decimal; parte imaginaria tiene su cuadrado negativo.
• Surgen para abarcar las raíces de números negativos, no posibles con números reales.

Aplicaciones de los Números Complejos

• Utilizados en matemáticas, ingeniería, electrónica y telecomunicaciones.
• Representan ondas electromagnéticas y corrientes eléctricas.

Fórmula y Representación

• Fórmula general: a + bi (donde a y b son números reales, i es la unidad imaginaria).
• Se conoce como forma binómica, debido a sus dos componentes.
• Los números complejos llenan un plano complejo, representados en un sistema de coordenadas cartesianas.

Historia y Desarrollo

• René Descartes enfatizó la naturaleza imaginaria de los números, admitiendo su existencia en ecuaciones.
• Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, demostró la solución de ecuaciones con términos negativos bajo raíces cuadradas.
• Carl Friedrich Gauss, en el siglo XVIII, consolidó ideas de Cardano y desarrolló un tratado sobre números complejos en un plano.

Propiedades de los Números Complejos

• Los números complejos son iguales si tienen el mismo componente real e imaginario.
• El conjunto de todos los números complejos es denotado como C, conformando un espacio vectorial de dos dimensiones.
• A diferencia de los números reales, los complejos no mantienen un orden.

Números Imaginarios Puros

• Tienen parte real igual a 0; se representan como 0 + bi = bi.
• Su unidad, i, es el equivalente a 1 en los números reales; la raíz cuadrada de i es -1.

Representación Gráfica

• Los números reales se representan en una recta (recta real), cada número tiene un lugar correspondiente.
• Los números complejos se representan en un plano, utilizando ejes cartesianas (eje real en X y eje imaginario en Y).
• Un número complejo a + bi se representa como el punto (a, b) o mediante un vector de origen (0, 0).