Números Absolutos en Matemáticas

Números Absolutos

• Definición: El número absoluto de un número real es la distancia del número al cero en la recta numérica, sin considerar la dirección.

• Notación: Se denota como |x|, donde x es un número real.

Propiedades del Número Absoluto

1. Positividad:

   • |x| ≥ 0 para cualquier número real x.
   • |x| = 0 solo si x = 0.

2. Simetría:

   • |x| = |-x|; el valor absoluto de un número y su opuesto son iguales.

3. Triángulo:

   • |x + y| ≤ |x| + |y|; la distancia entre dos puntos es menor o igual a la suma de las distancias individuales.

Ejemplo de Cálculo de Números Absolutos

• Ejemplo: Calcular |–5| y |3|

  • |–5| = 5 (distancia al cero)
  • |3| = 3 (distancia al cero)

Procedimiento para Resolver Problemas

1. Identificar el número:

   • Determine si el número es positivo o negativo.

2. Aplicar la definición:

   • Si el número es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo número.
   • Si el número es negativo, el valor absoluto es el opuesto del número.

3. Ejemplos adicionales:

   • Calcular |–8|:
     • |–8| = 8
   • Calcular |0|:
     • |0| = 0

Aplicaciones

• Usos en ecuaciones: |x| puede aparecer en ecuaciones que representan distancias o diferencias.
• Resolución de inecuaciones: Ejemplo, resolver |x| < 3, implica –3 < x < 3.

Ejercicio Práctico

• Calcular el valor absoluto de los siguientes números:
  1. |7|
  2. |–12|
  3. |4 – 9|

Soluciones:

1. |7| = 7
2. |–12| = 12
3. |4 – 9| = |–5| = 5

Valor Absoluto

• Es la distancia de un número real al cero en la recta numérica, sin tomar en cuenta la dirección.
• Se representa con barras verticales: |x|

Propiedades del Valor Absoluto

• Positividad: |x| siempre es mayor o igual a cero. Solo es cero cuando x es cero.
• Simetría: El valor absoluto de un número es igual al valor absoluto de su opuesto.
• Desigualdad del Triángulo: La distancia entre dos números es menor o igual a la suma de las distancias individuales.

Cálculo del Valor Absoluto

• Para calcular el valor absoluto, se determina si el número es positivo o negativo.
• Si el número es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo número.
• Si el número es negativo, el valor absoluto es su opuesto.

Aplicaciones

• Se usan en ecuaciones que representan distancias o diferencias.
• Se usan para resolver desigualdades, como por ejemplo, resolver |x| < 3.

Ejercicio Práctico

• El ejercicio consiste en calcular el valor absoluto de distintos números:
  • |7| es 7.
  • |-12| es 12.
  • |4 - 9| es |-5| que a su vez es 5.