Munosabatlar nazariyasi asoslari

• Relations mavzusi haqida ma'lumot
• Asosiy tushunchalar keltirilgan

Munosabatning ta'rifi

• A va V to'plamlar orasidagi $R$ munosabat - bu $A \times V$ karra mahsulotining pastki to'plami, ya'ni $R \subseteq A \times V$
• $A$ - $R$ ning aniqlanish sohasi, $V$ esa $R$ ning maqsadli sohasi

To'plamdagi munosabat ta'rifi

• $A$ to'plamdagi munosabat - bu $A \times A$ karra mahsulotining pastki to'plami, ya'ni $R \subseteq A \times A$

Munosabatlarni ifodalash

• To'plam yozuvi: $R = {(a, b) \mid a \in A, b \in V, a \text{ ning } b \text{ ga } R \text{ munosabati bor}}$
• Grafik: O'q diagrammasi yoki jadval ko'rinishida ifodalash
• Matritsa ifodasi: $m_{ij} = 1$, agar $(a_i, b_j) \in R$ va $m_{ij} = 0$ bo'lsa, binarniy $M_R$ matritsa

A to'plamda munosabatlarning xususiyatlari

• Refleksivlik: $\forall a \in A: (a, a) \in R$
• Irreflexivlik: $\forall a \in A: (a, a) \notin R$
• Simmetriklik: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$
• Antisimetriklik: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \land (b, a) \in R \Rightarrow a = b$
• Tranzitivlik: $\forall a, b, c \in A: (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$

Ekvivalentlik munosabatlari

Ekvivalentlik munosabati ta'rifi

• $A$ to'plamdagi $R$ munosabat, agar u refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi

Ekvivalentlik sinfi ta'rifi

• $R$ - $A$ dagi ekvivalentlik munosabati bo'la oladi. $a \in A$ ning $R$ ga nisbatan ekvivalentlik sinfi $[a]_R = {b \in A \mid (a, b) \in R}$ to'plamdir

Faktor yoki bo'linma to'plam ta'rifi

• $A$ ning $R$ ga nisbatan barcha ekvivalentlik sinflari to'plami $A$ ning $R$ bo'yicha faktor to'plami yoki bo'linma to'plami deyiladi: $A/R = {[a]_R \mid a \in A}$

Teorema

• Ekvivalentlik munosabatining ekvivalentlik sinflari $A$ to'plamining qismini hosil qiladi, ya'ni ekvivalentlik sinflari juft-juft bilan ajralib turadi va ularning birlashuvi $A$ to'plamini beradi

Tartiblash munosabatlari

(Yarim) tartiblash ta'rifi

• $A$ to'plamdagi $R$ munosabat, agar u refleksiv, antisimetrik va tranzitiv bo'lsa, yarim tartiblash yoki qisman tartiblash deyiladi
• Agar barcha $a, b \in A$ uchun $(a, b) \in R$ yoki $(b, a) \in R$ bo'lsa, yarim tartiblash to'liq tartiblash yoki chiziqli tartiblash deyiladi

Tartiblangan to'plam ta'rifi

• $A$ to'plam $A$ dagi yarim tartiblash $R$ bilan birgalikda tartiblangan to'plam $(A, R)$ deyiladi

Solishtirish ta'rifi

• Tartiblangan to'plamda $(A, R)$ ikkita element $a, b \in A$ solishtiriladigan deyiladi, agar $(a, b) \in R$ yoki $(b, a) \in R$. Aks holda ular solishtirib bo'lmaydigan deyiladi

Eng kichik va eng katta element ta'rifi

• $(A, R)$ tartiblangan to'plam bo'lsin. $a \in A$ element:
  • $A$ ning eng kichik elementi deyiladi, agar $\forall x \in A: (a, x) \in R$ bo'lsa
  • $A$ ning eng katta elementi deyiladi, agar $\forall x \in A: (x, a) \in R$ bo'lsa

Minimal va maksimal element ta'rifi

• $(A, R)$ tartiblangan to'plam bo'lsin. $a \in A$ element:
  • $A$ ning minimal elementi deyiladi, agar $\nexists x \in A: (x, a) \in R \land x \neq a$ bo'lsa
  • $A$ ning maksimal elementi deyiladi, agar $\nexists x \in A: (a, x) \in R \land x \neq a$ bo'lsa

Yuqori va quyi chegara ta'rifi

• $(A, R)$ tartiblangan to'plam va $V \subseteq A$ bo'lsin. $a \in A$ element:
  • $V$ ning yuqori chegarasi deyiladi, agar $\forall x \in V: (x, a) \in R$ bo'lsa
  • $V$ ning quyi chegarasi deyiladi, agar $\forall x \in V: (a, x) \in R$ bo'lsa

Supremum va Infimum ta'rifi

• $(A, R)$ tartiblangan to'plam va $V \subseteq A$ bo'lsin
  • $V$ ning supremumi $V$ ning eng kichik yuqori chegarasi, agar u mavjud bo'lsa: $\sup(V)$
  • $V$ ning infimumi $V$ ning eng katta quyi chegarasi, agar u mavjud bo'lsa: $\inf(V)$