Grundlagen der Relationen

Relationen

Grundbegriffe

• Eine Relation zwischen Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A \times B$.
• Eine Relation auf einer Menge A ist eine Teilmenge von $A \times A$.
• Relationen können durch Mengenschreibweise, Matrixschreibweise oder als Graph dargestellt werden.
• Mengenschreibweise: $R = {(a, b) \mid a \in A, b \in B, a \text{ steht in Beziehung zu } b}$
• Matrixschreibweise: Eine $(0,1)$-Matrix, wobei $a_{ij} = 1$, falls $(i, j) \in R$ und $a_{ij} = 0$ sonst.
• Graphisch: Gerichteter Graph, Knoten sind Elemente der Menge, Kante von $a$ zu $b$ existiert, wenn $(a, b) \in R$.

Eigenschaften von Relationen

• Reflexiv: Jedes Element steht mit sich selbst in Beziehung: $\forall a \in A: (a, a) \in R$.
• Symmetrisch: Wenn $a$ mit $b$ in Beziehung steht, steht auch $b$ mit $a$ in Beziehung: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$.
• Antisymmetrisch: Wenn $a$ mit $b$ und $b$ mit $a$ in Beziehung steht, dann ist $a = b$: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \land (b, a) \in R \Rightarrow a = b$.
• Transitiv: Wenn $a$ mit $b$ und $b$ mit $c$ in Beziehung steht, steht auch $a$ mit $c$ in Beziehung:: $\forall a, b, c \in A: (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$.
• "ist gleich" auf $\mathbb{Z}$ ist reflexiv.
• "ist verwandt mit" auf der Menge aller Menschen ist symmetrisch.
• "ist kleiner oder gleich" auf $\mathbb{R}$ ist antisymmetrisch.
• "ist Vorfahre von" auf der Menge aller Menschen ist transitiv.

Äquivalenzrelationen

• Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
• Die Äquivalenzklasse eines Elements $a \in A$ ist: $[a] = {x \in A \mid (a, x) \in R}$.
• $a \in [a]$ wegen Reflexivität.
• Wenn $(a, b) \in R$, dann $[a] = [b]$.
• Wenn $(a, b) \notin R$, dann $[a] \cap [b] = \emptyset$.
• Die Relation "hat den gleichen Rest bei Division durch $n$" auf $\mathbb{Z}$ ist eine Äquivalenzrelation.
• Die Äquivalenzklassen sind Restklassen modulo $n$.

Ordnungsrelationen

• Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
• Partielle Ordnung: Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
• Totale Ordnung: Eine partielle Ordnung, bei der alle Elemente vergleichbar sind: $\forall a, b \in A: (a, b) \in R \lor (b, a) \in R$.
• Die Teilmengenbeziehung "$\subseteq$" auf der Potenzmenge einer Menge ist eine partielle Ordnung.
• "$\leq$" auf $\mathbb{R}$ ist eine totale Ordnung.

Matrizen

Definition

• Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen in Zeilen und Spalten.
• Jedes Element in einer Matrix wird als Eintrag bezeichnet.
• $a_{ij}$ bezieht sich auf das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.
• Matrizen werden verwendet, um lineare Transformationen darzustellen und Gleichungssysteme zu lösen.
• Beispiel: $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$

Dimensionen

• Matrizen werden durch ihre Dimensionen $m \times n$ beschrieben, wobei $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten ist.
• Eine Matrix mit $m = n$ ist eine quadratische Matrix.

Grundoperationen

• Matrizen können addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben.
• Die Summe oder Differenz wird elementweise berechnet: $$ A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix} $$
• Skalarmultiplikation: Multipliziert jedes Element der Matrix mit dem Skalar: $$ cA = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} \ ca_{21} & ca_{22} \end{bmatrix} $$
• Matrixmultiplikation: Erfordert, dass die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht.
• Wenn A eine $m \times n$ Matrix und B eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist das Produkt AB eine $m \times p$ Matrix.

Spezielle Matrizen

• Eine quadratische Matrix mit 1en auf der Hauptdiagonalen und 0en anderswo. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Die Transponierte einer Matrix A, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A gebildet:
• Wenn A eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix.

Determinante

• Die Determinante ist ein Skalarwert, der aus den Elementen einer quadratischen Matrix berechnet werden kann.
• Sie liefert Informationen darüber, ob die Matrix invertierbar ist.
• Für eine $2 \times 2$ Matrix: $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$
• Die Determinante wird berechnet als: $det(A) = ad - bc$.

Inverse

• Für eine Matrix A, bezeichnet man als $A^{-1}$, wenn $AA^{-1} = I$ und $A^{-1}A = I$ gilt, wobei I die Einheitsmatrix ist.
• Nur quadratische Matrizen können invertiert werden, aber nicht alle quadratischen Matrizen sind invertierbar.
• Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante nicht Null ist.
• Für eine $2 \times 2$ Matrix ist die Inverse: $$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} $$

Klinische Richtlinien

Diabetes Mellitus

• Diagnose von Diabetes: eines oder mehrere der folgenden Kriterien müssen erfüllt sein
• A1c $\geq 6.5%$: Laborgetestet, NGSP zertifiziert.
• Nüchternplasmaglukose (FPG) $\geq 126 \text{mg/dL}$ (7.0 mmol/L): Nach 8 Stunden ohne Kalorienzufuhr.
• 2-Stunden-Plasmaglukose $\geq 200 \text{mg/dL}$ (11.1 mmol/L) während eines Oralen Glukosetoleranztests (OGTT): Verwendet 75g wasserfreie Glukose in Wasser, gemäß WHO.
• Random Plasmaglukose $\geq 200 \text{mg/dL}$ (11.1 mmol/L) bei klassischen Symptomen von Hyperglykämie oder hyperglykämischer Krise.
• Im Falle von unbestrittener Hyperglykämie, Ergebnis durch wiederholte Tests bestätigen.
• A1c sollte mit einer NGSP-zertifizierten Methode gemessen werden.

Zusammenfassung Deskriptive Statistik

Einführung und grundlegende Konzepte

• Statistik ist die Wissenschaft der Datenerfassung, -organisation, -analyse und -interpretation zur Entscheidungsfindung.
• Es gibt deskriptive und inferentielle Statistik.
• Deskriptive Statistik beschreibt die Eigenschaften der Daten.
• Inferenzielle Statistik verwendet Stichprobendaten, um Rückschlüsse auf eine Population zu ziehen.
• Population: Gesamtheit der Individuen/Objekte von Interesse.
• Stichprobe: Teilmenge der Population, die für das Studium ausgewählt wurde.
• Variable: Gemessene/beobachtete Eigenschaft pro Individuum/Objekt in der Stichprobe.
• Qualitativ: Attribut oder Qualität (Augenfarbe).
• Quantitativ: Numerisch (Höhe).
• Diskret: Nimmt ganzzahlige Werte an (Anzahl der Kinder).
• Kontinuierlich: Nimmt jeden Wert innerhalb eines Bereichs an (Temperatur).
• Datum: Beobachteter Wert einer Variablen.

Deskriptive Statistik

• Lagemaße (Maße der zentralen Tendenz)
• Mittelwert: Durchschnitt der Daten.
• $\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N}$ (Population).
• $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$ (Stichprobe).
• Median: Wert, der die Daten in zwei Hälften teilt.
• Modus: Häufigster Wert.
• Streuungsmaße
• Spannweite: Differenz zwischen höchstem und niedrigstem Wert.
• Varianz: Misst die Streuung der Daten in Bezug auf den Mittelwert.
• $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}$ (Population).
• $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{N-1}$ (Stichprobe).
• Standardabweichung: Quadratwurzel der Varianz.
• $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ (Population).
• $S = \sqrt{S^2}$ (Stichprobe).
• Variationskoeffizient: Misst die relative Streuung der Daten.
• $CV = \frac{\sigma}{\mu}$ (Population).
• $CV = \frac{S}{\bar{X}}$ (Stichprobe).
• Positionsmaße
• Quartile: Teilen die Daten in vier gleiche Teile.
• $Q_1$: Erstes Quartil (25% der Daten).
• $Q_2$: Zweites Quartile (50% der Daten) – Median.
• $Q_3$: Drittes Quartil (75% der Daten).
• Perzentile: Teilen die Daten in hundert gleiche Teile.
• $P_k$: k-tes Perzentil (k% der Daten).
• Grafische Darstellungen
• Histogramm: Balkendiagramm, das die Häufigkeitsverteilung einer kontinuierlichen Variablen zeigt.
• Balkendiagramm: Anzeige der Häufigkeit jeder Kategorie einer qualitativen Variablen.
• Kreisdiagramm: Tortendiagramm, das den Anteil jeder Kategorie einer qualitativen Variablen zeigt.
• Boxplot (Box-Whisker-Plot): Zeigt Median, Quartile und Ausreißer einer quantitativen Variablen.
• Streudiagramm: Zeigt die Beziehung zwischen zwei quantitativen Variablen.

Häufigkeitstabellen

• Absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und kumulative Häufigkeit.
• Beispiel für eine Häufigkeitstabelle

Formmaße

Schiefe (Asymmetrie)

• Misst die fehlende Symmetrie einer Verteilung.
• Positive Schiefe: Der Schwanz der Verteilung erstreckt sich nach rechts.
• Negative Schiefe: Der Schwanz der Verteilung erstreckt sich nach links.

Kurtosis (Wölbung)

• Misst den Grad der Steilheit einer Verteilung.
• Leptokurtisch: Spitze Verteilung als Normalverteilung.
• Platischurtisch: weniger spitz als Normalverteilung.
• Mesochurtisch: Verteilung mit gleicher Kurtosis als die Normalverteilung.

Korrelation und Regression

• Korrelation: Misst die Stärke und Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei quantitativen Variablen. Pearson-Korrelationszoeffizient: variiert zwischen -1 und 1. r = 1 vollkommene, positive Korrelation, r = -1 vollkommene, negative Korrelation, r = 0 keine lineare Korrelation. Formel:
• $r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{(n-1)S_xS_y}$
• Lineare Regression: Beschreibt die lineare Beziehung zwischen einer abhängigen Y und einer unabhängigen X-Variable.

Regressionsgerade

• Gleichung der Regressionsgeraden:
• $Y = a + bX$
• $b$: Steigung; $a$: Y Achsenabschnitt.

Algorithmischer Handel und Orderausführung

Was ist algorithmischer Handel?

• Nutzung von Computerprogrammen zur automatischen Ausführung von Handelsaufträgen.
• Orders werden basierend auf einer vordefinierten Menge von Anweisungen ausgeführt.
• Auch bekannt als automatisierter Handel oder Black-Box-Handel.

Gründe für algorithmischen Handel

• Reduzierung von Transaktionskosten.
• Verbesserung des Ausführungspreises.
• Automatisierung & Optimierung

Hochfrequenzhandel (HFT)

• Eine spezifische Art von algorithmischem Handel.
• Extrem hohe Geschwindigkeit.
• Hohe Umschlagraten.
• Häufig verwendet für:
• Market Making.
• Arbitrage.

Orderarten

• Market Order (Billigst Order): Kaufe oder verkaufe zum besten verfügbaren Preis.
• Limit Order (Bestens Order): Kaufe oder verkaufe zu einem bestimmten Preis oder besser.
• Stop Order: Kaufe oder verkaufe, wenn der Preis ein bestimmtes Niveau erreicht.
• Stop-Limit Order: Kombination aus Stop-Order und Limit-Order.

Market Order

• Einfachste Orderart.
• Wird sofort zum besten verfügbaren Preis ausgeführt.
• Vorteil: Hohe Ausführungswahrscheinlichkeit.
• Nachteil: Preisunsicherheit.

Limit Order

• Order zum Kauf oder Verkauf zu einem bestimmten Preis oder besser.
• Kauf-Limit-Order: Wird nur zum Limitpreis oder niedriger ausgeführt.
• Verkaufs-Limit-Order: Wird nur zum Limitpreis oder höher ausgeführt.
• Vorteil: Preisgewissheit.
• Nachteil: Ausführungsunsicherheit.

Stop Order

• Order zum Kauf oder Verkauf, sobald der Preis ein spezifisches Niveau erreicht (Stop-Preis).
• Sobald der Stop-Preis erreicht ist, wird sie zur Market Order.
• Stop-Loss Order: Stop-Order zur Verlustbegrenzung bei einer bestehenden Position.

Stop-Limit Order

• Kombination einer Stop-Order und einer Limit-Order.
• Sobald der Stop-Preis erreicht ist, wird eine Limit-Order zum Limit-Preis platziert.

Orderausführungsalgorithmen

• Volumen-gewichteter Durchschnittspreis (VWAP)
• Zeit-gewichteter Durchschnittspreis (TWAP)
• Prozentualer Anteil des Volumens (POV)
• Implementierungsdefizit (IS)

Volumen-gewichteter Durchschnittspreis (VWAP)

Algorithm, die darauf abzielen, eine Order zum VWAP auszuführen. VWAP ist der durchschnittliche Preis einer Aktie, gewichtet nach dem Volumen. $$ \text{VWAP} = {\sum_{i=1}^{n} P_i * V_i \over \sum_{i=1}^{n} V_i} $$

• $P_i$ = Preis des $i$ten Handels
• $V_i$ = Volumen des $i$ten Handels

Zeit-gewichteter Durchschnittspreis (TWAP)

• Algorithmus, der darauf abzielt, eine Order zum TWAP auszuführen.
• TWAP ist der Durchschnittspreis einer Aktie über einen spezifizierten Zeitraum. $$ \text{TWAP} = {\sum_{i=1}^{n} P_i \over n} $$
• $P_i$ = Preis zum Zeitpunkt $i$
• $n$ = Anzahl der beobachteten Preise
• Vorteil: einfach umzusetzen
• Nachteil: Berücksichtigt nicht das Volumen

Prozentualer Anteil des Volumens (POV)

• Algorithmus, participated mit einem festgelegten Prozentsatz des Marktvolumens.
• Die Beteiligungsrate wird in der Regel auf einem niedrigen Niveau gehalten, um die Auswirkungen auf den Markt zu minimieren.
• Auch als Teilnahmealgorithmen bekannt
• Vorteil: einfaches Kontrollieren und Implementieren
• Nachteil: Nicht geeignet für große Orders in illiquiden Märkten

Implementierungsdefizit (IS)

Algorithmus, der darauf abzielt, die Differenz zwischen dem tatsächlichen Ausführungspreis und dem Entscheidungspreis zu minimieren.

• Entscheidungspreis: Der Preis, zu dem die Order initiiert wurde
• Berücksichtigt sowohl Transaktionskosten als auch Opportunitätskosten
• Vorteil: Geeignet für große Orders
• Nachteil: komplex umzusetzen

Dark Pools

• Private Börsen oder Foren für den Handel mit Wertpapieren.
• Institutionelle Investoren können große Anteile handeln, ohne ihre Absichten auf dem Markt zu offenbaren.
• Vorteil: Reduzierte Marktauswirkungen und geringere Transaktionskosten.
• Nachteil: Mangelnde Transparenz und Potenzial für nachteilige Selektion

Regulierung

• Der algorithmische Handel unterliegt der Aufsicht durch die Aufsichtsbehörden.
• Beispiele:
• SEC-Regel 15c3-5: Verlangen für Broker, Risk-Managment-Kontrollen eingerichtet zu haben.
• MiFID II: Benötigt Firme, Systeme und Kontrollen zur Prävention von ordnungswidrigen Handelsbedingungen einzurichten.

Zusammenfassung

• Algorithmischer Handel verwendet Computerprogramme zur automatischen Orderausführung.
• Verschiedene Orderarten & Ausführungsalgorithmen sind verfügbar.
• High-Frequency-Trading ist eine besondere Art des algorithmischen Handels, die sich durch hohe Geschwindigkeiten und Umschlagsraten auszeichnet.
• Dark Pools bieten institutionellen Investoren einen Rahmen für das private Handeln großer Anteile.
• Der algorithmische Handel unterliegt der Aufsicht durch die Aufsichtsbehörden, um die Marktintegrität sicherzustellen.

Inferenzregeln

Modus Ponens (MP)

• Form:

  P -> Q
  P
  -------
  Q
  

• Beispiel:

  Wenn es regnet, dann gibt es Wolken am Himmel.
  Es regnet.
  Daher gibt es Wolken am Himmel.
  

Modus Tollens (MT)

• Form:

  P -> Q
  ¬Q
  -------
  ¬P
  

• Beispiel:

  Wenn es regnet, dann gibt es Wolken am Himmel.
  Es gibt keine Wolken am Himmel.
  Daher regnet es nicht.
  

Hypothetischer Syllogismus (HS)

• Form:

  P -> Q
  Q -> R
  -------
  P -> R
  

• Beispiel:

  Wenn ich lerne, dann bestehe ich die Prüfung.
  Wenn ich die Prüfung bestehe, dann bekomme ich eine gute Arbeit.
  Daher werde ich, wenn ich lerne, eine gute Arbeit bekommen.
  

Disjunktiver Syllogismus (DS)

• Form:

  P v Q
  ¬P
  -------
  Q
  

  Oder auch:

  P v Q
  ¬Q
  -------
  P
  

• Beispiel:

  Entweder ist es sonnig oder es ist bewölkt.
  Es ist nicht sonnig.
  Deshalb ist es bewölkt.
  

Konstruktives Dilemma (CD)

• Form:

  (P -> Q) ^ (R -> S)
  P v R
  -------
  Q v S
  

• Beispiel:

  Wenn ich lerne, dann werde ich die Prüfung bestehen, und wenn ich schummele, dann werde ich die Prüfung bestehen.
  Ich lerne oder ich schummele.
  Deshalb werde ich entweder die Prüfung bestehen oder die Prüfung bestehen.
  

Doppelte Negation (DN)

• Form:

  ¬¬P
  -------
  P
  

• Beispiel:

  Es stimmt nicht, dass ich nicht glücklich bin.
  Daher bin ich glücklich.
  

Adjunktion (A)

• Form:

  P
  Q
  -------
  P ^ Q
  

• Beispiel:

  Es regnet.
  Es ist kalt.
  Daher regnet es und es ist kalt.
  

Simplifikation (S)

• Form:

  P ^ Q
  -------
  P
  

Oder auch:

```
P ^ Q
-------
Q
```

• Beispiel:

  Es regnet und es ist kalt.
  Daher regnet es.
  

Addition (AD)

• Form:

  P
  -------
  P v Q
  

• Beispiel:

  Es regnet.
  Daher regnet es oder es schneit.
  

De Morgan's Laws

• Form:

  ¬(P ^ Q)  (¬P v ¬Q)
  ¬(P v Q)  (¬P ^ ¬Q)
  

• Beispiel:

  Es ist nicht wahr, dass es regnet und kalt ist.
   Entweder regnet es nicht, oder es ist nicht kalt.
  

Kommutation

• Form:

  (P ^ Q)  (Q ^ P)
  (P v Q)  (Q v P)
  

• Beispiel:

  Es regnet und es ist kalt.
   Es ist kalt und es regnet.
  

Assoziation

• Form:

  (P ^ (Q ^ R))  ((P ^ Q) ^ R)
  (P v (Q v R))  ((P v Q) v R)
  

• Beispiel:

  Es regnet und (es ist kalt und es weht Wind).
   (Es regnet und es ist kalt) und es weht Wind.
  

Distribution

• Form:

  (P ^ (Q v R))  ((P ^ Q) v (P ^ R))
  (P v (Q ^ R))  ((P v Q) ^ (P v R))
  

• Beispiel:

  Es regnet und (oder es ist kalt, oder es weht Wind).
   (Es regnet und es ist kalt) oder (es regnet und es weht Wind).
  

Identität

• Form:

  P ^ T  P
  P v F  P
  

• Beispiel:

  Es regnet und es ist wahr.
   Es regnet.
  

Dominierung

• Form:

  P v T  T
  P ^ F  F
  

• Beispiel:

  Es regnet oder es ist wahr.
   Es ist wahr.
  

Idempotenz

• Form:

  P v P  P
  P ^ P  P
  

• Beispiel:

  Es regnet oder es regnet.
   Es regnet.
  

Komplement

• Form:

  P v ¬P  T
  P ^ ¬P  F
  

• Beispiel:

  Es regnet oder es regnet nicht.
   Es ist so.