Multiplicación y sus propiedades

Unidad 5: Multiplicación y División Entera

• La multiplicación es una operación aritmética para calcular el producto de sumar un número repetidamente.

Propiedades de la Multiplicación

• Se aplican a números enteros, naturales, reales, fracciones y complejos.
• Propiedad del elemento cero: cualquier número multiplicado por cero resulta en cero (Ej: 1470 x 0 = 0).
• Propiedad del elemento neutro: cualquier número multiplicado por uno (1) resulta en el mismo número (Ej: 1470 x 1 = 1470).
• Propiedad de cerradura: el producto de dos números naturales siempre será un número natural (Ej: 500 x 2 = 1000).
• Propiedad conmutativa: el orden de los factores no afecta el producto (Ej: 500 x 2 = 1000; 2 x 500 = 1000).
• Propiedad asociativa: la forma de agrupar los factores no altera el producto (Ej: 500 x 2 x 3 = 3000; 500 x (2 x 3) = 3000).
• Propiedad distributiva: multiplicar un número por una suma es igual a sumar las multiplicaciones de ese número por cada sumando (Ej: 500 x (2 + 3) = 2500; (500 x 2) + (500 x 3) = 2500).

Técnicas de Cálculo para la Multiplicación

• Existen métodos eficientes para multiplicar números pequeños y grandes.

Técnicas Orales para la Multiplicación

• Estas técnicas facilitan cálculos rápidos sin necesidad de escritura.

Multiplicación por 10, 100, 1000 (y múltiplos)

• Se añaden ceros al número que se está multiplicando (Ej: 23 × 10 = 230; 34 × 100 = 3400; 5 × 1000 = 5000).

Descomposición de los Números (Método Distributivo)

• Se descomponen los números en partes más sencillas de multiplicar, luego se suman los resultados, aplicando la propiedad distributiva (Ej: 37 × 6 = (30 × 6) + (7 × 6) = 180 + 42 = 222).

Multiplicación por 9 usando la Regla de los Dedos

• Se extienden ambas manos, numerando los dedos del 1 al 10.
• Se dobla el dedo correspondiente al número a multiplicar por 9.
• Los dedos a la izquierda del dedo doblado representan las decenas, y los de la derecha, las unidades (Ej: 9 × 4 = 36).

Multiplicación por 5 (Técnica de Mitad y Multiplicación por 10)

• Se divide el número por 2, luego se multiplica el resultado por 10 (Ej: 28 × 5. 28 ÷ 2 = 14. 14 × 10 = 140).

Multiplicación por 11 (Regla Rápida)

• Se suma el número consigo mismo desplazado una posición a la derecha, agregando un 0 al final si es necesario (Ej: 34 × 11. 3+4=7. Resultado: 374).

Multiplicación por 12 (Método de Multiplicar por 10 y 2)

• Se multiplica por 10 y por 2, luego se suman ambos resultados (Ej: 56 × 12. 56 × 10 = 560. 56 × 2 = 112. 560 + 112 = 672).

Uso de la Propiedad Conmutativa

• Se reorganizan los números para simplificar el cálculo mentalmente (Ej: 24 × 5 = 5 × 24 = (5 × 20) + (5 × 4) = 100 + 20 = 120).

Multiplicación de Números Cercanos a 10, 100, etc. (Aproximación)

• Se aproxima a un múltiplo de 10, 100 o 1000, se multiplica y luego se ajusta la diferencia (Ej: 98 × 6. 100 × 6 = 600. 600 - (2 × 6) = 588).

Multiplicación por 4 (Duplicar y Duplicar Nuevamente)

• Se multiplica dos veces consecutivas por 2 (Ej: 12 × 4. 12 × 2 = 24. 24 × 2 = 48).

Uso de los Cuadrados Perfectos

• Si el número a multiplicar es cercano a un cuadrado perfecto, se utiliza la identidad de diferencia de cuadrados (Ej: 49 × 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50² - 1² = 2500 - 1 = 2499).

Técnicas Escritas para la Multiplicación

• Métodos estructurados para resolver multiplicaciones de manera organizada.

Multiplicación por el Método Tradicional (Algoritmo Estándar)

• Se alinean los números a la derecha, se multiplican los dígitos del número inferior por los del superior, y se suman los productos parciales desplazando cada fila hacia la izquierda.

Multiplicación por Descomposición (Propiedad Distributiva)

• Se descompone uno de los factores en sumandos más simples y se multiplica por partes (Ej: 347 × 25 = (347 × 20) + (347 × 5) = 6940 + 1735 = 8675).

Multiplicación en Forma de Rejilla o Tabla (Método de la Cuadrícula)

• Se descomponen los números en centenas, decenas y unidades, se multiplican en una tabla, y luego se suman los productos parciales.

Multiplicación Rusa o por Duplicación y División

• Se divide un número por 2 sucesivamente hasta llegar a 1, mientras que el otro se multiplica por 2. Se suman los valores correspondientes a los números impares en la columna de división.

Multiplicación con Líneas (Método Japonés o Chino)

• Se representan los números con líneas, se cuentan las intersecciones y se agrupan en centenas, decenas y unidades.

Multiplicación Egipcia (Método de Duplicación)

• Se descompone un número en potencias de 2 y se suman los productos correspondientes.

División

• Operación matemática para separar una cantidad en partes iguales.

Partes de la División

• Dividendo: Cantidad que se va a dividir.
• Divisor: Número por el cual se divide.
• Cociente: Resultado de la división.
• Resto: Cantidad que sobra después de la división.

Tipos de División

• Divisiones exactas: El resto es igual a cero.
• Divisiones inexactas o enteras: El resto es diferente de cero.

Propiedades de la División

• Propiedad fundamental: Si el cociente es exacto, el dividendo se calcula multiplicando el divisor por el cociente. Si no es exacta, el dividendo es igual a la multiplicación del divisor por el cociente más el resto.
• Operación no interna: Al dividir dos números naturales, el resultado no siempre es otro número natural (Ej: 10/4 = 2.5).
• Propiedad no conmutativa: El orden de los factores altera el resultado.
• Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro, cualquier número dividido por 1 da sí mismo.
• El cero: Cero dividido entre cualquier número da cero. No se puede dividir ningún número entre cero.

Técnicas de Cálculo para la División

• Existen varias técnicas para hacer los cálculos de manera más rápida o con mayor facilidad.

Método de la División por Multiplicación Inversa

• Se simplifica la división multiplicando por el inverso del divisor, útil con fracciones o decimales (Ej: 5 ÷ 2 = 5 × ½ = 2.5).

División de Decimales (Método de la Conversión a Enteros)

• Se convierten el divisor y el dividendo en números enteros multiplicando por 10 o una potencia de 10 (Ej: 2.4 ÷ 0.6 = 24 ÷ 6 = 4).

División de Números con Ceros (Método de "Desplazamiento")

• Si el divisor es una potencia de 10 se mueve la coma decimal (Ej: 3500 ÷ 100 = 35).

División Rusa o Egipcia (División por Duplicación y Suma)

• Se basa en la multiplicación rusa o egipcia, pero aplicada a la división, mediante duplicación y división sucesiva.

División por Factores Comunes (División de Fracciones)

• Se simplifica la división si el dividendo y el divisor tienen factores comunes (Ej: 6/8 ÷ ¾ = ¾ ÷ ¾ = 1).

Método de la División por el Algoritmo de Euclides

• Se utiliza para encontrar el máximo común divisor (MCD) de dos números.

Técnicas Orales para la División

• Las técnicas orales para la división son muy útiles para realizar cálculos mentales rápidos.

División por 10, 100, 1000 (y sus Múltiplos)

• Se mueve la coma decimal hacia la izquierda (Ej: 250 ÷ 10 = 25; 4800 ÷ 100 = 48; 53000 ÷ 1000 = 53).

División por 5 (Método de Multiplicación por 2 y División por 10)

• Se divide el número entre 2 y luego se multiplica el resultado por 10 (Ej: 60 ÷ 5. 60 ÷ 2 = 30. 30 × 10 = 60 ÷ 5 = 12).

División por 9 (Método de la Suma de Dígitos)

• Se utiliza si el número es divisible por 9 (Ej: 72 ÷ 9. 7 + 2 = 9. 72 ÷ 9 = 8).

División por 2 (División por Mitades)

• Se divide el número a la mitad (Ej: 56 ÷ 2 = 28).

División por 4 (Dividir Dos Veces por 2)

• Se divide el número dos veces entre 2 (Ej: 48 ÷ 4. 48 ÷ 2 = 24. 24 ÷ 2 = 12).

División de Múltiplos de 10, 100, etc. (Redondeo y Ajuste)

• Se aproxima el divisor a una potencia de 10 y luego se ajusta el resultado (Ej: 96 ÷ 30. 96 ÷ 10 = 9.6. 9.6 ÷ 3 = 3.2).

División por 3 (Método de la Suma de Dígitos y División de Estimación)

• Se suman los dígitos del número y se usa la regla de la suma de dígitos o se estima la división (Ej: 81 ÷ 3. 8 + 1 = 9. 81 ÷ 3 = 27).

División con Aproximación (División Rápida por Números Cercanos a 10)

• Se aproxima el divisor a 10 (Ej: 82 ÷ 9. 82 ÷ 10 = 8.2. 8.2 ÷ 9 ≈ 9).

División por 6 (División por 2 y 3)

• Se divide primero por 2 y luego por 3 (Ej: 72 ÷ 6. 72 ÷ 2 = 36. 36 ÷ 3 = 12).

División por 12 (Multiplicación por 10 y 2, Luego Ajuste)

• Se divide por 10 y 2, y luego se ajusta (Ej: 144 ÷ 12. 144 ÷ 10 = 14.4. 14.4 ÷ 2 = 7.2).

División de Números Grandes (Método de Estimación y Ajuste)

• Se aproxima a un número cercano y luego se ajusta (Ej: 1850 ÷ 47. 1850 ÷ 50 = 37 . 37 ÷ 47 ≈ 39).

Técnicas de Cálculo Escritas para la División

• Se siguen una serie de pasos:

División por Restas Sucesivas

• Se resta el divisor repetidamente del dividendo hasta llegar a cero (Ej: 20 ÷ 4 = 5).

División Larga (Método Tradicional)

• Se divide paso a paso escribiendo el dividendo y el divisor, tomando los primeros dígitos del dividendo que se puedan dividir, escribiendo el cociente, multiplicando y restando, luego bajando el siguiente dígito.

División por Descomposición (Método Distributivo)

• Se descompone el dividendo en partes manejables (Ej: 648 ÷ 6 = 600 ÷ 6 + 48 ÷ 6).

División con Aproximaciones (Método de Estimación)

• Se redondean los números para estimar la división (Ej: 735 ÷ 8 ≈ 8 × 90 = 720).

División Egipcia (Duplicación y Resta)

• Basado en la suma de múltiplos del divisor hasta alcanzar el dividendo (Ej: 155 ÷ 7 = 7 x 10 + 7 x 20).

División con Rejilla o Tabla

• Similar a la multiplicación con cuadrícula.

Técnica Auxiliar de Estimación en la División

• Permite obtener un resultado aproximado, lo cual es útil para comprobar respuestas y facilitar cálculos mentales.

Pasos para Estimar una División

• Redondear los números: Dividendo y divisor a valores cercanos y fáciles de manejar.
• Realizar la división con los números redondeados: Mentalmente.
• Ajustar la estimación: Se corrige el resultado.

Uso de la Calculadora para la Multiplicación y División

• El uso de la calculadora en operaciones de multiplicación y división facilita cálculos rápidos y precisos.

Uso de la Calculadora en la Multiplicación

• Multiplicación Básica: Se ingresa el primer número, se presiona la tecla de multiplicación, se ingresa el segundo número y se obtiene el resultado.
• Multiplicación de Varias Cantidades: Las calculadoras permiten multiplicar más de dos números seguidos.

Uso de la Calculadora en la División

• División Básica: Se ingresa el dividendo, se presiona la tecla de división, se ingresa el divisor y se obtiene el resultado.
• División de Números Grandes: Las calculadoras pueden manejar divisiones con números grandes fácilmente.

Consejos para Usar la Calculadora Correctamente

• Verificar los números antes de presionar “=”.
• Usar paréntesis para operaciones combinadas.
• Comprobar si el resultado es razonable.
• Aprender a usar la memoria de la calculadora.

Problemas Aritméticos de Varias Etapas

• Requieren realizar más de una operación matemática.

Características

• Tienen más de dos datos.
• Las relaciones entre los datos y la incógnita son más complejas.
• Requieren tomar más decisiones.

Pasos para resolver problemas aritméticos

• Leer el problema e identificar qué se está preguntando.
• Identificar los datos.
• Pensar una estrategia de resolución.
• Comprobar la solución.

Estimación del Cálculo Aritmético

• Es una técnica para obtener un resultado aproximado sin necesidad de calcular exactamente.

Métodos de Estimación

• Redondeo: Se redondean los números a valores más fáciles de calcular para obtener una estimación (Ej: 47 × 19 ≈ 50 × 20 = 1,000).
• Uso de Números Compatibles: Se eligen números cercanos que sean más fáciles de calcular mentalmente (Ej: 198 ÷ 4 ≈ 200 ÷ 4 = 50).
• Truncamiento: Se eliminan los dígitos menos significativos para simplificar el cálculo (Ej: 2,678 ÷ 9 ≈ 2,600 ÷ 10 = 260).
• Redondeo por Rangos: Se busca un rango dentro del cual está la respuesta real (Ej: 789 ÷ 8. 800 ÷ 8 = 100 y 720 ÷ 8 = 90. Estimación: Aproximadamente 98.6).
• Uso de la Media Aritmética: Se aproxima un valor medio de los números (Ej: 256 + 473 + 98 ≈ 250 + 470 + 100 = 820).

Divisibilidad en el Conjunto de Números Naturales

• Un número a es divisible por b si al dividir a entre b el residuo es 0.

Reglas de Divisibilidad

• Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (Ej: 18 es divisible por 2).
• Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3 (Ej: 123 es divisible por 3 porque 1 + 2 + 3 = 6, y 6 es divisible por 3).
• Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si los últimos dos dígitos forman un número divisible por 4 (Ej: 312 es divisible por 4 porque 12 ÷ 4 = 3).
• Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5 (Ej: 75 es divisible por 5).
• Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 (Ej: 36 es divisible por 6).
• Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9 (Ej: 234 es divisible por 9 porque 2 + 3 + 4 = 9).
• Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina en 0 (Ej: 150 es divisible por 10).
• Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus cifras en posiciones impares y pares es divisible por 11 (Ej: 2728 es divisible por 11).

Dificultades en el Aprendizaje de la Multiplicación y División

Dificultades Comunes en la Multiplicación

• Memorizar las tablas de multiplicar.
• Confusión con el concepto de multiplicación.
• Comprensión de la propiedad conmutativa.

Dificultades Comunes en la División

• Comprender el concepto de división.
• La interpretación de los restos.
• División larga (división por más de un dígito).

Estrategias Generales para Superar Dificultades en Multiplicación y División

• Uso de Material Concreto: Usar objetos físicos o fichas.
• Relación con Situaciones Cotidianas.
• Fomentar la Comprensión Profunda.
• Uso de Tecnología.
• Paciencia y Práctica.