مقدمة في مبادئ العد

مبادئ العد

• العد هو إحدى المهارات الرياضية الرئيسية التي يتعلمها الإنسان ويستخدمها يوميًا في مختلف جوانب حياته.

مدخل

• يمكن تكوين عدد من رقمين مختلفين باستخدام الأرقام ١، ٢، ٣، ٤ بعدد 12 طريقة، باستخدام المخطط الشجري كطريقة أولى.
• يمكن أيضًا حل نفس المثال باستخدام مبدأ العد كطريقة ثانية.
• عدد طرق اختيار رقم في خانة الآحاد هو ٤.
• عدد طرق اختيار رقم في خانة العشرات هو ٣.
• عدد الطرق الكلي هو حاصل ضرب الخيارات المتاحة لكل خانة، أي ١٢ = ٣ × ٤.
• كل طريقة لاختيار رقم في خانة الآحاد يمكن أن تقترن بثلاث طرق مختلفة من خانة العشرات.

نص مبدأ العد

• إذا أمكن إجراء عملية في خطوتين، بحيث يمكن إجراء الخطوة الأولى بـ ن طريقة والخطوة الثانية بـ ن طريقة، فإن العملية كلها يمكن إجراؤها بـ ن × ن طريقة.
• بشكل عام، إذا كانت العملية تتكون من عدة خطوات (ك)، بحيث يمكن إجراء الخطوة الأولى بـ ن طريقة، والثانية بـ ن طريقة، وهكذا حتى الخطوة الأخيرة بـ ذن طريقة، فإن العدد الكلي لطرق إجراء العملية هو حاصل ضرب عدد الطرق لكل خطوة: نر × ۲ × نم × ... × نك.

أمثلة على مبدأ العد

• يمكن اختيار لجنة من رئيس وسكرتير من بين ١٠ أشخاص بـ ٩٠ طريقة، بشرط ألا يشغل أحد الأشخاص المنصبين معًا.
• يمكن لـ ٣ رجال الجلوس على ٨ كراسي في صف واحد بـ ٣٣٦ طريقة.
• إذا كان لدى حديقة ٩ أبواب فإنه يمكن لشخص ما الدخول من باب والخروج من آخر بـ ٧٢ طريقة.
• بينما الدخول والخروج من أي باب ممكن بـ ٨١ طريقة.
• إذا احتوت مدرسة على ٣ أبواب فإنه يمكن لـ ٤ طلاب دخول المدرسة بطرق مختلفة بـ ٨١ طريقة، حيث يستطيع كل طالب الدخول من أي من الأبواب الثلاثة.

مثال ( ٥ ) :

• يمكن تكوين كلمات من ٤ حروف من حروف كلمة (سوداني) بعدد ١٢٩٦ طريقة إذا سمح بالتكرار و 360 طريقة إذا لم يسمح بالتكرار.

مثال ( ٦ ) :

• يمكن تكوين عدد مكون من ٣ أرقام من الأرقام ١، ٢، ٣، ٤، ٥ بعدد ١٢٥ طريقة.

مثال ( ۷ ) :

• يمكن تكوين أرقام مختلفة من المجموعة {١، ٢، ٣، ٥، ٧، ٨، ٩} بعدد طرق مختلفة حسب الشروط :
  • ٢١٠ طريقة لتكوين رقم فردي.
  • ١٥٠ طريقة لتكوين مضاعف للرقم خمسة.
  • ٩٠ طريقة لتكوين رقم أصغر من ٥٠٠.
  • ٦٠ طريقة لتكوين رقم أكبر من ٨٠٠.
  • ٩٠ طريقة لتكوين رقم محصور بين ٢٠٠ و٧٠٠.

مثال ( ٨ ) :

• يمكن تكوين ٣٦ عدداً فردياً من ٣ أرقام يمكن تكوينها من الأرقام ٢،١ ، ٣ ، ٥ ، ٦ ، بحيث يكون أكبر من ٦٠٠.

مثال ( ٩ ) :

• يمكن تكوين 37 عدداً مكوناً من ٣ أرقام يمكن تكوينه من بين الأرقام (۱ ، ۲ ، ۳ ، ٤) بحيث يشتمل على العدد ٣ مع السماح بالتكرار وتشتمل على ٣ .

مثال ( ١٠ ) :

• الأعداد المكونة من ٤ أرقام والمختلفة التي يمكن تكوينها من الأرقام ٠ ، ١، ٢، ٣ ، ٥ ، ٦ تختلف باختلاف الشرط :
  • الأعداد التي تقبل القسمة على ١٠ عددها ٣٠٠.
  • الأعداد الفردية عددها ٦٠.
  • الأعداد المضاعفة للعدد ٥ عددها ١٤٤.

مثال (۱۱) :

• يمكن تكوين أعداد أكبر من ٥٠٠ من مجموعة الأرقام ٣ ، ٤ ، ٥ ، ٦ ، ٧ بحيث لا يسمح بالتكرار بعدد ٢٧٦.

مضروب العدد الطبيعي

• مضروب العدد ن هو عدد طرق ترتيب ن من الأشياء في ن من الخانات ونعبر عنه رمزياً بالرمز ن أو ن ! .

  • حيث ن! = ن × ( ن – ۱ ) × ( ن – ۲ )....× ۱

• يمكن التعبير عن أي مضروب بدلالة مضروب آخر أصغر منه .