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Questions and Answers
¿Cuál es la forma de la ecuación que define el conjunto de puntos en el que se optimiza la función f(x, y)?
¿Cuál es la forma de la ecuación que define el conjunto de puntos en el que se optimiza la función f(x, y)?
- $x^2 + y^2 = 3$
- $x^2 - 2y^2 = 3$
- $2x^2 + y^2 = 3$
- $x^2 + 2y^2 = 3$ (correct)
¿Qué variable se está optimizando en la función f(x, y) = x?
¿Qué variable se está optimizando en la función f(x, y) = x?
- f(x, y)
- x^2
- y
- x (correct)
Dentro del conjunto de puntos definido, ¿cuál es un posible valor máximo de x?
Dentro del conjunto de puntos definido, ¿cuál es un posible valor máximo de x?
- $1$
- $ rac{5}{2}$
- $ rac{3}{ rac{ u}{2}}$
- $ rac{3}{2}$ (correct)
¿Qué tipo de figura geométrica describe el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2 + 2y^2 = 3$?
¿Qué tipo de figura geométrica describe el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2 + 2y^2 = 3$?
Si se sustituye $x = 0$ en la ecuación $x^2 + 2y^2 = 3$, ¿cuál es el valor máximo de y?
Si se sustituye $x = 0$ en la ecuación $x^2 + 2y^2 = 3$, ¿cuál es el valor máximo de y?
Flashcards
Optimizar una función
Optimizar una función
Encontrar el valor máximo o mínimo de una función dentro de un conjunto específico de puntos.
Conjunto de puntos
Conjunto de puntos
Un conjunto de puntos que cumplen una condición específica. En este caso, la condición es x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3.
Función f(x, y) = x
Función f(x, y) = x
Una función que toma dos variables, x e y, y devuelve el valor de x. En este caso, la función solo depende de la variable x.
x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3
x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3
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Optimizar f(x, y) = x en x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3
Optimizar f(x, y) = x en x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3
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Study Notes
- The objective function is f(x, y) = x.
- The constraint is x² + 2y² = 3.
- The problem involves maximizing/minimizing f(x, y) subject to the constraint.
Method of Lagrange Multipliers
- This method helps find the extreme values of a function subject to constraints.
- A Lagrange multiplier (λ) is introduced.
- The Lagrangian function is defined as L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c), where g(x, y) is the constraint function (x² + 2y² = 3) and c is the constraint value (3 in this case).
- In this case, L(x, y, λ) = x - λ(x² + 2y² - 3)
- The partial derivatives of the Lagrangian with respect to x, y, and λ are set to zero:
- ∂L/∂x = 1 - 2λx = 0
- ∂L/∂y = -4λy = 0
- ∂L/∂λ = x² + 2y² - 3 = 0
Solving the System of Equations
-
From ∂L/∂y = -4λy = 0, it follows that either y = 0 or λ = 0.
-
Case 1: y = 0
- Substituting y = 0 into the constraint equation, x² + 2(0)² = 3 implies x² = 3, so x = ±√3
- If x = √3, f(x, y) = √3
- If x = -√3, f(x, y) = -√3
-
Case 2: λ = 0
- If λ = 0, from ∂L/∂x = 1 - 2λx = 0 , 1 = 0 which is impossible.
- Thus, λ cannot be zero.
Conclusion
- The maximum value of f(x, y) = x occurs at x = √3, y = 0, with f(√3, 0) = √3.
- The minimum value of f(x, y) = x occurs at x = -√3, y = 0, with f(-√3, 0) = -√3.
- The points (√3, 0) and (-√3, 0) are the critical points on the constraint curve.
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