Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

Metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare determinate pot fi împărțite în două categorii: metode directe și metode iterative.

Metodele directe transformă matricia sistemului într-o formă echivalentă, care poate fi rezolvată direct, prin eliminarea progresivă a necunoscutelor. Un exemplu este eliminarea gaussiană.

Metodele iterative construiesc un şir de aproximații pentru soluția sistemului, care converg la soluția reală. Aceste metode pot fi eficiente pentru sisteme mari.

O matrice superior triunghiulară are toate elementele sub diagonala principală egale cu zero.

O matrice inferior triunghiulară are toate elementele deasupra diagonalei principale egale cu zero.

Factorizarea L-U descompune o matrice A în produsul a două matrici: o matrice inferior triunghiulară L și o matrice superior triunghiulară U. Această descompunere este unică dacă există.

Procedeul de eliminare gaussiană transformă matricia A în forma superior triunghiulară, acumulând transformarea în o matrice inferior triunghiulară L.

Descompunerea Cholesky este o formă specială de factorizare L-U, valabilă pentru matrici simetrice și pozitiv definite. În acest caz, A = L * L^T.

Substituția înainte rezolvă un sistem cu o matrice inferior triunghiulară, începând cu prima ecuație și găsind necunoscutele una câte una.

Substituția inversă rezolvă un sistem cu o matrice superior triunghiulară, începând cu ultima ecuație și găsind necunoscutele una câte una.

Pivotul este elementul care se folosește pentru a elimina necunoscutele într-un sistem de ecuații.

Triangularizarea cu pivotare parțială este o metodă de triangularizare directă care se folosește pentru a evita instabilitatea numerică a algoritmului. La fiecare pas, se caută pivotul cu cea mai mare valoare în modul din coloana curentă.

O matrice de permutare de linii este o matrice care schimbă liniile unei alte matrice.

Matricea generală de permutare de linii este o matrice care combină mai multe permutări ale liniilor, reprezentând un șir de permutări.

Omiterea catastrofală este un fenomen care poate apare în calculul numeric când se adună sau se scad două numere cu magnitudini foarte diferite. Numărul mic poate fi pierdut în calcule.

Neutralizarea termenilor apare atunci când doi termini cu magnitudini apropiate se anulează reciproc în calcule, ducând la o pierdere de precizie.

Instabilitatea numerică a algoritmului apare atunci când erorile de rotunjire datorate calculelor în virgulă mobilă sunt amplificate, afectând rezultatul final.

Stabilizarea algoritmului de triangularizare se face prin alegerea multiplicatorilor Gauss cu modul subunitar, pentru a evita amplificarea erorilor de rotunjire.

În practică, pe calculator, se verifică condiția: | a[k,k]| > ε, unde ε este o constantă mică, pentru a testa dacă pivotul este diferit de zero.

Dacă pivotul este nul sau foarte mic în modul în algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială, aceasta înseamnă că coloanele matricei A sunt liniar dependente, ceea ce afectează descompunerea L-U.

Descompunerea L-U a matricei A se realizează prin triangularizare cu pivotare parțială, rezultând o matrice generală de permutare P, o matrice inferior triunghiulară L' și o matrice superior triunghiulară U.

Rezolvarea sistemului de ecuații cu ajutorul factorizării L-U cu pivotare parțială se face în patru etape: factorizarea, calcularea vectorului c, rezolvarea sistemului cu L', rezolvarea sistemului cu U.

Erorile de rotunjire pot fi amplificate în algoritmul de triangularizare simplă, ceea ce face ca această metodă să fie instabilă numeric.

Metoda de triangularizare cu pivotare parțială este mai stabilă numeric decât triangularizarea simplă, deoarece alege pivotul cu cea mai mare valoare în modul la fiecare pas

Un multiplicator Gauss este un scalar care se folosește pentru a elimina necunoscutele în algoritmul de triangularizare

În aritmetica exactă, valoarea nulă a pivotului este echivalentă cu o valoare foarte mică în modul, în aritmetica virgulei mobile, datorită erorilor de rotunjire.

Transformarea liniară elementară este o transformare care schimbă doar o singură linie sau coloană, în timp ce restul liniilor sau coloanelor rămân nemodificate.