Podcast
Questions and Answers
Care sunt cele două metode de rezolvare a sistemelor determinate de ecuații algebrice liniare?
Care sunt cele două metode de rezolvare a sistemelor determinate de ecuații algebrice liniare?
Metode directe și metode iterative (indirecte)
Ce se realizează prin triangularizarea matricei A?
Ce se realizează prin triangularizarea matricei A?
Transformarea matricei A la anumite forme tipice prin transformări elementare de echivalență
Metodele iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare sunt mai rapide decât metodele directe.
Metodele iterative de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare sunt mai rapide decât metodele directe.
False
Care dintre următoarele forme tipice la care se poate aduce matricea A în urma triangularizării?
Care dintre următoarele forme tipice la care se poate aduce matricea A în urma triangularizării?
Signup and view all the answers
Descompunerea L-U a matricei A este o ______ a algoritmului de eliminare gaussiană.
Descompunerea L-U a matricei A este o ______ a algoritmului de eliminare gaussiană.
Signup and view all the answers
Ce este un pivot?
Ce este un pivot?
Signup and view all the answers
Triangularizarea simplă este instabilă numeric.
Triangularizarea simplă este instabilă numeric.
Signup and view all the answers
Cum se stabilește algoritmul de triangularizare a unei matrici?
Cum se stabilește algoritmul de triangularizare a unei matrici?
Signup and view all the answers
Triangularizarea cu pivotare parțială este o metodă mai stabilă decât triangularizarea simplă.
Triangularizarea cu pivotare parțială este o metodă mai stabilă decât triangularizarea simplă.
Signup and view all the answers
Ce este matricea generală de permutare de linii?
Ce este matricea generală de permutare de linii?
Signup and view all the answers
Dacă algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială eşuează, înseamnă că primele k coloane ale matricei A sunt liniar dependente.
Dacă algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială eşuează, înseamnă că primele k coloane ale matricei A sunt liniar dependente.
Signup and view all the answers
Study Notes
Metoda de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liniare
- Metodele numerice sunt folosite pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii algebrice liniare determinate.
- Există metode directe şi iterative (indirecte).
- Metodele directe includ eliminarea progresivă a necunoscutelor (eliminare gaussiană) şi triangularizare.
- Matricea unui sistem de ecuaţii poate fi transformată prin operaţii elementare de echivalenţă în forme triunghiulare superioare sau inferioare.
- Metoda de triangularizare transformă matricea într-o formă în care soluţia poate fi găsită prin substituţii succesive.
Metoda Iterativă (Indirectă)
- Se construieşte o succesiune de aproximări, care converg spre soluţia sistemului.
- Calculele se opresc când se îndeplineşte o condiţie de convergenţă, de exemplu, diferenţa dintre iteraţiile succesive devine suficient de mică.
Triangularizare Directă
- Metoda utilizează operaţii elementare pentru a transforma o matrice într-o matrice triunghiulară.
- Matricea iniţială este adusă la forma superior triunghiulară prin operaţii elementare.
- Dacă matricea iniţială este simetrică și pozitiv definită, metoda de descompunere Cholesky poate fi aplicată.
- Procedeul implică două etape: substituţie înainte și substituţie inversă.
Rezolvare Prin Triangularizare Directă
- Sistemul de ecuaţii algebrice liniare este dat de A • x = b, unde A este matricea, x este vectorul necunoscutelor și b este vectorul termenilor liberi.
- Metoda de triangularizare directă presupune transformarea matricei A într-o formă triunghiulară.
- În cazul unei matrice triunghiulare, soluția sistemului poate fi găsită prin substituție înainte sau înapoi.
Rezolvare Prin Triangularizare cu Pivotare Parţială
- Această metodă este utilizată pentru a evita probleme de instabilitate numerică care pot apărea atunci când un element de pe diagonală este prea mic.
- Se selectează pivotul (elementul cu cea mai mare valoare din modul) din coloana curentă, și se interschimbă rânduri dacă este necesar.
Concluzii
- Strategiile descrise pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, inclusiv procedeul de eliminare gaussiană, utilizarea matricelor triunghiulare, sau tehnicile de pivotare parțială, sunt esențiale în rezolvarea practică a problemelor ce implică matematici aplicate.
- Stabilizarea algoritmului de triangularizare implică folosirea multiplicatori Gauss cu modul subunitar.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Acest quiz explorează metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaţii algebrice liniare, inclusiv metodele directe și iterative. Vei învăța despre eliminarea gaussiană, triangularizare și cum funcționează metodele de aproximare. Testează-ți cunoștințele despre aceste concepte fundamentale în algebra liniară.
