Méthodes itératives pour systèmes linéaires

Une méthode itérative est convergente si, pour tout $x_0$, la limite des $x_k$ converge vers une solution $x$ vérifiant l'équation $Ax = b$.

Les méthodes itératives sont préférées pour la résolution de grands systèmes d'équations linéaires, tandis que les méthodes directes sont plus efficaces pour les systèmes de petite taille.

Le premier vecteur d'approximation est $x^{(0)} = (0, 0, 0)^T$.

<p>Cette relation montre comment l'erreur d'approximation à chaque étape est liée à l'erreur à l'étape précédente, ce qui permet d'analyser la convergence de la méthode.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice $B$ représente l'opérateur de mise à jour dans la méthode itérative, tandis que le vecteur $c$ représente les constantes ajoutées dans les équations.</p> Signup and view all the answers

<p>Pour $x^{(k)}_2$, on utilise $x^{(k)}_2 = rac{1}{5}(x^{(k)}_1 + x^{(k-1)}_3 + 9)$ et pour $x^{(k)}_3$, on utilise $x^{(k)}_3 = rac{1}{9}(-x^{(k)}_1 + 2x^{(k)}_2 - 11)$.</p> Signup and view all the answers

<p>Cela permet d'utiliser les informations les plus récentes disponibles et d'accélérer la convergence vers la solution correcte.</p> Signup and view all the answers

<p>Il faut que la limite des erreurs soit telle que $ ext{lim}_{k o + ext{inf}} e^{(k)} = 0$.</p> Signup and view all the answers

<p>La suite x(k) est convergente si B^k v tend vers 0 pour tout vecteur v, ρ(B) &lt; 1, et ||B|| &lt; 1 pour au moins une norme matricielle.</p> Signup and view all the answers

<p>Un critère d'arrêt peut être testé en vérifiant si le résidu r(k) est inférieur à une tolérance δ fixée.</p> Signup and view all the answers

<p>Pour toute i, la somme des valeurs absolues des éléments hors diagonale doit être inférieure à l'élément diagonal correspondant, soit ∑|aij| &lt; aii.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice J représente l'itération de la méthode de Jacobi, définie par J = D^(-1)(E + F).</p> Signup and view all the answers

<p>Jacobi utilise les valeurs de la itération précédente pour tout le calcul, alors que Gauss-Seidel utilise les valeurs déjà mises à jour au cours de la même itération.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice A doit être à diagonale strictement dominante.</p> Signup and view all the answers

<p>La méthode de relaxation introduit un paramètre ω, qui ajuste la mise à jour des valeurs à chaque itération.</p> Signup and view all the answers

<p>Pour garantir la convergence, il faut que ρ(B) &lt; 1.</p> Signup and view all the answers

<p>La norme matricielle permet d'évaluer la convergence de l'itération en mesurant ||B||.</p> Signup and view all the answers

<p>L'initialisation à zéro permet de contrôler l'erreur relative par rapport à la solution x.</p> Signup and view all the answers

<p>L'erreur e(k) provient de la différence entre l'itération x(k) et la solution réelle x, soit e(k) = x(k) - x.</p> Signup and view all the answers

<p>La mise à jour suit la relation x(k+1)i = (1/a_ii)(b_i - ∑(a_ij x(k)j)) pour j ≠ i.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice A doit être hermitienne et définie positive, ce qui implique que toutes ses valeurs propres sont strictement positives.</p> Signup and view all the answers

<p>Le minimum global de f(r) est atteint en $r = α = -\frac{&lt; Ax - b, d &gt;}{&lt; A d, d &gt;}$.</p> Signup and view all the answers

<p>La convergence est garantie lorsque A est une matrice symétrique définie positive.</p> Signup and view all the answers

<p>La direction de descente $d^{(k)}$ est donnée par $d^{(k)} = -\nabla J(x^{(k)}) = b - Ax^{(k)}$.</p> Signup and view all the answers

<p>Cela garantit une orthogonalité entre les directions, ce qui optimise le processus de convergence.</p> Signup and view all the answers

<p>Une famille de vecteurs est A-conjuguée si $&lt; Ad^{(i)}, d^{(j)} &gt; = 0$ pour $i eq j$.</p> Signup and view all the answers

<p>Le coefficient $eta_{k-1}$ ajuste l'influence de la direction de descente précédente dans le calcul de la nouvelle direction.</p> Signup and view all the answers

<p>On a $x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}$.</p> Signup and view all the answers

<p>$J(x^{(k)})$ représente la valeur de la fonction à minimiser, et elle doit décroître au fur et à mesure que $k$ augmente.</p> Signup and view all the answers

<p>$\beta_{k-1} = -\frac{&lt; A d^{(k-1)}, g^{(k)} &gt;}{&lt; A d^{(k)}, d^{(k)} &gt;}$.</p> Signup and view all the answers

<p>La condition est définie par $J(x^{(k)} + \alpha_k d^{(k)}) \leq J(x^{(k)})$ pour tout $\alpha &gt; 0$.</p> Signup and view all the answers

<p>On a $\lambda_1 ||x||^2 \leq &lt; Ax, x &gt; \leq \lambda_n ||x||^2$ pour $x \in \mathbb{R}^n$.</p> Signup and view all the answers

<p>La convergence de $J(x^{(k)})$ dépend de la définition positive de la matrice A et de la décroissance de cette suite.</p> Signup and view all the answers

<p>La relation d'orthogonalité est donnée par $&lt; g^{(k+1)}, d^{(k)} &gt; = 0$.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice A détermine la forme de la fonction quadratique et assure que les directions de descente sont bien définies.</p> Signup and view all the answers

<p>La méthode de relaxation converge pour toutes les valeurs de $ heta$ comprises dans l'intervalle $ heta ext{ ∈ }]0, 2[$.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice est décomposée en $M = egin{pmatrix} D &amp; heta \ -E \ ext{ } otag \ ext{ } otag \ ext{ } otag \ ext{ } \ ext{ } otag \ ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } \ ext{ } otag \ ext{ } &amp; $ ext{ }$ &amp; $ ext{ }$ ext{ } $ et $N = egin{pmatrix} (1 - heta) D + F &amp; 0 \ 0 &amp; ext{ }<br /> otag \ ext{ }<br /> otag \ ext{ }<br /> otag \ ext{ }<br /> otag \ ext{ }<br /> otag \ ext{ }<br /> otag \ ext{ } \ ext{ } otag \ ext{ }$</p> Signup and view all the answers

<p>Une direction de descente ${d}$ en ${x}$ est telle qu'il existe ${eta_0 &gt; 0}$ avec ${J(x + eta d) ext{ ≤ } J(x)}$ pour tout ${eta ∈ [0, eta_0]}$.</p> Signup and view all the answers

<p>La convergence est assurée si $ heta ∈ ]0, rac{2}{ ho(A)}[$.</p> Signup and view all the answers

<p>On met à jour comme suit : $x^{(k+1)} = x^{(k)} + heta d^{(k)}$ où $d^{(k)} = - abla J(x^{(k)})$.</p> Signup and view all the answers

<p>On s'arrête lorsque $|| abla J(x^{(k)})|| &lt; heta$ ou $||x^{(k+1)} - x^{(k)}|| &lt; heta$, pour une précision donnée $ heta$.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice d'itération $B_{ heta} = I - heta A$ a pour spectre $Sp(B_{ heta}) = ext{{1 - }} heta ext{{λ}}$, où $ ext{{λ}}$ est une valeur propre de $A$.</p> Signup and view all the answers

<p>La méthode à pas optimal choisit $ heta_k$ pour minimiser $J(x^{(k)} + heta_k d^{(k)})$; le pas est donné par $ heta = -rac{&lt;Ax - b, d&gt;}{&lt;Ad, d&gt;}$.</p> Signup and view all the answers

<p>La matrice $A$ doit être symétrique et définie positive pour assurer la convergence des méthodes de descente.</p> Signup and view all the answers

<p>La direction de descente $d^{(k+1)}$ est définie par $d^{(k+1)} = - abla J(x^{(k)})$.</p> Signup and view all the answers

<p>Les méthodes peuvent être lentes à converger et nécessitent un critère d’arrêt approprié pour éviter des itérations inutiles.</p> Signup and view all the answers

<p>Pour une fonction quadratique $J(x) = rac{1}{2}&lt;Ax, x&gt; - &lt;b, x&gt;$, la convergence est liée aux valeurs propres de $A$.</p> Signup and view all the answers

<p>La convergence est déterminée par $|| abla J(x^{(k)})|| &lt; heta$ ou $||x^{(k+1)} - x^{(k)}|| &lt; heta$, avec $ heta$ étant une précision.</p> Signup and view all the answers

<p>Elle garantit que l'itération sous la méthode de relaxation convergera vers la solution souhaitée.</p> Signup and view all the answers

Une méthode itérative de la forme (2.1) est dite convergente si pour tout x0, on a : lim k→+∞ xk = x et la limite vérifie Ax = b. (Ax = b est équivalent alors à x = B x +c )

L'erreur d'approximation à la kième étape s'écrit : e(k) = x(k) - x = B x(k-1) +c -B x -c = B(x(k-1) - x) = Be(k-1). Et aussi e(k) = B^k e(0) ∀k ∈ N

Une méthode itérative est convergente si pour tout x(0), on a lim k→+∞ e(k) = 0.

La méthode itérative de Jacobi consiste à calculer les composantes du vecteur solution de manière itérative, en utilisant les valeurs des composantes précédemment calculées. Par exemple, dans le système (S) donné, on calcule x(k)1 en utilisant x(k−1)2 et x(k−1)3, puis x(k)2 en utilisant x(k)1 et x(k−1)3, etc.

La méthode itérative de Gauss-Seidel est similaire à la méthode de Jacobi, mais elle utilise les valeurs les plus récentes de toutes les composantes déjà calculées lors du calcul d'une nouvelle composante. Par exemple, dans le système (S), on calcule x(k)1 en utilisant x(k−1)2 et x(k−1)3, puis x(k)2 en utilisant x(k)1 et x(k−1)3, puis x(k)3 en utilisant x(k)1 et x(k)2, etc.

La méthode de relaxation est une variante de la méthode de Gauss-Seidel qui utilise un paramètre de relaxation pour contrôler la vitesse de convergence. Le paramètre de relaxation permet d'ajuster la vitesse à laquelle les valeurs des composantes sont mises à jour, en augmentant ou en diminuant la taille des pas d'itération.

La méthode itérative de Richardson est une méthode simple qui utilise une matrice de relaxation pour mettre à jour les composantes du vecteur solution. La matrice de relaxation est une matrice diagonale qui permet de modifier la convergence de la méthode.

Les méthodes itératives sont surtout utilisées pour la résolution de grands systèmes linéaires, car elles sont plus efficaces que les méthodes directes pour ces types de systèmes.

Une suite (xk)k∈N est dite convergente si elle tend vers une limite finie lorsque k tend vers l'infini.

La suite (xk)k∈N est convergente si et seulement si la suite B^k * v tend vers 0 pour tout vecteur v.

Le rayon spectral d'une matrice, noté ρ(B), est la valeur absolue de la plus grande valeur propre de la matrice.

ρ(B) < 1 est une condition suffisante et nécessaire pour la convergence de la suite (xk)k∈N.

La suite (xk)k∈N est convergente si et seulement si kB^k < 1 pour au moins une norme matricielle ||.||.

La méthode itérative est un outil utilisé pour trouver une solution approchée d'une équation linéaire.

Le vecteur e(k) = x(k) - x représente l'erreur à l'itération k.

Le critère d'arrêt est utilisé pour déterminer quand arrêter les calculs itératifs.

Le résidu r(k) = b - Ax(k) est la différence entre le terme constant b et le résultat de l'application de la matrice A à l'approximation x(k).

La condition de la matrice A, notée cond(A), mesure la sensibilité du système linéaire Ax = b aux erreurs d'entrée.

La méthode de Jacobi est une méthode itérative pour résoudre un système linéaire Ax = b.

Une matrice A est dite à diagonale strictement dominante si la valeur absolue de chaque élément diagonal est supérieure à la somme des valeurs absolues des autres éléments de la même ligne.

La méthode de Gauss-Seidel est une méthode itérative basée sur la méthode de Jacobi, mais qui utilise les valeurs calculées à l'itération courante pour améliorer l'approximation.

Une méthode numérique qui vise à déterminer le minimum d'une fonction J sur R^n en utilisant des directions de déplacement pour se rapprocher de la solution.

Une direction d ∈ R^n, avec d ≠ 0, est une direction de descente de J en x s'il existe α0 > 0 tel que J(x + αd) ≤ J(x) pour tout α ∈ [0, α0].

Si d est une direction de descente de J en x, alors <∇J(x), d> ≤ 0.

Une méthode de descente qui utilise le gradient de la fonction à minimiser pour déterminer les directions de descente.

La méthode du gradient à pas fixe utilise le gradient −∇J(x^(k)) comme direction de descente à l'étape k +1.

La méthode du gradient à pas fixe converge pour un problème quadratique si et seulement si le pas α appartient à l'interval]0, 2/ρ(A)[, où ρ(A) est le rayon spectral de la matrice A.

Une méthode de descente qui choisit le pas αk à chaque itération de manière à minimiser la fonction J(x^(k) + αkd^(k)).

Si A est une matrice symétrique définie positive, alors le pas optimal α pour un problème quadratique est donné par α = −<Ax − b, d> / <Ad, d>.

Un algorithme qui utilise la méthode de Gauss-Seidel pour calculer une valeur intermédiaire et la relaxe par une combinaison linéaire avec l'itéré précédent.

Le paramètre de relaxation ω est un nombre réel compris entre 0 et 2.

La méthode de relaxation converge pour toutes les valeurs du paramètre de relaxation ω comprises dans l'intervalle ]0, 2[ si la matrice A est hermitienne et définie positive.

La méthode de relaxation combine la valeur de Gauss-Seidel avec l'itéré précédent pour améliorer la convergence de la résolution d'un système linéaire.

Une norme matricielle subordonnée qui est définie comme le maximum de la norme du produit de la matrice par un vecteur, sur tous les vecteurs de norme 1.

La condition kM^(-1)Nk < 1 pour une certaine norme matricielle subordonnée garantit la convergence de la méthode itérative.

La fonction f(r) est définie comme la valeur de la fonction J(x) pour x + rd, où r est un scalaire et d est une direction.

La fonction f(r) est un polynôme du second degré en r, car elle peut s'écrire sous la forme ar² + br + c.

Le minimum global de la fonction f(r) est atteint au point r = α, où α est calculé en utilisant les gradients de J(x).

α est une méthode pour trouver le pas optimal dans une descente de gradient. Il minimise la fonction J(x) pour un pas donné dans la direction d.

La méthode du gradient à pas optimal est une méthode qui trouve la direction de descente en calculant le gradient de la fonction J(x) en chaque point.

L'algorithme du gradient à pas optimal utilise une initialisation x0 et un pas α pour trouver le minimum de la fonction J(x). Il calcule itérativement la direction de descente et met à jour la valeur de x.

Si la matrice A est symétrique définie positive, l'algorithme du gradient à pas optimal converge vers la solution x* qui minimise la fonction objectif J(x).

La convergence de l'algorithme est assurée car la suite (J(x(k))) est décroissante et minorée par J(x*). Donc, elle converge vers une valeur limite.

La méthode du gradient conjugué est une méthode de descente où la direction de descente est créée en fonction du gradient et de la direction de descente précédente.

Deux vecteurs non nuls d(1), d(2) sont dits A-conjugués si < Ad(1), d(2) > = 0.

Deux vecteurs sont A-conjugués s'ils sont orthogonaux l'un à l'autre lorsqu'ils sont multipliés par la matrice A. Ce concept est important pour la méthode du gradient conjugué car il garantit que les directions de descente successives seront indépendantes les unes des autres.

La méthode du gradient conjugué utilise des directions de descente qui sont A-conjuguées. Cela garantit que la suite (x(k)) générée par l'algorithme devient stationnaire à partir d'un certain nombre d'itérations.

L'algorithme du gradient conjugué utilise un pas optimal αk et un coefficient βk pour calculer la direction de descente et mettre à jour la valeur de x. Il s'agit d'une méthode itérative qui garantit la convergence en un nombre fini d'itérations.