Méthodes itératives

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Questions and Answers

Quelles sont les deux types de méthodes utilisées pour résoudre les systèmes linéaires ?

Les méthodes directes et les méthodes itératives.

Quel est le principal défi posé par les méthodes directes lorsque la taille du système est grande ?

Le nombre d'opérations devient excessivement important.

Quelles sont les méthodes de résolution dites « Méthodes itératives » ?

Les méthodes itératives sont des méthodes qui construisent une séquence d'approximations successives qui convergent vers la solution exacte.

Quelle est la condition de consistance pour la convergence d'une méthode itérative linéaire du premier ordre ?

BA⁻¹b + c = A⁻¹b. Signup and view all the answers

Quelle est l'expression du rayon spectral d'une matrice A ?

ρ(A) = max{|λi|; λi ∈ Sp(A)}. Signup and view all the answers

Une méthode itérative linéaire du premier ordre converge si et seulement si ρ(B) < 1, où B est la matrice d'itération.

True Signup and view all the answers

Quelle est l'expression de la vitesse de convergence V d'une méthode linéaire du premier ordre ?

V = 1/ρ(B). Signup and view all the answers

Comment peut-on démontrer la convergence d'une méthode linéaire du premier ordre ?

En trouvant une norme matricielle induite ||.|| telle que ||B|| < 1, où B est la matrice d'itération. Signup and view all the answers

Quels sont les deux types de normes matricielles induites utilisés pour vérifier la convergence des méthodes itératives ?

Les normes ||.||₁ et ||.||∞. Signup and view all the answers

En quoi consiste l'idée des méthodes de décomposition pour résoudre un système linéaire ?

Décomposer la matrice A en une somme de deux matrices M et N telles que M est inversible, et résoudre un système linéaire simple MY = d pour chaque itération. Signup and view all the answers

Quelles sont les trois méthodes de décomposition présentées ?

La méthode de Jacobi, la méthode de Gauss-Seidel et la méthode de relaxation SOR. Signup and view all the answers

Quelle est la condition de convergence pour une méthode de décomposition ?

ρ(M⁻¹N) < 1, où M et N sont les matrices de décomposition. Signup and view all the answers

Quelle est la condition suffisante pour la convergence d'une méthode de décomposition lorsque la matrice A est symétrique définie positive ?

La matrice symétrique ‘M + N est également définie positive. Signup and view all the answers

Comment est définie la méthode de Jacobi ?

La méthode de Jacobi est définie par la suite X(k+1) = D⁻¹(E + F)X(k) + D⁻¹b, où D, E et F sont les matrices de décomposition de la matrice A. Signup and view all the answers

Quelle est la matrice d'itération pour la méthode de Jacobi ?

LJ = D⁻¹(E + F). Signup and view all the answers

Quelle est la condition de convergence pour la méthode de Jacobi ?

La méthode de Jacobi converge si et seulement si ρ(LJ) < 1. Signup and view all the answers

Quelles sont les deux conditions suffisantes pour la convergence de la méthode de Jacobi ?

La matrice A doit être à diagonale strictement dominante ou symétrique définie positive, avec 2D - A également définie positive. Signup and view all the answers

Comment la méthode de Gauss-Seidel est-elle définie ?

La méthode de Gauss-Seidel est définie par la suite X(k+1) = (D - E)⁻¹FX(k) + (D - E)⁻¹b, où D, E et F sont les matrices de décomposition de la matrice A. Signup and view all the answers

Quelle est la matrice d'itération de la méthode de Gauss-Seidel ?

LGS = (D - E)⁻¹F. Signup and view all the answers

Quelle est la condition de convergence pour la méthode de Gauss-Seidel ?

La méthode de Gauss-Seidel converge si et seulement si ρ(LGS) < 1. Signup and view all the answers

Quelles sont les deux conditions suffisantes pour la convergence de la méthode de Gauss-Seidel ?

La matrice A doit être à diagonale strictement dominante ou symétrique définie positive. Signup and view all the answers

Comment est définie la méthode de relaxation SOR ?

La méthode de relaxation SOR est définie par la suite X(k+1) = (D - E)⁻¹(F - (1 - 1/ω)D)X(k) + (D - E)⁻¹b, où D, E et F sont les matrices de décomposition de la matrice A et ω est un paramètre de relaxation. Signup and view all the answers

Quelle est la matrice d'itération de la méthode de relaxation SOR ?

Lw = (D - E)⁻¹(F - (1 - 1/ω)D). Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour la convergence de la méthode de relaxation SOR ?

Si la méthode SOR converge, alors ω ∈]0, 2[. Signup and view all the answers

Quelles sont les conditions suffisantes pour la convergence de la méthode de relaxation SOR ?

La matrice A doit être à diagonale strictement dominante ou symétrique définie positive. La convergence est garantie si 0 < ω ≤ 1 pour les matrices à diagonale strictement dominante et si 0 < ω < 2 pour les matrices symétriques définies positives. Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la méthode de Jacobi et la méthode de Gauss-Seidel pour les matrices tridiagonales ?

Les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel convergent ou divergent simultanément pour les matrices tridiagonales. De plus, la méthode de Gauss-Seidel est plus rapide en cas de convergence. Signup and view all the answers

Quel est le paramètre optimal ω pour la méthode de relaxation SOR dans le cas des matrices tridiagonales ?

Le paramètre optimal est ωo = (2 / (1 + sqrt(1 - (ρ(LJ))²)). Signup and view all the answers

Quel est le rayon spectral de la matrice d'itération pour la méthode de relaxation SOR avec le paramètre optimal ωo ?

ρ(Lωo) = ωo - 1. Signup and view all the answers

Donnez un exemple de situation où les méthodes itératives sont plus efficaces que les méthodes directes ?

La résolution du problème de la chaleur, impliquant une équation aux dérivées partielles, est un exemple où les méthodes itératives sont plus efficaces car les méthodes directes peuvent être trop coûteuses en temps et en mémoire, surtout si le système est de grande taille. Signup and view all the answers

Study Notes

Chapitre 3 : Méthodes itératives pour la résolution des systèmes linéaires

Le chapitre porte sur les méthodes itératives pour résoudre les systèmes linéaires.
Les méthodes directes de résolution sont inefficaces pour les grands systèmes.
Les méthodes itératives offrent une alternative plus efficace dans ces cas.
Les erreurs de calcul sont difficiles à contrôler avec les méthodes directes.
Les méthodes itératives reposent sur une suite récurrente de vecteurs qui converge vers la solution.
L'idée est de construire un algorithme du point fixe utilisant des approximations successives.

Plan du cours

Introduction aux méthodes itératives.
Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires.
Méthodes de décomposition.
- Méthode de Jacobi.
- Méthode de Gauss-Seidel.
- Méthodes de relaxation SOR.
Comparaison entre les méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR pour les matrices tridiagonales.
Exemple motivant: équation de la chaleur.

Introduction

Les méthodes directes fournissent la solution exacte en un nombre fini d'opérations.
Pour les grands systèmes, le nombre d'opérations devient très important, et les erreurs de calcul peuvent être significatives.
Les méthodes itératives offrent une solution alternative plus efficace pour les grands systèmes, en obtenant une solution approchée.
Les méthodes itératives sont capables de gérer le caractère creux de certaines matrices.

Définition (Méthode itérative)

Une méthode itérative est une méthode qui construit une suite récurrente de vecteurs (X(k)) qui converge vers la solution X.
Un vecteur initial X(0) est donné dans Rn.
L'objectif est de construire un algorithme du point fixe pour calculer les approximations successives à partir de X(0).

Les méthodes itératives classiques (linéaires du premier ordre)

Les méthodes classiques s'écrivent sous la forme X(k+1) = BX(k) + c où B est la matrice d'itération.
X(0) est le vecteur initial.

Proposition (Consistance : condition nécessaire de convergence)

Si une suite (X(k)) converge vers X solution de AX = b, alors B et c vérifient une condition spécifique.

Convergence des méthodes itératives classiques

La convergence est assurée si le rayon spectral de B est inférieur à 1 (ρ(Β) < 1).
La vitesse de convergence peut être quantifiée par V = 1 / ρ(Β).

Estimations de l'erreur et test d'arrêt

Il existe des propositions pour estimer l'erreur de la solution obtenue.
L'estimation de l'erreur permet la mise en place de critères d'arrêt.
Utilisation d'un test d'arrêt sur l'augmentation des incréments.

Méthodes de décomposition

L'idée est de décomposer la matrice A en M-N où M est inversible.
Il est possible de résoudre facilement les équations avec la matrice M.

Méthodes particulières de décomposition

Méthode de Jacobi.
Méthode de Gauss-Seidel.
Méthodes de relaxation SOR.

Convergence de la méthode de Jacobi

La convergence est établie si la matrice A est à diagonale strictement dominante ou est symétrique définie positive et 2D – A est définie positive.

Convergence de la méthode de Gauss-Seidel

La méthode de Gauss-Seidel converge si la matrice d'itération a un rayon spectral inférieur à 1.
La méthode de Gauss-Seidel converge si A est à diagonale strictement dominante ou est symétrique définie positive.

Les méthodes de relaxation

Les méthodes de relaxation sont aussi des méthodes itératives.
Ces méthodes s'appuient sur l'itération obtenue par la méthode de Gauss-Seidel et incluent un paramètre w.
A partir de la méthode de Gauss-Seidel, on définit w, un paramètre de relaxation.

Comparaison entre les méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR

Comparaison des performances des méthodes itératives sur des cas de matrices tridiagonales.
Pour une matrice tridiagonale, la méthode de Gauss-Seidel peut être plus performante que la méthode de Jacobi.
La méthode SOR est optimal, avec un paramètre w adéquat.

Exemple motivant: Équation de la chaleur

Un exemple concret est présenté pour illustrer l'application des méthodes itératives à la résolution d'une équation aux dérivées partielles.
L'équation modélise la diffusion de la chaleur, et les méthodes itératives offrent une solution approximative par subdivision du domaine spatial.

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Description

Ce chapitre explore les méthodes itératives pour résoudre les systèmes linéaires, mettant en avant leur efficacité par rapport aux méthodes directes, surtout pour les grands systèmes. Il aborde également des techniques spécifiques comme celles de Jacobi, Gauss-Seidel et SOR, ainsi que des exemples pratiques pour illustrer ces concepts.

Méthodes itératives - Chapitre 3

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