Mechanik deformierbarer Körper

Physik

Mechanik deformierbarer Körper

• Druck ist definiert als Kraft pro Fläche: Druck = Kraft/Fläche = F/A.
• Die Einheit des Drucks ist Newton pro Quadratmeter (N/m²), was 1 Pascal (Pa) entspricht.

Elastizitätseigenschaften von Körpern

• Elastisch: Der Körper kehrt wieder in seine Ausgangsposition zurück.
• Plastisch: Der Körper kehrt nicht mehr in seine Ausgangsposition zurück.
• Spröde: Der Körper bricht.
• Viskoelastisch: Der Körper verformt sich langsam.

Verformung von Körpern unter Druck (4 Arten)

• Dehnung + Stauchung: Zieht bzw. staucht den Körper (Riss).
• Scherung: Führt zu einem Scherbruch, meist glatt.
• Torsion: Verdrehung führt zu einem Torsionsbruch oder Splitterbruch.
• Biegung: Kann zu einem Knickbruch führen, selten aber auch.
• Ermüdungsbruch: Entsteht durch oftmals "normale" Belastung und führt zu Haarrissen im Knochen.

Definition Dichte und Einheit

• Dichte (ρ) ist definiert als Masse (m) pro Volumen (V): ρ = m/V.
• Mögliche Einheiten der Dichte sind: kg/m³, g/cm³, µg/dm³.

Muskeln unter Druck

Verhalten unter normalen Belastungen

• Sehr starke Verformung und Aufnahme viel Kraft.

Verhalten unter stärkeren Belastungen

• Kaum Verformung, aber keine Kraft kann mehr aufgenommen werden.

Verhalten unter extremen Belastungs

• Riss.

Knochen unter Druck

Verhalten unter normalen Belastungen

• Kaum Dehnung, Stauchung. Knochen nehmen kaum Kraft auf.

Verhalten unter höheren Belastungen

• Deutliche Dehnung und Stauchung, können aber viel Kraft aufnehmen.

Verhalten unter extremen Belastungen

• Bruch.

Druck und Zehenspreizung bei Tieren

• Der Druck auf den Untergrund wird geringer, wenn ein Tier seine Zehen spreizt.
• Das Tier muss seine Zehen spreizen, um die Fläche zu vergrößern.
• Zehenspreizen = Vergrößerte Fläche.

Hydrostatischer Druck

• Hydrostatischer Druck ist der Selbst-Druck (P_hydro = ρ * g * h).
• Er ist nur von der Höhe abhängig, nicht von der Fläche.
• Auch bei unterschiedlichen Formen hängt der hydrostatische Druck nur von der Höhe ab.

Kolbendruck (Systolischer Druck)

• Der Druck, der von einem Kolben auf eine Flüssigkeit in einem geschlossenem Behälter ausgeübt wird.
• Herz, Magen, Blase.
• F_Ein / A1 = F_Aus / A2
• Umgeformt: F_Aus = F_Ein * A2 / A1
• Je größer A2, desto größer F_Aus bei gleichem Druck. Dies demonstriert den KRAFTVERSTÄRKER.
• Der Ausgangsdruck ist gleich dem Eingangsdruck.
• P_Ein = P_Aus!

Zusammensetzung des Blutdrucks

• Hydrostatischer Druck + Pumpdruck.

Bei der Blutdruckmessung ist zu beachten

• Im Sitzen und in Ruhe.
• Manschette auf Herzhöhe.
• Während der Messung nicht sprechen.
• Beine nicht überkreuzen.

Veränderungen bei Gase unter Druck

• Volumen -> klein
• Masse -> gleich
• Dichte -> größer
• Temperatur -> erhöht sich

Akustik

Schall

• Schall sind wellenförmig sich ausbreitende Schwingungen.
• Diese Schwingungen werden vom menschlichen Gehör wahrgenommen.

Amplitude

• Amplitude beschreibt Schwingungen.
• Sie ist die maximale Auslenkung einer harmonischen Schwingung aus der Lage des arithmetischen Mittels.

Periode

• Die Periode ist die Zeit, die verstreicht, bis die Schwingung sich wiederholt.

Frequenzbereiche

• Infraschall: kleiner als 20 Hz.
• Hörschall: 20 Hz – 20 kHz (höchste Empfindung bei 1 kHz).
• Ultraschall: 20 kHz – 1 GHz.
• Hyperschall: > 1 GHz.

Luftdruck

• Der Luftdruck nimmt mit der Höhe ab.

Archimedisches Prinzip und Anwendungen bei Tieren

• Auftriebskraft eines Körpers = die Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeit.
• Menschen und Tiere versinken nicht.
  • Wasservögel schwimmen weil:
    • Hohle Knochen
    • Große Lungen
    • Gefieder mit Lufteinschlüsse
  • Fische : Schwimmblase -> enthält O2
    • Große -> steigt
    • Kleine -> sinkt

Dichte

• Wenn die Dichte eines Körpers größer als die von Wasser, dann sinkt der Körper im Wasser.

Lineare Abbildungen

Definition

Eine Abbildung $f: E \rightarrow F$ ist linear, wenn:

• $f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y \in E$
• $f(\lambda x) = \lambda f(x) \quad \forall x \in E, \lambda \in \mathbb{K}$

Notation

• $\mathcal{L}(E, F)$ bezeichnet die Menge der linearen Abbildungen von $E$ nach $F$.

Eigenschaften

• $f(0_E) = 0_F$
• $f(-x) = -f(x)$
• $f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)$

Beispiele

• Nullabbildung: $f: E \rightarrow F$ mit $f(x) = 0_F \quad \forall x \in E$
• Identität: $Id_E: E \rightarrow E$ mit $Id_E(x) = x \quad \forall x \in E$
• Multiplikation mit Skalar: $f: E \rightarrow E$ mit $f(x) = \lambda x \quad \forall x \in E, \lambda \in \mathbb{K}$
• Projektion: $p: E \rightarrow E$ mit $p(x) = x$ für $x \in F$ und $p(x) = 0$ für $x \in G$, wobei $E = F \oplus G$
• Ableitung: $f: \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ mit $f(g) = g'$
• Integration: $f: \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(g) = \int_{a}^{b} g(t) dt$

Gegenbeispiele

• $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = x + 1$
• $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = x^2$
• $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x, y) = xy$

Theorem

• Seien $E$ und $F$ $\mathbb{K}$-Vektorräume und $B = (e_1,..., e_n)$ eine Basis von $E$. Für jede Familie von Vektoren $(f_1,..., f_n)$ in $F$ existiert eine eindeutige lineare Abbildung $f: E \rightarrow F$ mit $f(e_i) = f_i \quad \forall i \in {1,..., n}$.

Korollar

• Zwei lineare Abbildungen, die auf einer Basis übereinstimmen, sind gleich.

Definitionen

• Kern von $f$: $Ker(f) = {x \in E \mid f(x) = 0_F} = f^{-1}({0_F})$
• Bild von $f$: $Im(f) = {f(x) \mid x \in E} = {y \in F \mid \exists x \in E, f(x) = y} = f(E)$

Eigenschaften

• $Ker(f)$ ist ein Untervektorraum von $E$.
• $Im(f)$ ist ein Untervektorraum von $F$.

Theorem

• $f \in \mathcal{L}(E, F)$ ist injektiv $\Leftrightarrow Ker(f) = {0_E}$.

Theorem

• Seien $E, F, G$ $\mathbb{K}$-Vektorräume, $f \in \mathcal{L}(E, F)$ und $g \in \mathcal{L}(F, G)$. Dann ist $g \circ f \in \mathcal{L}(E, G)$.

Theorem

• Seien $E$ und $F$ $\mathbb{K}$-Vektorräume und $f \in \mathcal{L}(E, F)$ bijektiv. Dann ist $f^{-1} \in \mathcal{L}(F, E)$.

Definition

• Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung.

Definition

• $E$ und $F$ sind isomorph, wenn ein Isomorphismus von $E$ nach $F$ existiert. Notation: $E \simeq F$.

Theorem

• Seien $E$ und $F$ $\mathbb{K}$-Vektorräume endlicher Dimension. Dann $E \simeq F \Leftrightarrow dim(E) = dim(F)$.

Rang von Abbildungen

Definition

• Sei $f \in \mathcal{L}(E, F)$. Der Rang von $f$ ist die Dimension von $Im(f)$. Notation: $rg(f) = dim(Im(f))$.

Rangsatz

• Wenn $E$ endliche Dimension hat, dann $dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f)$.

Korollar

• Seien $E$ und $F$ endlichdimensional und $f \in \mathcal{L}(E, F)$, dann:
  • $f$ injektiv $\Leftrightarrow rg(f) = dim(E)$
  • $f$ surjektiv $\Leftrightarrow rg(f) = dim(F)$
  • $f$ bijektiv $\Leftrightarrow rg(f) = dim(E) = dim(F)$

Korollar

• Sei $E$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum endlicher Dimension und $f \in \mathcal{L}(E, E)$. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:
  • $f$ injektiv
  • $f$ surjektiv
  • $f$ bijektiv

Matrizen und lineare Abbildungen

Definition

• Seien $E$ und $F$ $\mathbb{K}$-Vektorräume endlicher Dimension, $B = (e_1,..., e_n)$ eine Basis von $E$ und $C = (f_1,..., f_m)$ eine Basis von $F$. Sei $f \in \mathcal{L}(E, F)$. Die Matrix von $f$ in den Basen $B$ und $C$ ist die Matrix, deren $j$-te Spalte aus den Koordinaten von $f(e_j)$ in der Basis $C$ besteht. Notation $Mat_{B, C}(f)$.
  • $Mat_{B, C}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{pmatrix}$
  • Dabei gilt: $f(e_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} f_i \quad \forall j \in {1,..., n}$.

Eigenschaften

• $Mat_{B, C}(f + g) = Mat_{B, C}(f) + Mat_{B, C}(g)$
• $Mat_{B, C}(\lambda f) = \lambda Mat_{B, C}(f)$

Theorem

• Die Abbildung $\phi: \mathcal{L}(E, F) \rightarrow \mathcal{M}{m, n}(\mathbb{K})$ mit $\phi(f) = Mat{B, C}(f)$ ist ein Isomorphismus.

Korollar

• $dim(\mathcal{L}(E, F)) = dim(E) \times dim(F)$.

Theorem

• Seien $E, F, G$ $\mathbb{K}$-Vektorräume endlicher Dimension, $B$ eine Basis von $E$, $C$ eine Basis von $F$ und $D$ eine Basis von $G$. Seien $f \in \mathcal{L}(E, F)$ und $g \in \mathcal{L}(F, G)$. Dann $Mat_{B, D}(g \circ f) = Mat_{C, D}(g) \times Mat_{B, C}(f)$.

Spezialfall

• Wenn $E = F$ und $B = C$, dann $Mat_{B}(f \circ g) = Mat_{B}(f) \times Mat_{B}(g)$.

Definition

• Sei $E$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum endlicher Dimension, $B$ und $B'$ zwei Basen von $E$. Die Übergangsmatrix von $B$ zu $B'$ ist die Matrix, deren $j$-te Spalte aus den Koordinaten von $e'j$ in der Basis $B$ besteht. Notation $P{B, B'}$.
• $P_{B, B'} = Mat_{B', B}(Id_E)$

Eigenschaften

• $P_{B, B'} = (P_{B', B})^{-1}$
• $P_{B, B''} = P_{B, B'} \times P_{B', B''}$

Basiswechsel

• Seien $E$ und $F$ $\mathbb{K}$-Vektorräume endlicher Dimension, $B$ und $B'$ zwei Basen von $E$ und $C$ und $C'$ zwei Basen von $F$. Sei $f \in \mathcal{L}(E, F)$. Dann $Mat_{B', C'}(f) = P_{C, C'}^{-1} \times Mat_{B, C}(f) \times P_{B, B'}$.

Spezialfall

• Wenn $E = F$, dann $Mat_{B'}(f) = P_{B, B'}^{-1} \times Mat_{B}(f) \times P_{B, B'}$.

Definition

• Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $P$ gibt, sodass $B = P^{-1} A P$.

Fortgeschrittene Datenanalyse und statistische Modellierung

Deskriptive Statistik

Maße der zentralen Tendenz

• Mittelwert (Durchschnitt):
  • Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte.
  • $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• Median (mittlerer Wert):
  • Der zentrale Wert in einem geordneten Datensatz.
  • Wenn n ungerade ist: $Median = x_{(\frac{n+1}{2})}$
  • Wenn n gerade ist: $Median = \frac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}$
• Modus (häufigster Wert):
  • Der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt.

Maße der Streuung (Variabilität)

• Bereich:
  • Differenz zwischen dem maximalen und minimalen Wert.
  • $Range = x_{max} - x_{min}$
• Varianz:
  • Durchschnitt der quadrierten Differenzen vom Mittelwert.
  • Populationsvarianz: $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$
  • Stichprobenvarianz: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
• Standardabweichung:
  • Quadratwurzel der Varianz.
  • Populationsstandardabweichung: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
  • Stichprobenstandardabweichung: $s = \sqrt{s^2}$
• Interquartilsbereich (IQR):
  • Differenz zwischen dem dritten Quartil (Q3) und dem ersten Quartil (Q1).
  • $IQR = Q3 - Q1$
• Variationskoeffizient (CV):
  • Das Verhältnis der Standardabweichung zum Mittelwert, ausgedrückt als Prozentsatz.
  • $CV = (\frac{s}{\bar{x}}) * 100$

Formmaße

• Schiefe:
  • Ein Maß für die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellwertigen Zufallsvariablen um ihren Mittelwert.
  • $\gamma_1 = E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$
• Kurtosis (Wölbung):
  • Ein Maß für die "Endlastigkeit" der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
  • $\gamma_2 = E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^4] - 3$

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Verteilungen

• Bernoulli-Verteilung:
  • Modelliert die Wahrscheinlichkeit für Erfolg oder Misserfolg eines einzelnen Versuchs.
  • $P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}$ für $k \in {0,1}$
• Binomialverteilung:
  • Modelliert die Anzahl der Erfolge bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche.
  • $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
• Poisson-Verteilung:
  • Modelliert die Anzahl der Ereignisse, die in einem festen Zeit- oder Raumbereich auftreten.
  • $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Stetige Verteilungen

• Normalverteilung:
  • Symmetrische glockenförmige Verteilung, gekennzeichnet durch Mittelwert ($\mu$) und Standardabweichung ($\sigma$).
  • $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
• Exponentialverteilung:
  • Modelliert die Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses.
  • $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}$ für $x \geq 0$
• Gleichverteilung:
  • Alle Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs sind gleich wahrscheinlich.
  • $f(x) = \frac{1}{b-a}$ für $a \leq x \leq b$

Hypothesentest

Grundlegende Konzepte

• Nullhypothese ($H_0$):
  • Eine Aussage über keine Wirkung oder keinen Unterschied.
• Alternative Hypothese ($H_1$ oder $H_a$):
  • Eine Aussage, die der Nullhypothese widerspricht.
• Signifikanzniveau ($\alpha$):
  • Die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese zu verwerfen, wenn sie wahr ist (Fehler vom Typ I).
• P-Wert:
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten, die so extrem ist wie oder extremer als die berechnete, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist.
• Fehler vom Typ I (falsch positiv):
  • Ablehnung einer wahren Nullhypothese.
• Fehler vom Typ II (falsch negativ):
  • Versäumnis, eine falsche Nullhypothese zu verwerfen.
• Power (1 - $\beta$):
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese korrekt zu verwerfen.

Gebräuchliche Tests

• T-Test:
  • Wird verwendet, um die Mittelwerte von zwei Gruppen zu vergleichen.
    • T-Test für unabhängige Stichproben: Vergleicht die Mittelwerte zweier unabhängiger Gruppen.
    • T-Test für verbundene Stichproben: Vergleicht die Mittelwerte zweier abhängiger Gruppen.
• ANOVA (Varianzanalyse, Analysis of Variance):
  • Wird verwendet, um die Mittelwerte von drei oder mehr Gruppen zu vergleichen.
• Chi-Quadrat-Test:
  • Wird verwendet, um die Unabhängigkeit von zwei kategorialen Variablen zu testen.

Regressionsanalyse

Lineare Regression

• Einfache lineare Regression:
  • Modelliert die Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen und einer unabhängigen Variablen.
  • $y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon$
• Multiple lineare Regression:
  • Modelliert die Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen und mehreren unabhängigen Variablen.
  • $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 +... + \beta_nx_n + \epsilon$

Annahmen der linearen Regression

• Linearität:
  • Die Beziehung zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen ist linear.
• Unabhängigkeit:
  • Die Fehler sind voneinander unabhängig.
• Homöoskedastizität:
  • Die Varianz der Fehler ist über alle Ebenen der unabhängigen Variablen konstant.
• Normalität:
  • Die Fehler sind normalverteilt.

Modellevaluation

• R-Quadrat:
  • Der Anteil der Varianz in der abhängigen Variablen, der durch die unabhängigen Variablen vorhersagbar ist.
• Korrigiertes R-Quadrat:
  • Passt das R-Quadrat an die Anzahl der Prädiktoren im Modell an.
• Mittlerer quadratischer Fehler (MSE):
  • Der Durchschnitt der quadrierten Differenzen zwischen den vorhergesagten und tatsächlichen Werten.
• Quadratwurzel des mittleren quadratischen Fehlers (RMSE):
  • Die Quadratwurzel des MSE.

Logistische Regression

• Modelliert die Wahrscheinlichkeit eines binären Ergebnisses.
• $P(Y=1) = \frac{1}{1+e^{-(\beta_0 + \beta_1x)}}$

Zeitreihenanalyse

Grundlegende Konzepte

• Trend:
  • Langfristige Bewegung in den Daten.
• Saisonalität:
  • Regelmäßige, vorhersehbare Schwankungen, die innerhalb eines Jahres auftreten.
• Zyklisch:
  • Schwankungen, die über längere Zeiträume auftreten, typischerweise mehrere Jahre.
• Unregelmäßig:
  • Zufällige, unvorhersehbare Schwankungen.

Modelle

• Gleitender Durchschnitt:
  • Glättet die Daten, indem Werte über einen bestimmten Zeitraum gemittelt werden.
• Exponentielle Glättung:
  • Weist vergangenen Beobachtungen Gewichte zu, wobei neuere Beobachtungen höhere Gewichte erhalten.
• ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average):
  • Modelliert die Korrelation zwischen aktuellen und vergangenen Werten in der Reihe.
    • AR (Autoregressiv): Verwendet vergangene Werte, um zukünftige Werte vorherzusagen.
    • I (Integriert): Differenziert die Daten, um sie stationär zu machen.
    • MA (Gleitender Durchschnitt): Verwendet vergangene Prognosefehler, um zukünftige Werte vorherzusagen.

Clustering

K-Means Clustering (K-Mittelwert-Verfahren)

• Partitioniert n Beobachtungen in k Cluster, in denen jede Beobachtung zu dem Cluster mit dem nächsten Mittelwert (Clusterzentren oder Cluster-Schwerpunkt) gehört, der als Prototyp des Clusters dient.

Hierarchisches Clustering

• Eine Methode der Clusteranalyse, die darauf abzielt, eine Hierarchie von Clustern aufzubauen. Strategien für das hierarchische Clustering lassen sich im Allgemeinen in zwei Typen einteilen: - Agglomerativ: Dies ist ein "Bottom-up"-Ansatz: Jede Beobachtung beginnt in ihrem eigenen Cluster, und Paare von Clustern werden zusammengeführt, wenn man sich die Hierarchie nach oben bewegt. - Divisiv: Dies ist ein "Top-down"-Ansatz: Alle Beobachtungen beginnen in einem Cluster, und die Aufteilungen werden rekursiv durchgeführt, wenn man sich die Hierarchie nach unten bewegt.

Dimensionsreduktion

Hauptkomponentenanalyse (PCA)

• Ein statistisches Verfahren, das eine orthogonale Transformation verwendet, um eine Menge von Beobachtungen von möglicherweise korrelierten Variablen in eine Menge von Werten von linear unkorrelierten Variablen, den so genannten Hauptkomponenten, umzuwandeln.

Weitere Techniken

• Entscheidungsbäume
• Support Vector Machines (SVM)
• Neuronale Netze

Chemische Reaktionstechnik

Nomenklatur

Indizes