Meccanica dei fluidi: ipotesi del continuo

Nozioni introduttive

• Il primo capitolo esamina le caratteristiche principali dei fluidi e il loro comportamento.
• Definisce le principali grandezze aerodinamiche.

Fluido continuo e numero di Knudsen

• Un fluido è un materiale che si deforma illimitatamente sotto forze esterne.
• È composto da particelle fluide, volumi elementari sufficientemente grandi da rappresentarne le caratteristiche ma abbastanza piccoli da descriverlo accuratamente.
• Un fluido è considerato continuo quando Kn << 1, dove Kn è il numero di Knudsen.
• Il numero di Knudsen è definito come Kn = l/L, dove l è il cammino libero medio tra le particelle ed L è la scala del fenomeno.

Fluido in quiete

• Un fluido in quiete ha un moto relativo tra le molecole di valore medio nullo.
• Si descrive usando coordinate termodinamiche come temperatura, pressione e densità.
• Può essere soggetto solo a sforzi normali; un taglio causerebbe traslazione, rotazione o deformazione.
• In un fluido in quiete si applica la legge di Pascal, la pressione in un punto è la stessa in ogni direzione.

Fluido in moto

• Viene descritto dalle stesse coordinate termodinamiche di un fluido in quiete, ma con un campo vettoriale di velocità.
• La viscosità è un fenomeno che si crea quando un fluido in moto circonda un corpo.
• Questo fenomeno contrasta il moto relativo generando sforzi viscosi tangenziali e normali, causati da gradienti di velocità.
• Gli sforzi viscosi sono definiti dalla legge di Newton: τ = μ(dU/dy), dove μ è la viscosità dinamica.

Conduzione termica

• In un fluido con gradiente di temperatura, l'agitazione molecolare maggiore tende a trasferirsi alla zona di agitazione minore, il che risulta in un flusso termico normale che si valuta in base al gradiente (con il coefficiente di conducibilità termica к) con la legge di Fourier.
• qn = -к(dT/dn)
• Il numero adimensionale di Prandtl (Pr) è usato per valutare l'importanza relativa tra fenomeni viscosi e termici.
• Pr = (μcp)/K, dove cp è il calore specifico a pressione costante.

Parametri adimensionali principali

• Nello studio delle forze su un moto fluido, è utile introdurre alcuni parametri adimensionali.
• Il numero di Reynolds (Re) è il rapporto tra forze d'inerzia e forze viscose Re - VL/v = (ρVL)/μ

Ali e profili alari

• L'ala è un corpo allungato con apertura alare b e superficie in pianta S.
• Le sezioni trasversali dell'ala si chiamano profili alari, la sezione centrale è detta radice.
• Ogni profilo alare è descritto da una corda l, un inarcamento f(x) e uno spessore t.
• La corda misura la distanza tra il bordo d'attacco e il bordo di fuga.
• L'inarcamento è la differenza tra la linea di Camber ym(x) e la congiungente dei due bordi.
• La linea di Camber si calcola come media del dorso y+(x) e del ventre y-(x).

Azioni aerodinamiche sui profili alari

• La forza dF che agisce su due elementi ds del dorso e del ventre di un profilo, a causa della pressione relativa p-p∞, è data da dF = -(p+-p∞)ds⋅n
• La forza agente sull'asse y si ottiene integrando le relazioni delle forze di componenti y lungo la corda Ry = ∫dF = ∫[(p--p∞)-(p+-p∞)dx
• Spostandosi sugli assi vento, la portanza L è la forza perpendicolare alla direzione della corrente uniforme V∞.
• Per incidenze basse, si approssima alla risultante aerodinamica in y L ≈ ∫[(p-(p∞)-(p-(p∞)]dx
• Si determina anche un momento orario dovuto allo spostamento della posizione della portanza si valuta nel bordo d'attacco Ma = ∫[p+(P∞) - (p-P∞)]xdx
• Il punto del profilo per cui si annulla il momento si chiama centro di pressione, e si trova a una coordinata xcp dal bordo di attacco calcolabile come xcp = Ma/L.

Coefficienti aerodinamici per un'ala e per un profilo alare

• In aerodinamica, si definiscono i coefficienti aerodinamici per un'ala (portanza, resistenza e momento focale) come rapporti delle grandezze in considerazione rispetto alla forza della pressione dinamica a monte.
• Il coefficiente di portanza è Cl – L/((1/2pv^2)S)
• Analogamente, per un profilo alare di superficie l*1, si definiscono i coefficienti aerodinamici per un profilo alare.
• Infine, si definisce il coefficiente di pressione come Cp = (p-p∞)/(1/2pv^2)

Equazioni fondamentali

• Si presentano le principali equazioni per i fluidi. Di seguito, alcune domande per riformulare le fasi più importanti.

Tensore gradiente di velocità

• Il gradiente di un campo vettoriale valuta come tale campo varia nello spazio in termini di deformazione, scorrimento e rotazione. Il tensore gradiente di velocità è definito come: indicato nella risposta
• Si può esprimere come somma di due tensori.
• ∇V = D + B, dove D è il tensore di deformazione e scorrimento e B è il tensore di rotazione.
• Il tensore D misura la dilatazione nelle direzioni normali e la deformazione di una particella fluida; B misura la rotazione.
• Il tensore D ha traccia pari alla dilatazione volumetrica (variazione del volume a velocità V), mentre le altre componenti descrivono le deformazioni a taglio.

Fluido newtoniano e stokesiano

• Un fluido newtoniano rispetta la relazione tra sforzi e deformazioni τ = 2μD + λ(∇·V)I

Fluidodinamica integrale e lagrangiana

• L'equazione di continuità in forma integrale e lagrangiana è dp/dt dΩ = -∫ρV⋅ndo
• Rappresenta il principio di conservazioen della massa
• L'equazione di bilancio della quantità di moto è d/dt∫ΩρV dΩ = -∫σρV(V⋅n) dσ + ∫Ωρf dΩ + ∫σ P⋅n dσ
• Rappresenta principio di Newton
• L'equazione di bilancio dell'energia totale è d/dt∫ΩρE dΩ = -∫σρE(V⋅n) dσ + ∫σ(P⋅V)⋅n dσ + ∫Ω ρf⋅V dΩ - ∫σ q⋅n dσ + ∫Ω qcdΩ
• Contiene i termini di sforzi, pressioni, forze di campo e scambi di calore.

Equazioni di Navier-Stokes

• Si ottengono applicando le equazioni della fluidodinamica a un fluido newtoniano-stokesiano tale che: indicato nella risposta
• Si applica la legge di Fourier.
• Forniscono le equazioni in forma Lagrangiana (vedi risposta)

Equazioni di Eulero

• Si ricavano dalle equazioni di Navier-Stokes trascurando i contributi viscosi e diffusivi.
• Sono usate ad alto numero di Reynolds a distanza dalle pareti di un corpo immerso nel fluido.
• Vedi risposta per forma

Equazione di Bernoulli

• Esprime la conservazione dell'energia meccanica ed è p + 1/2ρV^2 + ρgh = costante
• Questo vale pero' per un fluido stazionario, irrotazionale, incomprimibile e inviscido.

Fluidi ideali incomprimibili

• Sono fluidi inviscidi e incomprimibili. È possibile studiarli con metodi basati sulle equazioni di Eulero e sul potenziale.

Circuitazione ed enunciazione dei teoremi di Helmholtz e Kelvin

• La circuitazione Γ è il valore dell'integrale: indicato nella risposta
• L'equazione di vorticità è Dw/Dt = ω⋅∇V
• Dai teoremi di Kelvin ed Helmholtz discendono teoremi equivalenti
• I due teoremi enunciano che, in un moto fluido, la circuitazione non può variare, così come la vorticità attraverso le superfici del moto.
• La vorticità è quindi trasportata con il fluido.
• Valgono per fluidi comprimibili barotropici.
• Altro significato del teorema è che per fluidi con vorticità iniziale nulla il flusso rimane irrotazionale.

Funzioni di potenziale e di corrente

• Prendendo un fluido irrotazionale ed incompressibile, esistono le relazioni ∇⋅V = 0 e ∇×V = ω = 0.
• La proprietà di un campo irrotazionale implica l'esistenza di una funzione Φ (funzione potenziale) tale che V = ∇Φ.
• Applicando la prima, si ottiene l'equazione di Laplace ∇²Φ = 0.
• Questa equazione fa sì che il problema della ricerca di Φ si possa risolvere sovrapponendo gli effetti di problemi secondari
• Integrare lungo una linea l, da un punto con potenziale Φo, dà la differenza di potenziale con un punto Фp come Фp = ∫v*t dl
• Ciò permette di mostrare come le linee a potenziale costante siano perpendicolari al campo vortoriale di velocita
• Possiamo definire anche funzione di corrente Ψ come le linee portano come ∫V ⋅ ndl che hanno anche l'equazione di Laplace

Campi semplici piani

• Corrente uniforme ha il campo moto espresso come V = ai + vj
• Le sue funzioni potenziale e di corrente sono espresse come ϕ = ux + vy ψ = -vx + uy

Doppietta

• La doppietta una sovrapposizione di campo sorgente e pozzo piano.
• Le funzioni di corrente si calcoloa per sovrapposizione degli effetti.

Simulazione di un cilindro

• Il flusso attorno ad un cilindro in una corrente uniforme può essere simulato sovrapponendo i campi.

Studio della trasformazione di Kutta-Joukowski

• Il flusso attorno ad un cilindro rotante è stato studiato con successo e questo è stato trasformato nei profili alari reali da T.J.

Trasformazioni conformi

• Di seguito le principali proprietà che si mantengono studiando la circuitazione da trasporre dal cilindro al profilo dell'ala

Potenziale complesso e velocità complessa

• Essendo Φ e Ψ due funzioni armoniche che rispettano le condizioni di Cauchy-Riemann, si definisce una funziona nota come potenziale
• La derivata in senso complesso definisce la velocita complessa

Trasformazione di Kutta-Joukowski.

• Una funzione che permette di passare da un cilindro rotante ad un profilo alare

Profili sottili

• Lo studio di questa teoria parte da studio dei profili e arriva al campo moto per le aerodinamicita

Problema del profilo alare

• V campo di moto che investono un profilo
• V è l'equazione che lega campo di moto e perturbamento

Equazione tangenziale

• V. n tangente al campo e Bernoulli lineale

Ali ad allungamento finito

• Il caso dei profili alari esteso al tridimensionale

La vorticità

• Dinamica della vorticita e studio della sua dinamica
• Formule dinamiche

Il teorema di Kutta Joukowski

• Per superfici a vortice aderente o libero
• Teorema applicato

Teoria della linea portante

• La linearita di traccia in 3D
• Equazioni per ali ad allungamento limitato

Fluidi reali incomprimibili

• Per un fuido reale si considera la viscosita

Equazione di Navier Stokes

• Per un fuido incomprimibile e le relative proprieta

Equazione di Poisson

• Applicata al significtao per quanto riguarda diversi fluidi ed il suo significato

Flusso di Couette

• Si definisce come una velocita V parallela ad x in funzione di y

Flusso di Hagen-Pouseuille

• Si definisce come una velocita V parallela ad z in funzione di r

Equazioni adimensionali

• Di Navier-Stokes, Eulero e di stokes per diverse applicazione

Teoria dello stato limite

• Zona aderenze ad un corpo e studio delle grandezze tipiche

Ipotesi e formulazione

• Scrittura in coordinate cartesiane e ipotesti

Approssimazione

• Equazioni al coefficiente di attriti basato sullo studio di Von Karman

Esplora l'ipotesi del continuo in meccanica dei fluidi e le sue condizioni di validità. Scopri quando un fluido può essere trattato come continuo e quando questa approssimazione fallisce. Approfondisci il significato del numero di Knudsen.