Mécanique Quantique Chapitre III
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Questions and Answers

Quel est le résultat de l'application d'un bra sur un ket ?

  • Un vecteur
  • Une matrice hermitienne
  • Une valeur propre
  • Un produit scalaire (correct)

Qu'est-ce qui caractérise un opérateur auto-adjoint ?

  • Les éléments diagonaux sont imaginaires
  • † =  (correct)
  • † ≠ Â
  • Tous les éléments sont complexes

Quelles propriétés ont les matrices hermitiennes ?

  • Elles ne peuvent pas être infinies
  • Elles sont toutes réelles
  • Elles ont des éléments non-diagonaux aléatoires
  • Elles sont diagonalisables (correct)

Quel est le spectre des résultats de mesure d'une grandeur A ?

<p>Les valeurs propres de l'observable  (A)</p> Signup and view all the answers

Que signifie qu'une matrice est hermitienne ?

<p>Elle présente une symétrie par rapport à la diagonale (B)</p> Signup and view all the answers

Quel type de spectre peut avoir une observable ?

<p>Peut être discret ou continu (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'intérêt principal des notations de Dirac en physique quantique ?

<p>Oublier les mathématiques de l'espace dual (B)</p> Signup and view all the answers

Qu'indiquent les valeurs sur la diagonale d'une matrice hermitienne ?

<p>Les valeurs propres (A)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un état factorisable ?

<p>Un état sans corrélations entre différents systèmes. (A)</p> Signup and view all the answers

Quel exemple représente un état intriqué ?

<p>|↑↑i + |↑↓i + |↓↑i + |↓↓i (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'un état intrinsèque ?

<p>Un état qui ne peut pas être factorisé. (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle expression représente un état factorisable pour des variables x, y et z ?

<p>χ(r) = ϕ(x) ⊗ φ(y) ⊗ ψ(z) (D)</p> Signup and view all the answers

Comment est défini l’opérateur de position dans l'espace Er ?

<p>R̂ = R̂x ⊗ R̂y ⊗ R̂z (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'action de l'opérateur R̂x dans l'espace Ex ?

<p>Multiplication par la coordonnée x. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle caractéristique définit un état qui n'est pas factorisable ?

<p>Les mesures dans un espace affectent l'autre espace. (D)</p> Signup and view all the answers

Quels états peuvent être considérés comme des fonctions d'onde séparables ?

<p>|x, y, zi = |xih ⊗ |yih ⊗ |zih (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'expression correcte pour la probabilité d'obtenir un résultat de mesure entre α et α + dα ?

<p>$dP(α) = |hα|ψi|^2 dα$ (D)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui caractérise un état physique dans ce contexte ?

<p>Un vecteur normé à un facteur de phase multiplicatif près. (A)</p> Signup and view all the answers

Que se passe-t-il immédiatement après une mesure de A sur le système dans l'état |ψi ?

<p>L'état du système devient la projection normée sur le sous-espace propre associé. (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'effet de la mesure sur l'état du système ?

<p>Elle modifie irréversiblement l'état du système. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition est mentionnée concernant le sous-espace propre associé à une valeur de mesure an en l'absence de dégénérescence ?

<p>Il est de dimension 1. (C)</p> Signup and view all the answers

Si une mesure est refaite immédiatement après la première mesure, que se passe-t-il selon le postulat ?

<p>On retrouvera la même valeur de manière certaine. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle partie du phénomène quantique est illustrée par la mesure ?

<p>La réduction du paquet d'ondes. (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le rôle du facteur de phase dans la distinction des états physiques ?

<p>Il rend les états indistinguables. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle propriété de la distribution de Dirac $ ext{δ}(x)$ est correcte ?

<p>$−∞ ext{δ}(x)dx = 1$ (C)</p> Signup and view all the answers

Comment est exprimée la fonction d'onde $ ext{ψ}(x)$ à l'aide de la base des positions ?

<p>$ ext{ψ}(x) = −∞ ψ(x)hx|x_idx$ (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la norme d'un état $|ψ⟩$ dans une base continue ?

<p>$⟨ψ|ψ⟩ = |c(α)|^2$ (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'équation qui décrit la relation de fermeture pour la base continue ?

<p>$∫ |α⟩⟨α|dα = I$ (A)</p> Signup and view all the answers

Comment est déterminée la composante $c_i$ dans la décomposition d'un état $|ψ⟩$ ?

<p>$c_i = ⟨i|ψ⟩$ (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété fondamentale de l'intégration impliquant la fonction de Dirac $ ext{δ}(x - x_0)$ ?

<p>$∫ −∞ f(x) ext{δ}(x - x_0)dx = f(x_0)$ (A)</p> Signup and view all the answers

Quel est le symbole utilisé pour représenter la base des positions ?

<p>{$|x⟩}$ (B)</p> Signup and view all the answers

Quel résultat est vrai pour le produit scalaire de deux états en base discrète ?

<p>$⟨i|j⟩ = δ(i,j)$ (D)</p> Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si l'on mesure par quelle fente l'électron est passé ?

<p>Il y a réduction du paquet d'ondes. (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le principal problème soulevé par le paradoxe du chat de Schrödinger ?

<p>La compatibilité des états quantiques et macroscopiques. (D)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la superposition quantique ?

<p>Un état où un objet peut être à la fois vivant et mort. (B)</p> Signup and view all the answers

Que signifie la décohérence dans le contexte de la mécanique quantique ?

<p>L'absence de superposition dans les objets macroscopiques. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité de trouver le chat vivant ou mort juste après l'ouverture de la boîte ?

<p>50% (C)</p> Signup and view all the answers

Quel lien existe entre l'atome instable et le chat dans l'expérience de Schrödinger ?

<p>L'état quantique de l'atome détermine l'état du chat. (C)</p> Signup and view all the answers

Pourquoi la superposition quantique du chat est-elle difficile à imaginer ?

<p>En raison de la taille macroscopique du chat. (B)</p> Signup and view all the answers

Comment la longueur d'onde de de Broglie est-elle pertinente dans le contexte du chat de Schrödinger ?

<p>Elle devient négligeable pour les objets macroscopiques. (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la fonction d'onde représente dans la base des positions?

<p>Une distribution δ(x−x0) (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre les représentations dans différentes bases?

<p>Un choix de base différent produit un ensemble de coordonnées différent (B)</p> Signup and view all the answers

À quoi correspond l'état d'un vecteur particulier de la base des impulsions?

<p>À une onde plane d'impulsion p0 (C)</p> Signup and view all the answers

Comment la fonction d'onde d'un vecteur |p0 i est-elle exprimée?

<p>ψp0 (x) = T F −1 {hp|p0 i} (B)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un opérateur linéaire  fait?

<p>Il transforme un ket en un autre ket (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant l'onde plane associée au ket |p0 i?

<p>Elle n'est pas de carré sommable (A)</p> Signup and view all the answers

En quoi diffèrent les représentations de la fonction d'onde?

<p>Elles regroupent des informations physiques distinctes (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la structure de la représentation de l'état d'un ket |ψi?

<p>|ψi = ψ(x)|xidx (C), |ψi = ψ(p)|pidp (D)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Propriétés de la distribution de Dirac en x=0

L'intégrale de la distribution de Dirac sur tout l'axe réel, en x=0, est égale à 1. Pour toute fonction f(x), l'intégrale de f(x)δ(x) sur tout l'axe réel est égale à f(0).

Propriétés de la distribution de Dirac en x=x0

L'intégrale de la distribution de Dirac sur tout l'axe réel, en x=x0, est égale à 1. Pour toute fonction f(x), l'intégrale de f(x)δ(x-x0) sur tout l'axe réel est égale à f(x0).

Fonction d'onde ψ(x)

La fonction d'onde d'un état quantique |ψi dans la base des positions {|xi}. Elle est obtenue en projetant l'état sur chaque position x.

Base continue

Une base orthonormée formée d'un ensemble continu d'états indexés par une variable continue comme α ∈ R.

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Base discrète

Une base orthonormée formée d'un ensemble discret d'états indexés par un entier i ∈ ℕ.

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Relation de fermeture (base continue)

Intégrale sur une base continue qui permet de retrouver l'opérateur identité.

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Produit scalaire (base continue)

Calcul du produit scalaire entre deux états quantiques |ψi et |χi dans une base continue. Une intégrale impliquée.

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Norme (base continue)

Calcul de la norme d'un état quantique |ψi dans une base continue. L'intégrale du carré de la composante est impliquée.

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Fonction d'onde

Représentation d'un vecteur quantique dans une base spécifique, comme la base des positions ou des impulsions.

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Représentation d'un ket

La manière dont un vecteur quantique (ket) est exprimé dans une base particulière. Le choix de la base change la représentation d'un même ket.

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Base des impulsions

Ensemble de vecteurs orthogonaux représentant les états d'impulsion d'une particule.

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Fonction d'onde d'une onde plane

Une fonction d'onde associée à un état d'impulsion unique (par exemple, |p0⟩) telle qu'une onde plane.

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Fonction d'onde |x0⟩

La fonction d'onde associée à un état de position précise |x0⟩ est une distribution delta de Dirac δ(x-x0).

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Fonction d'onde |p0⟩

La fonction d'onde associée à un état d'impulsion précise |p0⟩ est une onde plane.

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Opérateur linéaire

Un outil mathématique qui transforme un ket en un autre ket.

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Transformation de Fourier

Une technique mathématique relié la fonction d'onde en position et en impulsion.

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Bra hψ|

Une application qui transforme un ket |ϕi quelconque en un produit scalaire : |ϕi −→ hψ|ϕi.

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Espace dual E*

L'ensemble de tous les bras associés aux kets de l'espace vectoriel E.

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Règles de conjugaison hermitique

Des règles qui définissent comment conjuguer les expressions en notation de Dirac.

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Opérateur auto-adjoint

Un opérateur dont l'adjoint hermitique est égal à lui-même, † = Â.

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Matrice hermitienne

Une matrice dont les éléments diagonaux sont réels et les éléments non-diagonaux présentent une symétrie de conjugaison par rapport à la diagonale.

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Propriété fondamentale des matrices hermitiennes

Les matrices hermitiennes sont diagonalisables.

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Valeurs propres d'un observable Â

Les résultats possibles de la mesure de la grandeur physique représentée par l'observable Â.

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Spectre d'un observable Â

L'ensemble des valeurs propres de l'observable Â.

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Spectre continu

Ensemble de valeurs possibles pour une grandeur physique, où les valeurs peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné.

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Probabilité de mesure

Probabilité d'obtenir un résultat de mesure compris entre deux valeurs données pour une grandeur physique.

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Kets colinéaires

Deux vecteurs d'état qui pointent dans la même direction, mais peuvent différer par un facteur de phase.

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Postulat de réduction du paquet d'ondes

Lors d'une mesure, l'état du système change instantanément et devient la projection sur le sous-espace propre associé au résultat de la mesure.

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Projection normée

Projection d'un vecteur d'état sur un sous-espace propre, normalisée pour avoir une norme égale à 1.

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Sous-espace propre

Ensemble de tous les vecteurs d'état qui donnent la même valeur pour une mesure donnée.

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Réduction du paquet d'ondes

Changement brusque et irréversible de l'état du système quantique après une mesure.

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Mesure modifie l'état

Une action de mesure en mécanique quantique ne se contente pas d'observer, mais provoque une modification fondamentale de l'état du système.

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État factorisable

Un état quantique qui ne présente aucune corrélation entre les degrés de liberté de deux sous-systèmes. Il peut être représenté comme la simple juxtaposition de deux états issus de chaque sous-système.

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État intriqué

Un état quantique qui ne peut pas être factorisé en deux états indépendants. Il présente des corrélations entre les degrés de liberté de deux sous-systèmes.

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Exemple d'intrication

La fonction d'onde ψ(x, y, z) représentant un état où les degrés de liberté x, y et z sont intriqués. Au contraire, les fonctions d'ondes à variables séparées, comme χ(r) = ϕ(x)φ(y)ψ(z), correspondent à un état factorisable.

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Produit tensoriel

Une opération qui combine deux espaces vectoriels distincts pour créer un nouvel espace vectoriel plus grand. Elle est utilisée pour représenter les états de systèmes composites.

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Notation du produit tensoriel

La notation |ϕ1 i ⊗ |ψ2 i pour le vecteur produit tensoriel est souvent simplifiée en |ϕ1 i |ψ2 i, en gardant en tête l'ordre des espaces 1 et 2.

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Opérateur position dans Er

Défini par R̂ = R̂x ⊗ R̂y ⊗ R̂z, où R̂i ∈ Ei avec i = x, y, ou z. Il mesure la position dans l'espace tridimensionnel.

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Action de l'opérateur R̂x

Multiplie la coordonnée x en représentation |ri, ce qui signifie qu'il donne la valeur de la coordonnée x du vecteur propre |ri.

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Action de l'opérateur R̂y et R̂z

Les opérateurs R̂y et R̂z réalisent respectivement la multiplication par y et z en représentation |ri, donnant les coordonnées y et z du vecteur propre |ri.

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Paquet d'ondes

La représentation d'une particule quantique, qui se propage comme une vague, possédant à la fois une position et une impulsion.

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Interférences

Le phénomène qui survient lorsque deux ou plusieurs ondes se chevauchent, créant des points d'intensité maximale et minimale.

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Paradoxe du chat de Schrödinger

Une expérience de pensée mettant en scène un chat dans une boîte, vivant ou mort selon l'état d'un atome radioactif, illustrant le concept de superposition quantique.

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Superposition quantique

L'état d'une particule quantique qui peut être dans plusieurs états simultanément avant d'être mesurée.

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Décohérence

Le processus par lequel la superposition quantique d'un système se désintègre, passant d'un état quantique à un état classique.

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Longueur d'onde de de Broglie

La longueur d'onde associée à une particule, qui dépend de son impulsion.

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Effets quantiques

Les phénomènes qui se produisent uniquement à l'échelle atomique, où les lois de la mécanique classique ne s'appliquent pas.

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Study Notes

Chapitre III : Postulats de la mécanique quantique en notations de Dirac

  • Table des matières: Ce chapitre présente les différents contenus abordés, avec leurs numéros de pages correspondants.
  • Espace vectoriel des états quantiques: Le concept de fonction d'onde est développé pour décrire une particule massive interagissant avec un potentiel.
  • Bases orthonormées (BON): Les bases discrètes et continues sont définies. La relation entre ket et fonction d'onde est expliquée. Les vecteurs de base sont normés et orthogonaux deux à deux.
  • Rôle central des opérateurs linéaires: Les opérateurs tels que î et p sont introduits en mécanique quantique. La commutation des opérateurs est abordée, et leurs propriétés sont analysées, notamment celle des opérateurs auto-adjoints. Le concept de projecteurs et de fermeture est également présenté.
  • Valeurs propres et vecteurs propres: Les valeurs propres et les vecteurs propres d'un observable sont abordés en tant que résultats possibles des mesures d'une grandeur physique. Les propriétés des observables sont explicitées.
  • L'espace des états approprié: La description d'un système physique, notamment l'espace des états, est détaillée, y compris la notion de produit tensoriel lié aux degrés de liberté interne et externe.
  • Etats factorisables ou intriqués: L'espace approprié pour un système physique composé de plusieurs particules est défini. Les états factorisables et intriqués sont expliqués.
  • Mouvement 3D : opérateurs R et P dans Er: Les opérateurs de position (R) et d'impulsion (P) dans un espace à trois dimensions (Er) sont expliqués, ainsi que leurs relations et propriétés de commutation.
  • Principe de correspondance: L'établissement des liens entre grandeurs classiques et quantiques est détaillé.
  • Evolution temporelle: L'équation de Schrödinger est décrite, expliquant l'évolution temporelle d'un système quantique. Les états stationnaires sont également traités.
  • Mesures quantiques: Probabilités de mesure d'une observable, la mesure qui modifie l'état du système, les mesures successives et la préparation d'un état quantique sont abordées.

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Chapitre III: Postulats de la mécanique quantique (PDF)

Description

Ce quiz explore les postulats de la mécanique quantique selon les notations de Dirac. Il couvre des concepts tels que les espaces vectoriels, les bases orthonormées, et le rôle des opérateurs linéaires. Testez vos connaissances sur les valeurs propres et les vecteurs propres d'un observable.

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