Matrizen: Grundlagen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine tabellarische Anordnung von Zahlen.
• Die einzelnen Zahlen innerhalb der Matrix werden als Elemente bezeichnet.

Matrix Beispiel

A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]

Matrix Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente einer Matrix werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes notiert, wobei der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte angibt.
• Das Element $a_{23}$ befindet sich in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Matrix Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Matrix Operationen

Addition

• Die Addition ist nur zwischen Matrizen mit identischen Dimensionen möglich.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Für zwei $m \times n$ Matrizen $A$ und $B$ ist die Summe $C = A + B$ ebenfalls eine $m \times n$ Matrix, wobei $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Multiplikation mit Skalar

• Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar (einer Zahl) erfolgt elementweise.
• Ist $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar, so ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix mit $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$.

Multiplikation von Matrizen

• Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist das Produkt $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix mit den Elementen $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$.

Matrix Eigenschaften

Assoziativität

• Das Assoziativgesetz gilt: $(AB)C = A(BC)$

Distributivität

• Das Distributivgesetz gilt bezüglich der Addition:
  • (A(B + C) = AB + AC)
  • ((A + B)C = AC + BC)

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen gilt die Kommutativität nicht: $AB \neq BA$

Transponierte Matrix

• Die Transponierte einer Matrix $A$, geschrieben als $A^T$, entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, wobei $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften der Transponierten

• ((A + B)^T = A^T + B^T)
• ((kA)^T = kA^T)
• ((AB)^T = B^T A^T)
• ((A^T)^T = A)

Identitäts Matrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall sonst.
• Beispiel:

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

• Für jede Matrix $A$ gilt: $AI = IA = A$.

Inverse einer Matrix

• Die Inverse einer Matrix $A$, notiert als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die gilt: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet, andernfalls als singulär.

Determinante einer Matrix

• Die Determinante einer Matrix ist ein Wert, der aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante von $A$ wird als det($A$) oder $|A|$ notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det($A^T$) = det($A$)
• det($AB$) = det($A$)det($B$)
• det($A^{-1}$) = 1/det($A$)

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

A = [ a b c d ]

• det($A$) = $ad - bc$

3x3 Matrix

A = [ a b c d e f g h i ]

• det($A$) = $aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix (Comatrix)

• Die Kofaktormatrix einer Matrix $A$, bezeichnet als Com($A$), ist eine Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ wird definiert durch $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von $A$ entsteht.

Eigenschaft der Kofaktormatrix

• Die Inverse einer Matrix kann mit der Kofaktormatrix berechnet werden: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$

Lösung von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Ein lineares Gleichungssystem kann in Matrixform dargestellt werden als $Ax = b$, wobei $A$ die Koeffizientenmatrix, $x$ der Vektor der Variablen und $b$ der Vektor der konstanten Terme ist.

A = [ a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ]

x = [ x1 x2 ... xn ]

b = [ b1 b2 ... bm ]

• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Kanal Kapazität

• Die Kanalkapazität, bezeichnet mit (C), ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Sie wird in Bits pro Kanalnutzung gemessen.

Diskreter Gedächtnisloser Kanal (DMC)

• In einem DMC wird der Kanal durch einen Satz von Übergangswahrscheinlichkeiten (P(y|x)) definiert, wobei (x) das Eingangssymbol und (y) das Ausgangssymbol ist.
• Der Kanal ist gedächtnislos, was bedeutet, dass der aktuelle Ausgang nur vom aktuellen Eingang abhängt und nicht von vergangenen Eingängen oder Ausgängen.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität (C) eines DMC ist gegeben durch:
• $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$, wobei:
  • (I(X; Y)) die gegenseitige Information zwischen dem Eingang (X) und dem Ausgang (Y) ist.
  • (p(x)) die Eingangs-Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• (C \geq 0): Die Kanalkapazität ist nicht-negativ.
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)): Die Kanalkapazität ist durch die Größe des Eingangs- und Ausgangs- Alphabets begrenzt.

Beispiele für die Berechnung der Kanalkapazität

1. Rauschfreier Binärkanal

• Gegeben sei eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang immer gleich dem Eingang ist:

p(y|x) = [ 1 0 0 1 ]

• Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

2. Verrauschter Kanal

• Gegeben sei eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang eine deterministische Funktion des Eingangs ist, aber nicht unbedingt gleich:

p(y|x) = [ 1 0 0 1 ]

• Die Kanalkapazität beträgt (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

3. Verrauschter Fernschreiber

• Für ein Alphabet der Größe (|X| = a) wird jeder Eingang sich selbst und dem nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugeordnet: $C = \log a - 1$

4. Binärer Symmetrischer Kanal (BSC)

Binärer Kanal mit Übergangswahrscheinlichkeit (p), wobei ein Bit mit Wahrscheinlichkeit (p) während der Übertragung umgedreht wird. $C = 1 - H(p)$, wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

5. Binärer Auslöschungskanal (BEC)

Binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird. $C = 1 - \alpha$

Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip, im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli entdeckt, besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Luft strömt schneller über die Oberfläche als darunter.
• Hohe Geschwindigkeit erzeugt niedrigeren Druck oben.
• Auftrieb entsteht aufgrund des Druckunterschieds.

Tragflächendesign

Spezielle Form maximiert den Auftrieb Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante

Druckverteilung

• Niedrigerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Bernoulli-Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{Konstante}$ Hierbei gilt:

• $V$ = Fluiddurchflussgeschwindigkeit
• $g$ = Erdbeschleunigung
• $z$ = Höhe
• $p$ = Druck
• $\rho$ = Dichte

Exekutivzusammenfassung

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA-Risikobewertung (Preliminary System Risk Assessment) des Systems zusammen.

Haupterkenntnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Anmeldeinformationen.
• Malware: Schadsoftware, die die Integrität des Systems gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung von Diensten durch Sättigung von Ressourcen.

Festgestellte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und nachlässige Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.

Potenziellen Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Daten.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

Schutzmaßnahmen gegen Bedrohungen

• Implementierung der Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Beseitigung von Schwachstellen

• Regelmäßiges Aktualisieren der Software und Anwenden von Sicherheitspatches.
• Verstärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung der seitlichen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Reaktionsplans für Vorfälle zur Abschwächung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung der Mitarbeiter in Bezug auf IT-Sicherheit und Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA-Bewertung hat die Bedeutung des Systems und der Risiken für die Welt verdeutlicht.

Reguläre Ausdrücke

Definition

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die ein Suchmuster definiert. Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus:
  • Literale Zeichen: z.B. a, b, c, 1, 2, 3
  • Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. ., *, +, ?, [], (), |, ^,$

Metazeichen Tabelle

Zeichenklassen Tabelle

Quantoren

Beispiele

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa", usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt. Sie können verwendet werden, um:
  • Text zu suchen und zu ersetzen
  • Daten zu validieren
  • Text zu extrahieren
  • Text zu parsen

Tools

• Es gibt viele Online-Tools, um reguläre Ausdrücke zu testen und zu debuggen, z.B.:\
  • Regex101: https://regex101.com/
  • RegExr: https://regexr.com/

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Es ist wichtig, reguläre Ausdrücke sorgfältig zu testen, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken. Die Syntax kann sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden.

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit spitzem Winkel $\theta$:

• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse:

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachte einen Einheitskreis (Radius = 1) zentriert am Ursprung.
• Ein Winkel $\theta$ wird entgegen dem Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die terminale Seite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

$y = \sin x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

$y = \cos x$

• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich: $(-\infty, \infty)$
• Wertebereich: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

$y = \tan x$

• Periode: $\pi$
• Definitionsbereich: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist
• Wertebereich: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Trigonometrische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel Summen- und Differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppel-Winkel Identitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkel Formeln

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

• Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$): $$y = \sin^{-1} x$$ nur wenn$$\sin y = x$$ wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
• Inverser Cosinus (arccos oder $\cos^{-1}$):

$$y = \cos^{-1} x$$ nur wenn$$\cos y = x$$ wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.

• Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$):

$$y = \tan^{-1} x$$ nur wenn$$\tan y = x$$ wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Trigonometrische Gesetze und Regeln

Sinusregeln

In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln A, B, C gegenüber diesen Seiten: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Kosinusregeln

In jedem Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkel C gegenüberliegender Seite c:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$