Matplotlib-Bibliothek in Python

Matplotlib

• Matplotlib ist eine umfassende Bibliothek in Python zur Erstellung statischer, animierter und interaktiver Visualisierungen.
• Sie vereinfacht einfache Aufgaben und ermöglicht komplexe Darstellungen.
• Sie ermöglicht die Erstellung von Diagrammen in Publikationsqualität.
• Interaktive Abbildungen mit Zoom-, Schwenk- und Aktualisierungsfunktionen können erstellt werden.
• Visuelle Stile und Layouts können angepasst werden.
• Der Export in viele Dateiformate ist möglich.
• Die Bibliothek kann in JupyterLab und grafische Benutzeroberflächen eingebettet werden.
• Matplotlib wird von einer großen, aktiven Entwicklergemeinschaft instand gehalten.

Installation

• Matplotlib kann mit pip install matplotlib installiert werden.

Pyplot

• matplotlib.pyplot ist eine Sammlung von Funktionen, die Matplotlib wie MATLAB funktionieren lassen.
• Jede pyplot-Funktion verändert eine Abbildung: Erstellung einer Abbildung, Anlegen eines Zeichenbereichs, Zeichnen von Linien, Beschriften usw.

Beispiel

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## Daten vorbereiten
x = np.linspace(0, 10, 100)

## Daten darstellen
plt.plot(x, x, label='linear')

## Legende hinzufügen
plt.legend()

## Abbildung anzeigen
plt.show()

• Das generierte Beispiel zeigt einen Liniengraph mit einer Legende, wobei x und y im Bereich von 0 bis 10 liegen und eine lineare Beziehung darstellen.

Anatomie einer Matplotlib-Abbildung

• Die Abbildung zeigt die Hauptelemente einer Matplotlib-Abbildung, wie Figure, Axes, Data, Spines, Axis, Tick, Tick Label, Title, X/Y Axis Label, Major/Minor Ticks und Legend.

Arten von Diagrammen

Liniendiagramm

• Zeigt Trends über die Zeit
• Vergleicht mehrere Reihen

plt.plot(x, y)

Streudiagramm

• Zeigt die Beziehung zwischen zwei Variablen
• Erkennt Cluster und Ausreißer

plt.scatter(x, y)

Balkendiagramm

• Vergleicht Werte über Kategorien hinweg

plt.bar(x, height=y)

Histogramm

• Zeigt die Verteilung einer einzelnen Variablen

plt.hist(x, bins=10)

Anpassung

Farben

plt.plot(x, y, color='red')

Linienstile

plt.plot(x, y, linestyle='--')

Marker

plt.plot(x, y, marker='o')

Beschriftungen und Titel

plt.xlabel("X-Achse")
plt.ylabel("Y-Achse")
plt.title("Mein Diagramm")

Subplots

plt.subplot()

plt.subplot(1, 2, 1) # row, column, panel number
plt.plot(x, y)
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, y**2)

plt.subplots()

fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=2)
axes[0, 0].plot(x, y)
axes[0, 1].plot(x, np.sin(x))
axes[1, 0].plot(x, np.cos(x))
axes[1, 1].plot(x, y**2)

3D-Diagramme

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

## Erstellen der Abbildung
fig = plt.figure(figsize=(12, 12))

## 3D-Subplot hinzufügen
ax = fig.add_subplot(projection='3d')

size = 30
x, y, z = np.random.random(size), np.random.random(size), np.random.random(size)
colors = np.random.random(size)

ax.scatter(x, y, z, s=500*colors, c = colors, marker= 'o')
plt.show()

Kapitel 14 - Datenanalyse mit Pandas

14.1 - Einführung in Pandas

• Pandas ist eine leistungsstarke Python-Bibliothek für Datenmanipulation und -analyse.
• Sie bietet Datenstrukturen wie DataFrames und Series für eine effiziente Datenverarbeitung.
• Bietet Werkzeuge zur Datenbereinigung, -transformation und -exploration.
• Integriert sich gut mit anderen Bibliotheken wie NumPy und Matplotlib.

Warum Pandas verwenden?

• Einfache Verwendung für Datenmanipulationsaufgaben.
• Verarbeitet große Datensätze effizient.
• Bietet eine breite Palette von Funktionen für die Datenanalyse.
• Vereinfacht die Datenbereinigung und -vorverarbeitung.

Installation von Pandas

pip install pandas

Importieren von Pandas

import pandas as pd

14.2 - Pandas-Datenstrukturen

Series

• Ein eindimensionales, beschriftetes Array, das jeden Datentyp aufnehmen kann.

Erstellen einer Series

import pandas as pd

## Aus einer Liste
data = [10, 20, 30, 40, 50]
series = pd.Series(data)
print(series)

0    10
1    20
2    30
3    40
4    50
dtype: int64

## Mit benutzerdefiniertem Index
series = pd.Series(data, index=['a', 'b', 'c', 'd', 'e'])
print(series)

a    10
b    20
c    30
d    40
e    50
dtype: int64

Zugriff auf Daten in einer Series

print(series['a']) # Output: 10
print(series)   # Output: 10

Series-Attribute

• index: Gibt den Index der Series zurück.
• values: Gibt die Werte der Series als NumPy-Array zurück.
• dtype: Gibt den Datentyp der Series zurück.

print(series.index)
print(series.values)
print(series.dtype)

DataFrame

• Eine zweidimensionale, beschriftete Datenstruktur mit Spalten von potenziell unterschiedlichen Typen.
• Kann als Tabelle oder Tabellenkalkulation betrachtet werden.

Erstellen eines DataFrames

import pandas as pd

## Aus einem Wörterbuch
data = {
    'Name': ['Alice', 'Bob', 'Charlie', 'David'],
    'Age': [25, 30, 22, 28],
    'City': ['New York', 'Paris', 'London', 'Tokyo']
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

      Name  Age      City
0    Alice   25  New York
1      Bob   30     Paris
2  Charlie   22    London
3    David   28     Tokyo

Zugriff auf Daten in einem DataFrame

• Auf Spalten kann über die Klammer-Notation oder die Punkt-Notation zugegriffen werden.
• Auf Zeilen kann mit .loc (labelbasiert) oder .iloc (integerbasiert) zugegriffen werden.

## Zugriff auf eine Spalte
print(df['Name'])
print(df.Age)

## Zugriff auf eine Zeile
print(df.loc)
print(df.iloc)

DataFrame-Attribute

• columns: Gibt die Spaltenbeschriftungen des DataFrames zurück.
• index: Gibt den Index des DataFrames zurück.
• shape: Gibt ein Tupel zurück, das die Dimensionen des DataFrames darstellt.
• dtypes: Gibt die Datentypen jeder Spalte zurück.

print(df.columns)
print(df.index)
print(df.shape)
print(df.dtypes)

14.3 - Dateneingabe und -ausgabe

Lesen von Daten

• Pandas kann Daten aus verschiedenen Dateiformaten wie CSV, Excel, SQL und mehr lesen.

Lesen von CSV-Dateien

import pandas as pd

## Lesen einer CSV-Datei
df = pd.read_csv('data.csv')
print(df.head()) # Anzeigen der ersten Zeilen

Lesen von Excel-Dateien

## Lesen einer Excel-Datei
df = pd.read_excel('data.xlsx', sheet_name='Sheet1')
print(df.head())

Schreiben von Daten

• Pandas kann DataFrames in verschiedene Dateiformate schreiben.

Schreiben in CSV-Dateien

## Schreiben in eine CSV-Datei
df.to_csv('output.csv', index=False) # index=False verhindert das Schreiben des Index

Schreiben in Excel-Dateien

## Schreiben in eine Excel-Datei
df.to_excel('output.xlsx', sheet_name='Sheet1', index=False)

14.4 - Datenbereinigung

Behandeln fehlender Daten

• Fehlende Daten sind ein häufiges Problem in realen Datensätzen.
• Pandas bietet Funktionen zum Erkennen und Behandeln fehlender Werte.

Erkennen fehlender Daten

• isnull(): Erkennt fehlende Werte (NaN) und gibt eine boolesche Maske zurück.
• notnull(): Erkennt nicht fehlende Werte und gibt eine boolesche Maske zurück.

import pandas as pd
import numpy as np

## Erstellen eines DataFrames mit fehlenden Werten
data = {
    'A': [1, 2, np.nan, 4],
    'B': [5, np.nan, 7, 8],
    'C': [9, 10, 11, np.nan]
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Erkennen fehlender Werte
print(df.isnull())

## Erkennen nicht fehlender Werte
print(df.notnull())

Behandeln fehlender Daten

• dropna(): Entfernt Zeilen oder Spalten, die fehlende Werte enthalten.
• fillna(): Füllt fehlende Werte mit einem angegebenen Wert oder einer Methode.

## Entfernen von Zeilen mit fehlenden Werten
df_dropna = df.dropna()
print(df_dropna)

## Füllen von fehlenden Werten mit einem bestimmten Wert
df_fillna = df.fillna(0)
print(df_fillna)

## Füllen von fehlenden Werten mit dem Mittelwert der Spalte
df_fillna_mean = df.fillna(df.mean())
print(df_fillna_mean)

Entfernen von Duplikaten

• Doppelte Zeilen können Analyseergebnisse verzerren.
• Pandas bietet eine Funktion zum Entfernen doppelter Zeilen.

import pandas as pd

## Erstellen eines DataFrames mit doppelten Zeilen
data = {
    'ID': [1, 2, 2, 3],
    'Value': ['A', 'B', 'B', 'C']
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Entfernen von doppelten Zeilen
df_no_duplicates = df.drop_duplicates()
print(df_no_duplicates)

14.5 - Datentransformation

Hinzufügen von Spalten

• Neue Spalten können einem DataFrame basierend auf vorhandenen Daten oder neuen Werten hinzugefügt werden.

import pandas as pd

## Erstellen eines DataFrames
data = {
    'Name': ['Alice', 'Bob', 'Charlie'],
    'Age': [25, 30, 22]
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Hinzufügen einer neuen Spalte
df['Salary'] = [50000, 60000, 45000]
print(df)

Umbenennen von Spalten

• Spaltennamen können zur Klarheit und Konsistenz geändert werden.

## Umbenennen von Spalten
df = df.rename(columns={'Name': 'Employee Name', 'Age': 'Employee Age'})
print(df)

Anwenden von Funktionen

• Funktionen können auf Spalten oder Zeilen angewendet werden, um Daten zu transformieren.

## Anwenden einer Funktion auf eine Spalte
def increment_age(age):
    return age + 1

df['Employee Age'] = df['Employee Age'].apply(increment_age)
print(df)

Gruppieren und Aggregieren von Daten

• Daten können basierend auf einer oder mehreren Spalten gruppiert werden, und Aggregatfunktionen können auf jede Gruppe angewendet werden.

import pandas as pd

## Erstellen eines DataFrames
data = {
    'Department': ['HR', 'IT', 'HR', 'IT', 'Finance'],
    'Employee': ['Alice', 'Bob', 'Charlie', 'David', 'Eve'],
    'Salary': [50000, 60000, 55000, 65000, 70000]
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Gruppieren nach Abteilung und Berechnen des durchschnittlichen Gehalts
grouped = df.groupby('Department')['Salary'].mean()
print(grouped)

14.6 - Datenfilterung und -sortierung

Filtern von Daten

• Zeilen können basierend auf Bedingungen gefiltert werden, die auf Spalten angewendet werden.

import pandas as pd

## Erstellen eines DataFrames
data = {
    'Name': ['Alice', 'Bob', 'Charlie', 'David'],
    'Age': [25, 30, 22, 28],
    'City': ['New York', 'Paris', 'London', 'Tokyo']
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Filtern von Zeilen basierend auf einer Bedingung
df_filtered = df[df['Age'] > 25]
print(df_filtered)

Sortieren von Daten

• Zeilen können basierend auf den Werten in einer oder mehreren Spalten sortiert werden.

## Sortieren des DataFrames nach Alter
df_sorted = df.sort_values(by='Age')
print(df_sorted)

## Sortieren in absteigender Reihenfolge
df_sorted_desc = df.sort_values(by='Age', ascending=False)
print(df_sorted_desc)

14.7 - Datenvisualisierung mit Pandas

Einfache Diagrammerstellung

• Pandas integriert sich mit Matplotlib, um einfache Diagrammerstellungsfunktionen direkt auf DataFrames und Series bereitzustellen.

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

## Erstellen eines DataFrames
data = {
    'Year': [2017, 2018, 2019, 2020, 2021],
    'Sales': [100, 120, 150, 130, 160]
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

## Erstellen eines Liniendiagramms
df.plot(x='Year', y='Sales', kind='line')
plt.title('Jährlicher Umsatztrend')
plt.xlabel('Jahr')
plt.ylabel('Umsatz')
plt.show()

## Erstellen eines Balkendiagramms
df.plot(x='Year', y='Sales', kind='bar')
plt.title('Jährliches Umsatz-Balkendiagramm')
plt.xlabel('Jahr')
plt.ylabel('Umsatz')
plt.show()

Anpassen von Diagrammen

• Matplotlib kann verwendet werden, um das Aussehen von Pandas-Diagrammen anzupassen.

## Anpassen eines Diagramms
df.plot(x='Year', y='Sales', kind='line', color='green', linestyle='--', marker='o')
plt.title('Benutzerdefinierter jährlicher Umsatztrend', fontsize=16)
plt.xlabel('Jahr', fontsize=12)
plt.ylabel('Umsatz', fontsize=12)
plt.grid(True)
plt.show()

14.8 - Fazit

Zusammenfassung

• Pandas ist eine leistungsstarke Python-Bibliothek für die Datenanalyse.
• Sie bietet flexible Datenstrukturen und Funktionen für die Datenmanipulation, -bereinigung, -transformation und -visualisierung.
• Pandas integriert sich gut mit anderen Bibliotheken wie NumPy und Matplotlib und ist somit ein vielseitiges Werkzeug für Datenexperten.

Weiterführende Erkundung

• Erkunden Sie die Pandas-Dokumentation für fortgeschrittenere Funktionen und Funktionen.
• Üben Sie mit realen Datensätzen, um praktische Erfahrungen zu sammeln.
• Erfahren Sie mehr über andere Datenanalysebibliotheken wie Scikit-learn für Aufgaben des maschinellen Lernens.

Lineare Algebra

1. Determinanten

1.1. Definition

• Sei $A \in M_n(\mathbb{K})$. Die Determinante von $A$, bezeichnet als $\det(A)$, ist das Element von $\mathbb{K}$ definiert durch:

$\qquad \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$

• Sie misst, wie sich das Volumen unter einer linearen Transformation verändert.
• Hierbei ist $S_n$ die Menge der Permutationen von ${1, \cdots, n}$ und $\epsilon(\sigma)$ die Signatur der Permutation $\sigma$.

Beispiele:

• Wenn $A = (a) \in M_1(\mathbb{K})$, dann $\det(A) = a$.
• Wenn $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})$, dann $\det(A) = ad - bc$.

1.2. Eigenschaften

• Seien $A, B \in M_n(\mathbb{K})$.
  • $\det(A^T) = \det(A)$.
  • $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.
  • Wenn $A$ dreieckig ist (obere oder untere Dreiecksmatrix), dann ist $\det(A)$ das Produkt der diagonalen Elemente von $A$.
  • Wenn $A$ zwei identische Zeilen (oder Spalten) hat, dann ist $\det(A) = 0$.
  • Wenn man zwei Zeilen (oder Spalten) von $A$ vertauscht, dann wird die Determinante mit $-1$ multipliziert.
  • Wenn man eine Zeile (oder Spalte) von $A$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathbb{K}$ multipliziert, dann wird die Determinante mit $\lambda$ multipliziert.
  • Wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) von $A$ eine Linearkombination der anderen Zeilen (oder Spalten) addiert, dann ändert sich die Determinante nicht.

1.3. Entwicklung einer Determinante

• Sei $A = (a_{i,j}) \in M_n(\mathbb{K})$. Der Minor von $A$, assoziiert mit dem Element $a_{i,j}$, ist die Determinante der Matrix, die man erhält, indem man die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte von $A$ entfernt, bezeichnet als $\Delta_{i,j}$. Der Kofaktor von $A$, assoziiert mit dem Element $a_{i,j}$, ist der Skalar $(-1)^{i+j} \Delta_{i,j}$, bezeichnet als $C_{i,j}$.

Theorem:

• Für jedes $i \in {1, \cdots, n}$ gilt:

$\qquad \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j}$ (Entwicklung nach der $i$-ten Zeile)

• Für jedes $j \in {1, \cdots, n}$ gilt:

$\qquad \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} C_{i,j}$ (Entwicklung nach der $j$-ten Spalte)

1.4. Anwendungen

• Berechnung der Inversen einer Matrix: Wenn $A \in M_n(\mathbb{K})$ invertierbar ist, dann ist $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (C_{i,j})^T$, wobei $(C_{i,j})$ die Matrix der Kofaktoren von $A$ ist.
• Lösung von linearen Gleichungssystemen: Seien $A \in M_n(\mathbb{K})$ eine invertierbare Matrix und $b \in \mathbb{K}^n$. Dann hat das System $Ax = b$ eine eindeutige Lösung $x \in \mathbb{K}^n$, die durch die Cramer'sche Regel gegeben ist:

$\qquad x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$, wobei $A_i$ die Matrix ist, die man erhält, indem man die $i$-te Spalte von $A$ durch den Vektor $b$ ersetzt.

• Berechnung des Rangs einer Matrix: Der Rang von $A$ ist die maximale Größe einer nicht-nullen Sub-Determinante von $A$.
• Determinanten helfen auch dabei, die Invertierbarkeit einer Matrix festzustellen.

Vorlesung 4: Lineare Regression mit einem Regressor

Das lineare Regressionsmodell

$$ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i $$

• $Y_i$ ist die abhängige Variable
• $X_i$ ist die unabhängige Variable
• $\beta_0$ ist der Achsenabschnitt
• $\beta_1$ ist die Steigung
• $u_i$ ist der Fehlerterm

Ordinary Least Squares (OLS) Schätzer

• Der OLS-Schätzer minimiert die Summe der quadrierten Fehler:

$$ \min_{\beta_0, \beta_1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \beta_0 - \beta_1 X_i)^2 $$

• Die OLS-Schätzer sind:

$$ \hat{\beta}1 = \frac{\sum{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)} $$

$$ \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} $$

Warum OLS?

• OLS ist einfach zu berechnen
• OLS ist konsistent und effizient unter bestimmten Annahmen

Annahmen für OLS

1. $E[u_i|X_i] = 0$ (Bedingter Mittelwert Null)
2. $(X_i, Y_i)$ sind i.i.d. (Unabhängig und identisch verteilt)
3. $E[X_i^4] < \infty$ und $E[Y_i^4] < \infty$ (Endliche vierte Momente)

Eigenschaften von OLS unter den Annahmen

1. Unverzerrtheit: $E[\hat{\beta}_1] = \beta_1$
2. Konsistenz: $\hat{\beta}_1 \xrightarrow{p} \beta_1$
3. Asymptotische Normalität: $\hat{\beta}_1 \xrightarrow{d} N(\beta_1, Var(\hat{\beta}_1))$

Varianz des OLS-Schätzers

$$ \hat{Var}(\hat{\beta}1) = \frac{\hat{\sigma}^2}{\sum{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} $$

Wobei

$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n} \hat{u}_i^2 $$

Und $\hat{u}_i = Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_i$

Hypothesenprüfung

• $H_0: \beta_1 = 0$ (Kein Effekt)
• $H_1: \beta_1 \neq 0$ (Effekt vorhanden)
• Test-Statistik:

$$ t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\sqrt{\hat{Var}(\hat{\beta}_1)}} $$

Unter $H_0$, $t \xrightarrow{d} t_{n-2}$

Konfidenzintervall

$$ CI = \hat{\beta}1 \pm t{n-2, \alpha/2} \sqrt{\hat{Var}(\hat{\beta}_1)} $$

R-Quadrat

$$ R^2 = \frac{ESS}{TSS} = 1 - \frac{SSR}{TSS} $$

• ESS: Erklärte Quadratsumme
• TSS: Totale Quadratsumme
• SSR: Summe der quadrierten Residuen

$R^2$ ist der Anteil der Stichprobenvarianz von $Y_i$, der durch $X_i$ erklärt wird.

Standardfehler der Regression (SER)

$$ SER = \hat{\sigma} = \sqrt{\hat{\sigma}^2} $$

• SER ist ein Maß für die Streuung des Fehlerterms $u_i$

Beispiel

• Angenommen, wir haben die folgende Regression:

$$ TestScore = 698.9 - 2.28 \times Size $$

Wobei:

• TestScore ist der durchschnittliche Testergebnis in einem Schulbezirk
• Size ist das Schüler-Lehrer-Verhältnis

Interpretation

• Ein Anstieg des Schüler-Lehrer-Verhältnisses um eine Einheit ist mit einer Abnahme des durchschnittlichen Testergebnisses um 2,28 Punkte verbunden.
• Der Achsenabschnitt ist 698,9, was das vorhergesagte Testergebnis ist, wenn das Schüler-Lehrer-Verhältnis Null ist.

Einschränkungen

• OLS ist ein lineares Modell, und die wahre Beziehung kann nicht-linear sein.
• OLS ist empfindlich gegenüber Ausreißern.
• OLS impliziert keine Kausalität.

MTH132 - Abschnitt 6.3 - Volumen durch Zylinderschalen

Einführung

• In diesem Abschnitt wird eine Methode zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern mithilfe von Zylinderschalen erläutert. Diese Technik ist besonders nützlich, wenn die Rotationsachse parallel zur Integrationsachse verläuft, was die Einrichtung und Berechnung im Vergleich zur Scheiben- oder Ringscheibenmethode vereinfachen kann.

Die Zylinderschalen-Methode

• Es wird ein Rotationskörper betrachtet, der durch Drehen einer Region um eine Achse erzeugt wird. Anstatt den Körper senkrecht zur Rotationsachse zu schneiden (wie bei der Scheiben- oder Ringscheibenmethode), wird er parallel zur Rotationsachse geschnitten, wodurch Zylinderschalen entstehen.
  • Jede Schale hat einen Radius $r$, eine Höhe $h$ und eine Dicke $\Delta r$.
  • Das Volumen einer einzelnen Zylinderschale beträgt ungefähr $2\pi r h \Delta r$.
  • Um das Gesamtvolumen zu finden, werden die Volumina dieser Schalen über das entsprechende Intervall integriert.

Formel für das Volumen nach der Zylinderschalenmethode

• Es wird eine Region betrachtet, die durch die Kurve $y = f(x)$, die x-Achse und die Linien $x = a$ und $x = b$ begrenzt ist und um die y-Achse gedreht wird. Das Volumen $V$ des resultierenden Körpers ist gegeben durch:

$\qquad V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) , dx$

• Im Allgemeinen, wenn eine Region um eine vertikale Achse $x = c$ gedreht wird, ist das Volumen $V$ gegeben durch:

$\qquad V = \int_{a}^{b} 2\pi |x - c| f(x) , dx$

• Wird eine Region durch $x = g(y)$, die y-Achse und die Linien $y = c$ und $y = d$ begrenzt und um die x-Achse gedreht, so ist das Volumen $V$ des resultierenden Rotationskörpers gegeben durch:

$\qquad V = \int_{c}^{d} 2\pi y g(y) , dy$

• Im Allgemeinen, falls eine Region um eine horizontale Achse $y = k$ gedreht wird, ist das Volumen $V$ gegeben durch:

$\qquad V = \int_{c}^{d} 2\pi |y - k| g(y) , dy$

Richtlinien zur Verwendung der Zylinderschalen-Methode

1. Skizzieren Sie die Region: Zeichnen Sie die Region und die Rotationsachse.
2. Identifizieren Sie Radius und Höhe: Bestimmen Sie den Radius $r$ und die Höhe $h$ einer typischen Zylinderschale. Diese sind Funktionen von entweder $x$ oder $y$, die von der Rotationsachse abhängen.
3. Richten Sie das Integral ein: Richten Sie das Integral für das Volumen mit der Formel ein:
   • Um eine vertikale Achse: $V = \int_{a}^{b} 2\pi r h , dx$
   • Um eine horizontale Achse: $V = \int_{c}^{d} 2\pi r h , dy$
4. Werten Sie das Integral aus: Werten Sie das Integral aus, um das Volumen zu finden.

Beispiele

Beispiel 1:

• Finden Sie das Volumen des Körpers, der erhalten wird, indem die Region begrenzt durch $y = x - x^2$ und $y = 0$ um die y-Achse gedreht wird.
• Lösung:*

1. Skizze: Die Region ist durch die Parabel $y = x - x^2$ und die x-Achse begrenzt.

2. Radius und Höhe:

   • Radius: $r = x$
   • Höhe: $h = x - x^2$

3. Integral:

$\qquad V = \int_{0}^{1} 2\pi x (x - x^2) , dx$

4. Auswerten:

$\qquad V = 2\pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) , dx = 2\pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 2\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{\pi}{6}$

• Daher ist das Volumen des Festkörpers $\frac{\pi}{6}$ Volumeneinheiten.

Beispiel 2:

• Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der durch $y = x^2$ und $x = y^2$ begrenzten Region um die Linie $x = -1$ entsteht.
• Lösung:*

1. Skizze: Die Region ist durch die Parabel $y = x^2$ und $x = y^2$ begrenzt.

2. Radius und Höhe:

   • Radius: $r = x + 1$
   • Höhe: $h = \sqrt{x} - x^2$

3. Integral:

$\qquad V = \int_{0}^{1} 2\pi (x + 1) (\sqrt{x} - x^2) , dx$

4. Auswerten:

$\qquad V = 2\pi \int_{0}^{1} (x^{3/2} - x^3 + x^{1/2} - x^2) , dx = 2\pi \left[ \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1}$

$\qquad V = 2\pi \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{24 - 15 + 40 - 20}{60} \right) = 2\pi \left( \frac{29}{60} \right) = \frac{29\pi}{30}$

• Daher beträgt das Volumen des Rotationskörpers $\frac{29\pi}{30}$ kubische Einheiten.

Fazit

• Die Zylinderschalenmethode bietet eine leistungsstarke Alternative zu den Scheiben- und Ringscheibenmethoden zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Durch Wahl der Methode, die am besten zur Geometrie des Problems passt, kann der Integrationsprozess oft vereinfacht und die Lösung effizienter gefunden werden.

Strahlungsprozesse

Einstein-Koeffizienten

• $N_i$: Teilchendichte der Atome im Zustand i.
• $N_j$: Teilchendichte der Atome im Zustand j.
• Gebunden-gebunden Übergang: $i \rightarrow j$
• Drei Arten von Strahlungsprozessen:

1. Spontane Emission: $j \rightarrow i$
   • Rate $\propto N_j$
   • Isotrope Emission
   • $A_{ji}$: Einstein-A-Koeffizient = Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für spontane Emission

$\qquad \left(\frac{d N_j}{d t}\right){spon}=-A{j i} N_j$

2. Absorption: $i \rightarrow j$
   • Rate $\propto N_i \bar{J}$
   • $\bar{J}$: mittlere Intensität gemittelt über Richtungen und Frequenzen in der Nähe des Übergangs.

$\qquad \bar{J}=\frac{1}{4 \pi} \int d \Omega \int \phi(\nu) I(\nu) d \nu$

Wobei $\phi(\nu)$ die Absorptionsprofil ist, normiert als $\int \phi(\nu) d \nu=1$

• $B_{ij}$: Einstein-B-Koeffizient für Absorption.

$\qquad \left(\frac{d N_i}{d t}\right){a b s}=-B{i j} N_i \bar{J}$

• $B_{ij} N_i \bar{J}$: Anzahl der Übergänge $i \rightarrow j$ pro Zeiteinheit und Volumen

3. Stimulierte Emission: $j \rightarrow i$
   • Rate $\propto N_j \bar{J}$
   • Das emittierte Photon hat die gleiche Richtung wie das einfallende Photon.