Mathématiques pour la 3D (CM2.3)

Un vecteur en 4D a quatre composantes: x, y, z et w. La composante w est appelée la coordonnée homogène. Elle représente une extension de l'espace physique 3D vers la 4D.

Le plan 2D standard est représenté dans l'espace homogène 2D en 3D par w = 1. Tous les points 2D peuvent être représentés en 3D en divisant par w.

Tout point en 4D de la forme (x, y, z, w) peut être projeté sur l'hyperplan w = 1 pour obtenir le point 3D physique (x/w, y/w, z/w).

Lorsque w = 0, le point 4D représente un point à l'infini, définissant une direction plutôt qu'une position.

Les coordonnées homogènes simplifient la notation des transformations linéaires. Les matrices 4 × 4 permettent de combiner les transformations linéaires, y compris les translations.

En utilisant les matrices 4 × 4, la division par w pour un point 4D (x, y, z, w) produit une projection en perspective.

La translation ne peut pas être représentée par une simple multiplication de matrices. Les matrices homogènes permettent de représenter les translations grâce à la coordonnée w.

Les matrices homogènes permettent de composer des transformations complexes à partir de transformations simples. Avec la multiplication et l'inversion de matrices, on peut gérer les relations entre différents systèmes de coordonnées.

Une transformation affine combine une transformation linéaire avec une translation.

La matrice de transformation affine finale est obtenue en multipliant la matrice de translation inverse, la matrice de transformation linéaire et la matrice de translation.

La division par w permet de représenter la projection en perspective et de transformer des points en 3D à partir de coordonnées homogènes en 4D.

En projection perspective, les projecteurs convergent vers un point appelé centre de projection, ce qui crée une image inversée.

Une caméra à sténopé est un modèle simple de projection perspective. La lumière passe par un trou et frappe le plan de projection, créant une image inversée.

La projection en perspective est importante en infographie car elle simule la façon dont nous percevons le monde.

Pour calculer les coordonnées en 3D d'un point projeté, il faut connaître la distance entre le centre de projection et le plan de projection.

La projection en perspective d'un objet devient plus petite lorsqu'il s'éloigne du centre de projection.

En mathématiques, une matrice homogène est une matrice utilisée pour représenter des transformations géométriques telles que les translations, rotations, mises à l'échelle et les réflexions dans un espace vectoriel de dimension supérieure. En utilisant des matrices homogènes, ces transformations peuvent être exprimées comme des multiplications matricielles.

Une matrice de transformation 3x3 standard ne peut pas représenter une translation, car elle ne peut que multiplier et combiner des vecteurs. En revanche, une matrice 4x4 permet d'ajouter une dimension, ce qui permet de représenter la translation comme une multiplication matricielle, ce qui est plus pratique pour les calculs.

En manipulant les matrices homogènes, il est possible de réaliser des transformations affines plus générales, qui incluent des translations, des rotations autour d'axes qui ne passent pas par l'origine, des mises à l'échelle par rapport à des plans qui ne passent pas par l'origine, des réflexions par rapport à des plans qui ne passent pas par l'origine et des projections orthographiques sur des plans qui ne passent pas par l'origine.

Le vecteur [x,y,z]T en 3D est représenté par [x, y, z, 1]T en 4D, et la partie supplémentaire, '1', permet de traduire la position du point dans l'espace 3D. En utilisant des matrices 4x4, la translation est réalisée en multipliant le vecteur par une matrice de translation qui décale les coordonnées du point.

Une transformation affine est une transformation géométrique qui préserve les lignes et les rapports de distances. Elle peut être décomposée en une transformation linéaire suivie d'une translation. Les matrices homogènes permettent de réaliser des transformations affines plus générales que les transformations linéaires standard, telles que les rotations autour d'un axe arbitraire ou les mises à l'échelle par rapport à un point arbitraire.

Une transformation affine peut être décomposée en trois étapes : translation du centre de la transformation vers l'origine, application d'une transformation linéaire et translation inverse du centre de la transformation à sa position d'origine. Ainsi, la matrice de transformation affine finale est le produit matriciel de la translation inverse, de la transformation linéaire et de la translation initiale.

En définissant la coordonnée w à 0, il est possible d'éviter d'appliquer la translation, ce qui peut être utile pour des transformations affines spécifiques. Cela signifie qu'un point avec w = 0 ne sera pas affecté par la traduction.

Les matrices homogènes offrent un moyen puissant et uniforme de représenter et de combiner des transformations géométriques, en particulier celles qui incluent des translations. Leur utilisation permet de simplifier et d'automatiser les calculs pour les transformations 3D, ouvrant de nouvelles possibilités dans les domaines de la modélisation 3D, de l'animation et des effets spéciaux.

Le plan de projection est déplacé vers z = d, devant le centre de projection, afin de simplifier les calculs et d'éviter les signes moins inutiles. Cela permet de simuler une caméra à sténopé dans un environnement informatique, où l'on peut gérer la lumière de manière différente.

La projection en perspective est définie par une matrice 4 × 4 qui multiplie un vecteur homogène [x, y, z, 1]T pour obtenir [x, y, z, z/d]T. Cette matrice permet de calculer le dénominateur approprié en w, qui sera utilisé pour la division de perspective lors du passage de la 4D à la 3D.

Calculer la valeur de px′, où x est la coordonnée horizontale d'un point et px′ est la coordonnée horizontale de sa projection en perspective. La valeur de px′ est proportionnelle à la distance entre l'origine et la projection du point : plus le point est loin de l'origine, plus sa projection sera petite.

Une caméra à sténopé est un appareil photo simple qui utilise un trou minuscule pour projeter une image inversée sur un écran. Dans une projection en perspective, l'image est également inversée,

Représente une extension de l'espace physique 3D vers la 4D, permettant la représentation du point à l'infini. La coordonnée w est utilisée pour des transformations linéaires et permet de composer

La transformation en perspective se produit lorsque l'on passe de la 4D à la 3D en divisant par w. La matrice 4 × 4 ne réalise pas la transformation en perspective elle-même, mais elle calcule le dénominateur approprié

En utilisant des matrices 4 × 4, les projections en perspective peuvent être combinées avec d'autres transformations, comme les translations et les rotations, pour créer des effets visuels plus complexes.

Toutes les valeurs de z des points projetés sont identiques et égales à −d, la valeur de z du plan de projection.