Mathématiques élémentaires (MP1) Exercice 9-10

Produits cartésiens et ensembles

• Considérer les ensembles A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, C = {1, 4}.
• Produit cartésien A × B = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}.
• Produit cartésien C × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.

Sous-ensembles de R²

• A = [0, 2] × [0, 2] : carré de côté 2 situé à l'origine.
• B = [1, 4] × [1, 3] : rectangle avec coins (1, 1), (4, 1), (1, 3) et (4, 3).
• A ∩ B : intersection des deux ensembles, qui forme un carré [1, 2] × [1, 2].
• C = {1} × [1, 2] : segment vertical à x=1, entre y=1 et y=2.
• D = [1, 2] × {1} : segment horizontal à y=1, entre x=1 et x=2.

Conditions et inégalités

• {M(x,y) | 2x + 3y - 5 = 0} : droite d'équation linéaire.
• {M(x,y) | 2x + y ≤ 1, −2 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 3} : région délimitée par une droite et les axes.
• {M(x,y) | (x−1)² + (y+3)² = 4} : cercle centré en (1, -3) avec un rayon de 2.
• {M(x,y) | x² + y² = 5 et y ≥ 0} : demi-cercle supérieur de rayon √5 centré à l'origine.

Notations en théorie des ensembles

• a ∈ E : a appartient à l'ensemble E.
• ∅ ⊂ E : l'ensemble vide est un sous-ensemble de E.
• {a} ⊂ E : l'ensemble contenant uniquement a est un sous-ensemble de E.
• {a, b} ⊂ E : l'ensemble contenant a et b est un sous-ensemble de E.

Ensemble des parties

• P(E) : ensemble des parties de E = {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}}.

Produits d'ensembles

• {a} × E = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} : produit contenant chaque élément a associé à tous les éléments de E.
• E × {a} = {(a, a), (b, a), (c, a), (d, a)} : produit contenant chaque élément de E associé à a.
• E × E : produit cartésien d'E avec lui-même, comprenant toutes les combinaisons possibles d'éléments de E.

Équivalence et preuve

• Équivalence à démontrer : (∀ε > 0 |a| < ε) est vrai si et seulement si a = 0.
• Analyser les implications données pour identifier la contraposition.
• Contraposition de A : a ≠ 0 implique (∀ε > 0 |a| ≥ ε) est vraie, donc B est la contraposition souhaitée.