Mathématiques: Définition et Types de Fonctions

Définition d'une Fonction

• Une fonction f est une relation qui associe à chaque élément x d'un ensemble X un unique élément y d'un ensemble Y.
• Notation : f(x) = y.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction est définie.

Types de Fonctions

• Fonction Linéaire :
  • Forme : f(x) = mx + b.
  • Propriétés :
    • Graphiquement, c'est une droite.
• Fonction Affine :
  • Forme : f(x) = mx + b, où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
• Fonction Quadratique :
  • Forme : f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.
  • Propriétés :
    • C'est une parabole.
    • Les racines peuvent être trouvées avec la formule quadratique.

Propriétés des Fonctions

• Continuité : Une fonction est continue si elle ne présente pas de sauts ou de trous dans son graphique.
• Monotonie :
  • Croissante : f(x1) < f(x2) pour x1 < x2.
  • Décroissante : f(x1) > f(x2) pour x1 < x2.

Définition d'une Fonction Affine

• Une fonction affine est une fonction qui peut être écrite sous la forme : f(x) = mx + b où :
  • f(x) est la valeur de la fonction pour une donnée x.
  • m est le coefficient directeur (pente) de la droite.
  • b est l'ordonnée à l'origine (valeur de y lorsque x = 0).

Caractéristiques des Fonctions Affines

• Coefficient Directeur m :
  • m > 0 : La droite est ascendante.
  • m < 0 : La droite est descendante.
  • m = 0 : La droite est horizontale.
• Ordonnée à l'Origine b :
  • L'ordonnée à l'origine b détermine où la droite coupe l'axe y. C'est le point (0, b).
• Représentation Graphique :
  • La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
  • Pour tracer la droite, on peut utiliser deux points :
    • Le point d'intersection avec l'axe y : (0, b).
    • Un second point calculé en choisissant une valeur pour x et en déterminant f(x).

Taux d'Accroissement

• Le taux d'accroissement entre deux points A(x_1, y_1) et B(x_2, y_2) est donné par : (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = m.
• Dans le cas des fonctions affines, ce taux est constant et égal à la pente m.

Exemples de Fonctions Affines

• Pour la fonction f(x) = 2x + 3 :
  • Coefficient directeur m = 2 (ascendante).
  • Ordonnée à l'origine b = 3 (la droite coupe l'axe y à (0, 3)).
• Pour la fonction f(x) = -0.5x + 1 :
  • Coefficient directeur m = -0.5 (descendante).
  • Ordonnée à l'origine b = 1 (la droite coupe l'axe y à (0, 1)).

Fonction Polynôme du Second Degré

• Une fonction polynôme du second degré est une fonction dont l'expression générale est :
  • f(x) = ax^2 + bx + c où :
    • a, b et c sont des coefficients réels.
    • a est différent de 0 (sinon, la fonction serait de premier degré).

Propriétés des Coefficients

• Coefficient principal a :
  • Détermine l'ouverture de la parabole (vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0).
• Coefficient linéaire b :
  • Influence la position de la parabole sur l'axe des abscisses.
• Constante c :
  • Représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de f(x) lorsque x = 0.

Forme Factorisée

• La forme factorisée d'une fonction polynôme du second degré est donnée par :
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)
  • où r_1 et r_2 sont les racines de la fonction.

Calcul des Racines

• Les racines (ou solutions) de la fonction sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
• Ces racines peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique :
  • r_1,2 = -b ± √(b² - 4ac) / 2a

Discriminant

• Le discriminant (se prononce delta) est défini comme : Δ = b² - 4ac.
• Interprétation du Discriminant :
  • Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes.
  • Si Δ = 0 : une racine réelle double (la parabole touche l'axe des abscisses).
  • Si Δ < 0 : pas de racines réelles (la parabole ne croise pas l'axe des abscisses).

Somme et Produit des Racines

• Pour un polynôme du second degré de la forme ax^2 + bx + c :
  • La somme des racines S est donnée par : S = r_1 + r_2 = -b/a.
  • Le produit des racines P est donné par : P = r_1 x r_2 = c/a.

Signe de la Fonction

• Le signe de la fonction polynôme du second degré dépend de la valeur de a et des racines.
• Si a > 0 :
  • La parabole s'ouvre vers le haut.
  • f(x) > 0 lorsque x < r_1 et x > r_2.
  • f(x) < 0 lorsque r_1 < x < r_2.
• Si a < 0 :
  • La parabole s'ouvre vers le bas.
  • f(x) < 0 lorsque x < r_1 et x > r_2.
  • f(x) > 0 lorsque r_1 < x < r_2.

Parabole Representative

• Forme Graphique :
  • La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole.
  • Axe de Symétrie : La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale, x = -b/2a.
  • Sommet de la Parabole : Les coordonnées du sommet S de la parabole peuvent être calculées comme suit :
    • S_x = -b/2a
    • S_y = f(-b/2a)

Calcul du Sommet

1. Calculez S_x avec S_x = -b/2a.
2. Remplacez S_x dans f(x) pour obtenir S_y.

Valeur Absolue

• La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite des nombres réels, sans tenir compte de son signe.
• Elle est toujours positive ou nulle.
• Notation : La valeur absolue d'un nombre x est notée ∣𝑥∣.
• Définition :
  • Pour un nombre positif ou nul : ∣x∣=x si 𝑥≥0
  • Pour un nombre négatif : ∣x∣=−x si 𝑥<0.

Problèmes de Logique

• Si |x + 3| = 7 , les valeurs possibles de x sont x = 4 ou x = -10.
• Si |x| + |y| = 10, quelques paires possibles de (x,y) sont (10,0), (0,10), (5,5), (8,2), (2,8), etc.
• Si |x - 1| < 3, les intervalles de valeur possibles pour x sont -2 < x < 4.
• Si |x + 2| = 3, les solutions sont x = 1 ou x = -5.
• Si |2x - 4| > ou = 0, toutes les valeurs de x satisfont cette condition.

Problèmes de Comparaison

• Pour x < 1, |x| > |x - 1|.
• Pour x = 0, |x + 2| > |x - 3|.
• Si |x| < |y|, x est plus petit que y en valeur absolue.
• Pour prouver que |x + y| < ou = |x| + |y|, on utilise l'inégalité triangulaire.
• Si |x| = |y|, x et y sont soit égaux, soit opposés.

Problèmes de Synthèse

• Une équation impliquant des valeurs absolues ayant plusieurs solutions est |x - 2| = |x + 1|.
• Un problème de mots nécessitant l'utilisation de la valeur absolue pour résoudre : Un cycliste part pour une randonnée de 10 km. Il parcourt 5 km vers l'est, puis 3 km vers l'ouest. Quelle est la distance totale parcourue par le cycliste ?
• Une situation réelle où la valeur absolue est indispensable : La mesure de l'erreur dans une expérience scientifique.
• Un scénario où la valeur absolue pourrait mener à une conclusion incorrecte si elle n'est pas appliquée correctement : Le calcul de la vitesse moyenne d'un objet en mouvement.
• Les erreurs communes lors de la résolution d'équations avec valeur absolue : Ne pas tenir compte des deux cas possibles, en oubliant de résoudre pour les deux solutions.

Définition d'une Fonction

• Une fonction f associe un unique élément y d'un ensemble Y à chaque élément x d'un ensemble X.
• La notation utilisée est f(x) = y.
• Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles la fonction est définie.

Types de Fonctions

• Une fonction linéaire prend la forme f(x) = mx + b.
• Graphiquement, une fonction linéaire est représentée par une droite.
• Une fonction affine prend la forme f(x) = mx + b, où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
• Une fonction quadratique prend la forme f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.
• Graphiquement, une fonction quadratique est représentée par une parabole.
• Les racines d'une fonction quadratique peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique.

Propriétés des Fonctions

• Une fonction est continue si son graphique ne présente pas de sauts ou de trous.
• Une fonction est croissante si f(x1) < f(x2) pour x1 < x2.
• Une fonction est décroissante si f(x1) > f(x2) pour x1 < x2.

Fonctions Affines

• Une fonction affine est une fonction qui peut être écrite sous la forme f(x) = mx + b.
• Le coefficient directeur m représente la pente de la droite, et l'ordonnée à l'origine b détermine où la droite coupe l'axe des ordonnées.
• Le taux d'accroissement entre deux points sur la droite est constant et égal à la pente m.

Fonction Quadratique

• Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de deuxième degré de la forme f(x) = ax² + bx + c où a ≠ 0.
• Le coefficient principal a détermine l'ouverture de la parabole (vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0).
• Le coefficient linéaire b influence la position de la parabole sur l'axe des abscisses.
• La constante c représente l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(x) lorsque x = 0).
• La forme factorisée de la fonction quadratique est f(x) = a(x - r1)(x - r2), où r1 et r2 sont les racines de la fonction.
• Les racines de la fonction sont les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0.
• La formule quadratique permet de calculer les racines : r1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• Le discriminant ∆ est défini comme ∆ = b² - 4ac.
  • Si ∆ > 0, il y a deux racines réelles distinctes.
  • Si ∆ = 0, il y a une racine réelle double (la parabole touche l'axe des abscisses).
  • Si ∆ < 0, il n'y a pas de racine réelle (la parabole ne croise pas l'axe des abscisses).
• La somme des racines est S = r1 + r2 = -b/a.
• Le produit des racines est P = r1 * r2 = c/a.
• Le signe de la fonction est déterminé par la valeur du coefficient principal a et les racines de l'équation.
• La parabole représentant la fonction quadratique est symétrique par rapport à un axe vertical, appelé axe de symétrie, qui est donné par l'équation x = -b / 2a.
• Le sommet de la parabole est situé à l'intersection de la droite d'équation x = -b / 2a avec la parabole. Son abscisse est S_x = -b / 2a et son ordonnée est S_y = f(-b/2a).
• La valeur absolue d'un nombre est la valeur de sa distance à zéro, abstraction faite du signe. Elle est toujours positive ou nulle.
• La valeur absolue d'un nombre x est notée |x|.
  • Si x ≥ 0 alors |x| = x
  • Si x < 0 alors |x| = -x