Mathématiques Chapitre 9 : Systèmes d'équations

Chapitre 9 : Les systèmes d'équations

• Un système d'équations est un ensemble de deux équations du premier degré à deux inconnues. L'objectif est de trouver la solution commune aux deux équations.

Partie 1 : Résolution graphique

• La résolution graphique implique le tracé des deux droites représentant les équations.
• La solution est le point d'intersection des deux droites.
• Les coordonnées de ce point constituent la solution du système.

Méthode graphique

• Tracer les droites.
• Déterminer les coordonnées du point d'intersection.
• Exemple d'équations: 3x + y = 4 et 6x + 5y = 2
• Exemple de points pour la première droite : (0, 4) et (4, -8).
• Exemple de points pour la deuxième droite : (0, 2/5) et (4, -22/5).
• La solution du système est le point (2, -2).

Partie 2 : La méthode de substitution

• Utiliser cette méthode lorsque le coefficient de l'une des inconnues dans une des équations est égal à 1.
• Isoler une inconnue dans une équation
• Remplacer l'inconnue isolée dans l'autre équation.
• Résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur de l'autre inconnue.
• Remplacer la valeur trouvée dans l'équation pour obtenir la valeur de la première inconnue.
• Exemple d'équations : 3x + y = 4 et 6x + 5y = 2
• Solution : x = 2 et y = -2

Partie 3 : La méthode de Gauss ou combinaison linéaire

• Écrire les équations sous la forme ax + by = c.
• Multiplier les équations par des constantes pour obtenir des coefficients opposés pour une des inconnues.
• Additionner les équations pour obtenir une équation à une seule inconnue.
• Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur de l'inconnue.
• Remplacer la valeur trouvée dans une des équations originales pour trouver l'autre inconnue.
• Exemple d'équations : 3x + y = 4 et 6x + 5y = 2
• Solution : x = 2 et y = -2

Partie 3 : Les différents cas

• Cas général : Une solution

• Aucune solution : Droites parallèles (équations sont linéairement indépendantes)

• Infinité de solutions: Droites confondues (équations sont linéairement dépendantes)

• Les coefficients de x et de y sont proportionnels mais pas les termes indépendants, le système est impossible.

• Comment déterminer le nombre de solutions :

• Écrire les équations sous la forme ax + by = c.

• Examiner les coefficients de x et y.

• Si les coefficients de x et de y ne sont pas proportionnels, il y a une solution unique.

• Si les coefficients sont proportionnels mais les termes constants ne le sont pas, il n'y a aucune solution.

• Si les coefficients sont proportionnels et que les termes constants le sont également, il y a une infinité de solutions.

Vérification de la solution

• Remplacer les valeurs trouvées pour x et y dans les équations originales pour s'assurer qu'elles sont vraies.

Partie 4 : Résolution de problèmes

• Résolution de problèmes concrets qui utilisent les méthodes décrites dans les parties précédentes.

Exercices

• Problèmes supplémentaires pour pratiquer les techniques de résolution.

Ce quiz porte sur le chapitre 9 des systèmes d'équations. Il aborde les méthodes de résolution graphique et de substitution pour trouver la solution commune de deux équations du premier degré. Testez vos connaissances sur la détermination des points d'intersection et l'utilisation des méthodes appropriées.