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Questions and Answers
Quelle propriété N1 satisfait-il pour des vecteurs x et y dans Rn ?
Quelle propriété N1 satisfait-il pour des vecteurs x et y dans Rn ?
- N1 (x + y) = 0
- N1 (x + y) = N1 (x) - N1 (y)
- N1 (x + y) < N1 (x) + N1 (y)
- N1 (x + y) = N1 (x) + N1 (y) (correct)
Quelle inégalité est démontrée concernant N1 et N∞ pour tout x dans Rn ?
Quelle inégalité est démontrée concernant N1 et N∞ pour tout x dans Rn ?
- N∞ (x) ≤ N1 (x) ≤ nN∞ (x) (correct)
- N1 (x) ≤ N∞ (x)
- N1 (x) = N∞ (x)
- N1 (x) ≥ nN∞ (x)
Comment est exprimée la norme N∞ pour tout i dans {1,..., n} ?
Comment est exprimée la norme N∞ pour tout i dans {1,..., n} ?
- N∞ (x) = min |xi|
- N∞ (x) = |xi| + n
- N∞ (x) = max |xi| (correct)
- N∞ (x) = |xi| / n
Que signifie l'égalité N1 (x) = nN∞ (x) ?
Que signifie l'égalité N1 (x) = nN∞ (x) ?
Dans quelle condition peut-on dire que N∞ (x) ≤ N2 (x) ?
Dans quelle condition peut-on dire que N∞ (x) ≤ N2 (x) ?
Quelle condition doit être remplie pour que U soit un ouvert dans l'espace métrique (E, d1) ?
Quelle condition doit être remplie pour que U soit un ouvert dans l'espace métrique (E, d1) ?
Comment peut-on définir la distance d(x, y) lorsqu'O, x et y sont alignés ?
Comment peut-on définir la distance d(x, y) lorsqu'O, x et y sont alignés ?
Quel est le principal critère pour qu'une distance soit considérée comme une norme ?
Quel est le principal critère pour qu'une distance soit considérée comme une norme ?
Quelle est la limite de la suite xm = 1/(1 + m) lorsque m tend vers +∞ ?
Quelle est la limite de la suite xm = 1/(1 + m) lorsque m tend vers +∞ ?
Quel est l'ensemble de la boule fermée B d ((0, 2), 3) ?
Quel est l'ensemble de la boule fermée B d ((0, 2), 3) ?
Lors de l'étude de la distance d, quel aspect est à considérer pour la colinéarité des points avec l'origine O ?
Lors de l'étude de la distance d, quel aspect est à considérer pour la colinéarité des points avec l'origine O ?
Quelle inégalité est essentielle pour démontrer que d est une distance sur R2 ?
Quelle inégalité est essentielle pour démontrer que d est une distance sur R2 ?
Dans quelle situation d(xm, l) ne tend pas vers 0 quand m tend vers +∞ ?
Dans quelle situation d(xm, l) ne tend pas vers 0 quand m tend vers +∞ ?
Quelle est la valeur de sup |xi| dans les inégalités présentées?
Quelle est la valeur de sup |xi| dans les inégalités présentées?
Quel est le résultat de l'inégalité de Cauchy-Schwarz selon le contenu?
Quel est le résultat de l'inégalité de Cauchy-Schwarz selon le contenu?
Quel est le critère pour qu'une fonction f soit considérée comme croissante?
Quel est le critère pour qu'une fonction f soit considérée comme croissante?
Quel est l'effet de f(d) sur une distance d selon les propriétés données?
Quel est l'effet de f(d) sur une distance d selon les propriétés données?
Comment la fonction f se comporte-t-elle pour les valeurs x et y dans R+?
Comment la fonction f se comporte-t-elle pour les valeurs x et y dans R+?
Quelle est la condition pour que d0(x, y) soit égal à 0?
Quelle est la condition pour que d0(x, y) soit égal à 0?
Si N2(x) est défini comme nN1(x), que peut-on conclure de cette relation?
Si N2(x) est défini comme nN1(x), que peut-on conclure de cette relation?
Quelle propriété définit la distance d0 comme une distance sur E?
Quelle propriété définit la distance d0 comme une distance sur E?
Quelle propriété d'une distance est soulignée comme facile à vérifier?
Quelle propriété d'une distance est soulignée comme facile à vérifier?
Dans quelle condition x, y, et O sont alignés?
Dans quelle condition x, y, et O sont alignés?
Quelle relation est correcte pour les distances lorsqu'ils sont alignés?
Quelle relation est correcte pour les distances lorsqu'ils sont alignés?
Que signifie U étant un ouvert pour la distance d2?
Que signifie U étant un ouvert pour la distance d2?
Quelle est la définition correcte de B1 et B2 dans le contexte donné?
Quelle est la définition correcte de B1 et B2 dans le contexte donné?
Que représente ry dans la démonstration?
Que représente ry dans la démonstration?
Dans le cas où les points ne sont pas alignés, quelle expression est correcte pour la distance?
Dans le cas où les points ne sont pas alignés, quelle expression est correcte pour la distance?
Quel est le rôle de α dans les rayons des sphères?
Quel est le rôle de α dans les rayons des sphères?
Quel est le comportement de la suite $x_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini?
Quel est le comportement de la suite $x_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini?
Pourquoi la suite $x_n$ est-elle contenue dans l'intervalle $]0, 1]$?
Pourquoi la suite $x_n$ est-elle contenue dans l'intervalle $]0, 1]$?
Quelle condition doit être remplie pour qu'un point $x$ appartienne à la boule $B(a, r)$?
Quelle condition doit être remplie pour qu'un point $x$ appartienne à la boule $B(a, r)$?
Lorsqu'une suite $(x_n)$ converge vers $l$ pour la distance $d$, que se passe-t-il aux limites de $1/x_n$?
Lorsqu'une suite $(x_n)$ converge vers $l$ pour la distance $d$, que se passe-t-il aux limites de $1/x_n$?
Si $r ext{ est tel que } r < a$, quelle est la forme de la boule $B(a, r)$?
Si $r ext{ est tel que } r < a$, quelle est la forme de la boule $B(a, r)$?
Qu'est-ce qui est prouvé par l'inclusion $B_2(y, eta (r - d_1(x, y)))
eq B_1(x, r)$?
Qu'est-ce qui est prouvé par l'inclusion $B_2(y, eta (r - d_1(x, y))) eq B_1(x, r)$?
Quelle caractéristique a un ensemble $U$ qui est ouvert pour la distance $d_1$?
Quelle caractéristique a un ensemble $U$ qui est ouvert pour la distance $d_1$?
Qu'implique l'équivalence des deux distances dans le contexte de la distance $d_2$?
Qu'implique l'équivalence des deux distances dans le contexte de la distance $d_2$?
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Study Notes
Distinguer les distances
- Deux distances d1 et d2 sur un espace E sont équivalentes, si et seulement si ∃ α,β > 0 : αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y) pour tout x, y ∈ E
- On montre que B2 (y, α (r − d1 (x, y))) ⊂ B1 (x, r) où y ∈ B1 (x, r) et r > 0
- L’inclusion démontrée permet de montrer que U est un ouvert de (E, d1) si et seulement si U est un ouvert de (E, d2).
Définir la distance sur R2
- La distance d est définie sur R2 par : d(x, y) = kx − yk2 si x, y et O sont alignés, d(x, y) = kxk2 + kyk2 sinon.
- On doit montrer que d est une distance, c’est-à-dire qu’elle vérifie trois propriétés:
- d(x, y) = 0 ⟺ x = y
- d(x, y) = d(y, x)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)
- La démonstration de l'inégalité triangulaire se fait en distinguant plusieurs cas suivant la colinéarité des points x, y, z et O.
Etude de la convergence
- La suite xm = ( 1, 1+1/m ) converge pour la norme usuelle vers l = (1, 1)
- d(xm, l) ne tend pas vers 0 quand m tend vers +∞, car elle prend la valeur √2 pour toute valeur de m.
- La distance d n'est pas induite par une norme, car la convergence pour la distance d n'implique pas la convergence pour la norme usuelle.
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