Mathématiques Analyse des Distances

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Questions and Answers

Quelle propriété N1 satisfait-il pour des vecteurs x et y dans Rn ?

N1 (x + y) = 0

N1 (x + y) = N1 (x) - N1 (y)

N1 (x + y) < N1 (x) + N1 (y)

N1 (x + y) = N1 (x) + N1 (y) (correct)

Quelle inégalité est démontrée concernant N1 et N∞ pour tout x dans Rn ?

N∞ (x) ≤ N1 (x) ≤ nN∞ (x) (correct)

N1 (x) ≤ N∞ (x)

N1 (x) = N∞ (x)

N1 (x) ≥ nN∞ (x)

Comment est exprimée la norme N∞ pour tout i dans {1,..., n} ?

N∞ (x) = min |xi|

N∞ (x) = |xi| + n

N∞ (x) = max |xi| (correct)

N∞ (x) = |xi| / n

Que signifie l'égalité N1 (x) = nN∞ (x) ?

N1 (x) est bornée par la somme des maxi de ses composantes. Signup and view all the answers

Dans quelle condition peut-on dire que N∞ (x) ≤ N2 (x) ?

Pour tout x dans Rn Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour que U soit un ouvert dans l'espace métrique (E, d1) ?

Chaque point de U doit avoir une boule autour de lui entièrement dans U Signup and view all the answers

Comment peut-on définir la distance d(x, y) lorsqu'O, x et y sont alignés ?

d(x, y) = kx - yk2 Signup and view all the answers

Quel est le principal critère pour qu'une distance soit considérée comme une norme ?

Elle doit respecter l'inégalité triangulaire Signup and view all the answers

Quelle est la limite de la suite xm = 1/(1 + m) lorsque m tend vers +∞ ?

0 Signup and view all the answers

Quel est l'ensemble de la boule fermée B d ((0, 2), 3) ?

Tous les points à une distance inférieure ou égale à 3 de (0, 2) Signup and view all the answers

Lors de l'étude de la distance d, quel aspect est à considérer pour la colinéarité des points avec l'origine O ?

Cela simplifie le calcul de la distance Signup and view all the answers

Quelle inégalité est essentielle pour démontrer que d est une distance sur R2 ?

Inégalité de Cauchy-Schwartz Signup and view all the answers

Dans quelle situation d(xm, l) ne tend pas vers 0 quand m tend vers +∞ ?

Lorsque xm diverge vers ∞ Signup and view all the answers

Quelle est la valeur de sup |xi| dans les inégalités présentées?

N∞(x) Signup and view all the answers

Quel est le résultat de l'inégalité de Cauchy-Schwarz selon le contenu?

N2(x) ≤ nN1(x) Signup and view all the answers

Quel est le critère pour qu'une fonction f soit considérée comme croissante?

f(x) < f(y) si x < y Signup and view all the answers

Quel est l'effet de f(d) sur une distance d selon les propriétés données?

f(d) = 0 si d = 0 Signup and view all the answers

Comment la fonction f se comporte-t-elle pour les valeurs x et y dans R+?

f(x + y) ≤ f(x) + f(y) Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour que d0(x, y) soit égal à 0?

d(x, y) = 0 Signup and view all the answers

Si N2(x) est défini comme nN1(x), que peut-on conclure de cette relation?

N2(x) est proportionnel à N1(x) Signup and view all the answers

Quelle propriété définit la distance d0 comme une distance sur E?

d0(x, y) = d0(y, x) Signup and view all the answers

Quelle propriété d'une distance est soulignée comme facile à vérifier?

Inégalité triangulaire Signup and view all the answers

Dans quelle condition x, y, et O sont alignés?

Quand x et y appartiennent à la même droite Signup and view all the answers

Quelle relation est correcte pour les distances lorsqu'ils sont alignés?

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) Signup and view all the answers

Que signifie U étant un ouvert pour la distance d2?

Pour tout point y, il existe une sphère B2(y, ry) à l'intérieur de U Signup and view all the answers

Quelle est la définition correcte de B1 et B2 dans le contexte donné?

B1 est une sphère de rayon r et B2 une sphère de rayon alpha * r Signup and view all the answers

Que représente ry dans la démonstration?

Le rayon de la sphère centrée en y Signup and view all the answers

Dans le cas où les points ne sont pas alignés, quelle expression est correcte pour la distance?

d(x, y) = kxk2 + kyk2 Signup and view all the answers

Quel est le rôle de α dans les rayons des sphères?

Il modifie la distance proportionnelle du rayon Signup and view all the answers

Quel est le comportement de la suite $x_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini?

Elle diverge vers +∞. Signup and view all the answers

Pourquoi la suite $x_n$ est-elle contenue dans l'intervalle $]0, 1]$?

Les limites de $x_n$ sont confinées entre 0 et 1. Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour qu'un point $x$ appartienne à la boule $B(a, r)$?

$d(a, x) < r$. Signup and view all the answers

Lorsqu'une suite $(x_n)$ converge vers $l$ pour la distance $d$, que se passe-t-il aux limites de $1/x_n$?

Elle converge vers 1/l. Signup and view all the answers

Si $r ext{ est tel que } r < a$, quelle est la forme de la boule $B(a, r)$?

$]1 + ar, 1 - ar[$. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est prouvé par l'inclusion $B_2(y, eta (r - d_1(x, y))) eq B_1(x, r)$?

Il prouve que l'une est contenue dans l'autre. Signup and view all the answers

Quelle caractéristique a un ensemble $U$ qui est ouvert pour la distance $d_1$?

Il existe un $r > 0$ tel que $B_1(x, r) ext{ est inclus dans } U$. Signup and view all the answers

Qu'implique l'équivalence des deux distances dans le contexte de la distance $d_2$?

Une distance limite l'autre. Signup and view all the answers

Study Notes

Distinguer les distances

Deux distances d1 et d2 sur un espace E sont équivalentes, si et seulement si ∃ α,β > 0 : αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y) pour tout x, y ∈ E
On montre que B2 (y, α (r − d1 (x, y))) ⊂ B1 (x, r) où y ∈ B1 (x, r) et r > 0
L’inclusion démontrée permet de montrer que U est un ouvert de (E, d1) si et seulement si U est un ouvert de (E, d2).

Définir la distance sur R2

La distance d est définie sur R2 par : d(x, y) = kx − yk2 si x, y et O sont alignés, d(x, y) = kxk2 + kyk2 sinon.
On doit montrer que d est une distance, c’est-à-dire qu’elle vérifie trois propriétés:
- d(x, y) = 0 ⟺ x = y
- d(x, y) = d(y, x)
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)
La démonstration de l'inégalité triangulaire se fait en distinguant plusieurs cas suivant la colinéarité des points x, y, z et O.

Etude de la convergence

La suite xm = ( 1, 1+1/m ) converge pour la norme usuelle vers l = (1, 1)
d(xm, l) ne tend pas vers 0 quand m tend vers +∞, car elle prend la valeur √2 pour toute valeur de m.
La distance d n'est pas induite par une norme, car la convergence pour la distance d n'implique pas la convergence pour la norme usuelle.

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Description

Ce quiz porte sur la distinction et la définition des distances dans un espace vectoriel, ainsi que sur l'étude de la convergence des suites. Les concepts incluent l'équivalence des distances, la propriété d'une distance sur R² et l'inégalité triangulaire. Testez vos connaissances sur ces notions fondamentales de mathématiques avancées.