B1.1 Eigenschaften von Termen, B.1.2 Rechnen mit Termen

Definition eines Terms

• Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck.
• Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variablen enthalten.

Arten von Termen

• Eingliedrige Terme: Bestehen aus nur einem Summanden oder Subtrahenden.
  • Beispiele: 2x, 3 minus 5, 1/2, minus 1/3, 23, n.
• Mehrgliedrige Terme: Bestehen aus mindestens zwei Summanden oder Subtrahenden.
  • Beispiele: 0 plus 1, x minus 2, 7n minus 7 plus x, 3u plus v Quadrat minus 4u hoch 3 plus 5.

Benennung von Termen

• Binom: Ein zweigliedriger Term.

Polynome

• Polynome entstehen durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von Potenzen einer Variablen.
• Die Variable darf weder im Nenner noch unter einem Wurzelzeichen stehen.
• Beispiel: 3 - x⁵ - 6x³ + x² - 8x + 1 ist ein Polynom in x.
• Der Grad eines Polynoms wird durch die größte vorkommende Hochzahl bestimmt.
• Das Beispiel-Polynom 3 - x⁵ - 6x³ + x² - 8x + 1 ist ein Polynom 5. Grades.
• Es gibt auch Polynome mit mehreren Variablen, z. B. 5a² + 3ab³ - 4b, 3x² + 1/2y + 4z.

Bruchterme

• Bruchterme enthalten im Nenner mindestens eine Variable.
• Beispiele für Bruchterme: 5/x, 1/(x-2), 3/y
• Der Term 23-y ist kein Bruchterm, da die Variable nicht im Nenner steht.
• Der Term 23-y kann in 23/y umgeformt werden, wobei 23/y der Koeffizient von y ist.
• Für Variablen in Termen können in der Regel beliebige Zahlen eingesetzt werden.
• Bei Bruchtermen gilt diese Regel im Allgemeinen nicht.

Äquivalente Terme

• Terme können wie Zahlen behandelt und mit Rechenregeln umgeformt werden.
• Äquivalente Terme ergeben für gleiche Variablenwerte dasselbe Ergebnis.
• Umformungen führen oft zu einfacheren, aber gleichwertigen Termen.
• Beispiel: 4x + 2, 2x + 6 und 2(x + 3) sind äquivalente Terme.

Äquivalenz von Termen

• Beim Umformen von Termen können neue Terme entstehen.
• Nicht alle Terme sind äquivalent zum ursprünglichen Term.
• Äquivalente Terme liefern für dieselbe Eingabe den gleichen Wert.
• Beispiel: T1(x) = 2/x (x ∈ ℝ, x ≠ 0) und T2(x) = 2/x (x ∈ ℝ) sind nicht äquivalent.
• T1(x) ist nur für x ≠ 0 definiert.
• T2(x) ist auch für x = 0 definiert, obwohl der Term dann nicht definiert ist.
• Der Definitionsbereich beeinflusst die Äquivalenz von Termen.

Multiplikation eingliedriger Terme

• Bei der Multiplikation eingliedriger Terme mit unterschiedlichen Variablen werden die Zahlenfaktoren und die Variablen separat multipliziert. Beispiel: 2x * 3y = 6xy
• Bei der Multiplikation eingliedriger Terme mit gleichen Variablen werden die Zahlenfaktoren multipliziert und die Variablen potenziert, wobei die Exponenten addiert werden. Beispiel: 2s * 5s² = 10s³

Multiplikation mehrgliedriger Terme

• Mehrgliedrige Terme werden durch Anwendung des Distributivgesetzes multipliziert: Jedes Glied des ersten Terms wird mit jedem Glied des zweiten Terms multipliziert.
• Beispiel: (3u + v) * (u – 2v) = 3u² - 6uv + uv - 2v² = 3u² - 5uv - 2v²
• Nach der Multiplikation werden gleichartige Terme zusammengefasst.

Mehrgliedrige Terme und Binome

• Ein mehrgliedriger Term besteht aus mehreren Gliedern, die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
• Ein Binom ist ein zweigliedriger Term.

Bestandteile und Grad von Termen und Polynomen

• Der Hauptbestandteil eines Terms ist die Variable, die mit einem Koeffizienten multipliziert wird.
• Der Grad eines Polynoms wird durch den höchsten Exponenten der Variablen bestimmt.
• Ein Polynom 3. Grades enthält mindestens einen Term mit der Variable hoch 3 als höchstem Exponenten.

Polynome mit mehreren Variablen

• Das Polynom 5a² + 3ab³ - 4b enthält zwei Variablen (a und b).
• Ein Beispiel für ein Polynom in mehreren Variablen ist 5a² + 3ab³ - 4b.

Bruchterme und ihre Eigenschaften

• Ein Bruchterm ist ein Term, der als Bruch dargestellt wird, wobei der Zähler und/oder der Nenner Terme enthalten.
• Der Term 23/y ist ein Bruchterm, bei dem die Variable y im Nenner steht.
• Man kann im Allgemeinen nicht beliebige Zahlen für Bruchterme einsetzen, weil der Nenner nicht null sein darf.
• Nicht jeder Term kann als Bruchterm dargestellt werden (z.B. Terme ohne Nenner).

Äquivalente Terme und Termumformungen

• Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für alle erlaubten Variablenwerte denselben Wert ergeben.
• Eine korrekte Umformung für den Term 4x + 2 ist z.B. 2(2x + 1).
• Das Ziel beim Rechnen mit Termen ist es, sie zu vereinfachen oder in eine andere, oft günstigere Form zu bringen.
• 2(x + 3) ist äquivalent zu 2x + 6, welches nicht direkt äquivalent zu 4x + 2 ist, sondern nur wenn x=1.
• Das Umformen von Termen beinhaltet Vereinfachungen durch Ausklammern, Distributivgesetz usw.

Definitionsbereiche und Bruchterme

• Wenn ein Bruchterm im Nenner eine Variable enthält, ist die Variable auf Werte beschränkt, die den Nenner ungleich Null halten.
• Setzt man 0 in T1(x) = 2/x ein, erhält man eine Division durch Null, was undefiniert ist.
• Die Terme T1(x) und T2(x) sind nicht äquivalent, falls ihre Definitionsbereiche unterschiedlich sind oder bei gleichen Variablenwerten unterschiedliche Funktionswerte erzeugen.
• Die Definitionsbereiche von T1(x) und T2(x) unterscheiden sich, falls es Variablenwerte gibt, für die nur ein Term definiert ist.
• Die mögliche Konsequenz des Einsatzes von 0 in Bruchtermen ist eine Division durch Null, was undefiniert ist.

Multiplikation von Termen und binomische Formeln

• Das Ergebnis der Multiplikation 2s * 5s² ist 10s³.

• (3u + v)(u – 2v) = 3u² - 6uv + uv - 2v² = 3u² - 5uv - 2v².

• Das Produkt aus den Termen 2x und 3y ist 6xy.

• Bei der Multiplikation 4a * 3a² * 2a werden die Koeffizienten multipliziert und die Exponenten der Variablen addiert, was zu 24a⁴ führt.

• 3u² - 5uv - 2v² lässt sich als Ergebnis der Multiplikation (3u + v)(u - 2v) darstellen.

• Die Anwendung der ersten binomischen Formel auf (x + 4) ergibt x² + 8x + 16.

• Die Anwendung der dritten binomischen Formel auf (y - 2) ergibt y² - 4y + 4.

• Die Anwendung der zweiten binomischen Formel auf (3x - 5) führt zu 9x² - 30x + 25.

• Die Anwendung der vierten binomischen Formel auf (b + 1) ergibt b² - 1.

• Die Anwendung der ersten binomischen Formel auf (2x + 3) ergibt 4x² + 12x + 9.