B1.1 Eigenschaften von Termen, B.1.2 Rechnen mit Termen

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Questions and Answers

Welches der folgenden Beispiele stellt einen mehrgliedrigen Term dar?

x plus 4 minus 2x (correct)

minus 1/2

3 minus 2

Welches dieser Terme ist ein Binom?

x hoch 2 plus 4x plus 4

2x minus 3 (correct)

5y plus 2y minus 7

3 plus 5 minus x

Was ist der Hauptbestandteil eines Terms?

Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variablen (correct)

Variablen

Rechenzeichen

Zahlen

Welcher dieser Terme ist kein eingliedriger Term?

x plus y Signup and view all the answers

Welche Aussage über Terme ist korrekt?

Ein Term kann auch nur aus Zahlen bestehen. Signup and view all the answers

Was bestimmt den Grad eines Polynoms?

Die höchste Hochzahl einer Variablen Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen zu Polynomen ist korrekt?

Ein Polynom darf keine Wurzelzeichen haben. Signup and view all the answers

Welches der folgenden Beispiele stellt ein Polynom 3. Grades dar?

2x hoch 3 plus 3x Quadrat minus 1 Signup and view all the answers

Welche Anzahl an Variablen enthält das Polynom 5a Quadrat plus 3ab hoch 3 minus 4b?

Zwei Variablen Signup and view all the answers

Was ist ein Beispiel für ein Polynom in mehreren Variablen?

3x plus 1/2y plus 7z Signup and view all the answers

Welcher der folgenden Terme ist ein Bruchterm?

1/(x-2) Signup and view all the answers

Welche Aussage über den Term 23/y ist korrekt?

Es handelt sich um einen Bruchterm. Signup and view all the answers

Warum kann man im Allgemeinen nicht beliebige Zahlen für Bruchterme einsetzen?

Weil der Nenner null werden könnte. Signup and view all the answers

Welcher der folgenden Terme kann nicht umgeformt werden, um als Bruchterm dargestellt zu werden?

23 - y Signup and view all the answers

Was bedeutet es, wenn ein Bruchterm im Nenner eine Variable enthält?

Es kann zu einer Division durch null kommen. Signup and view all the answers

Was bedeutet es, wenn zwei Terme als äquivalent bezeichnet werden?

Sie führen bei gleichen Zahlen für die Variablen zu demselben Ergebnis. Signup and view all the answers

Welche der folgenden Umformungen ist korrekt für den Term 4x + 2?

4x + 2 = 2x + 6 Signup and view all the answers

Was ist das Ziel beim Rechnen mit Termen?

Die Terme in äquivalente, einfachere Terme umzuwandeln. Signup and view all the answers

Wie kann man 2(x + 3) beschreiben in Beziehung zu 4x + 2?

Es ist ein äquivalenter Term. Signup and view all the answers

Was beschreibt den Prozess des Umformens von Termen am besten?

Es verwandelt sie in gleichwertige, einfachere Formen. Signup and view all the answers

Welche Aussage über die Terme T1(x) und T2(x) ist korrekt?

T1(x) ist nicht äquivalent zu T2(x) aufgrund der Einschränkung für 0. Signup and view all the answers

Was geschieht, wenn man 0 in T1(x) = 2/x einsetzt?

Der Term wird undefiniert. Signup and view all the answers

Warum sind die Terme T1(x) und T2(x) nicht äquivalent?

Weil in T1(x) eine Einschränkung für x existiert. Signup and view all the answers

Wie unterscheiden sich die Definitionsbereiche von T1(x) und T2(x)?

T2(x) hat keinen Ausschluss für x. Signup and view all the answers

Was ist eine mögliche Konsequenz des Einsatzes von 0 in Bruchtermen?

Es führt zu einem mathematischen Fehler oder Undefiniertheit. Signup and view all the answers

Was ist das Ergebnis der Multiplikation 2s * 5s²?

10s³ Signup and view all the answers

Wie sieht das Ergebnis aus, wenn man die mehrgliedrigen Terme (3u + v) und (u – 2v) multipliziert?

3u² - 5uv - 2v² Signup and view all the answers

Was ist das Produkt aus den Termen 2x und 3y?

6xy Signup and view all the answers

Was wird bei der Multiplikation 4a * 3a² * 2a mit den Variablen erreicht?

24a⁴ Signup and view all the answers

Wie wird der Endterm 3u² - 5uv - 2v² in der Form der Ausgangsterme dargestellt?

(3u + v)(u - 2v) Signup and view all the answers

Was ist das Ergebnis der Anwendung der ersten binomischen Formel auf die Terme (x + 4)?

x² + 8x + 16 Signup and view all the answers

Was ergibt die Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Term (y - 2)?

y³ - 6y² + 12y - 8 Signup and view all the answers

Die Anwendung der zweiten binomischen Formel auf (3x - 5) führt zu welchem Ergebnis?

9x² - 30x + 25 Signup and view all the answers

Welches der folgenden Formen ist das Ergebnis der Anwendung der vierten binomischen Formel auf (b + 1)?

b³ + 3b² + 3b + 1 Signup and view all the answers

Welches Ergebnis erhält man, wenn man die erste binomische Formel auf (2x + 3) anwendet?

4x² + 12x + 9 Signup and view all the answers

Study Notes

Definition eines Terms

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck.
Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und Variablen enthalten.

Arten von Termen

Eingliedrige Terme: Bestehen aus nur einem Summanden oder Subtrahenden.
- Beispiele: 2x, 3 minus 5, 1/2, minus 1/3, 23, n.
Mehrgliedrige Terme: Bestehen aus mindestens zwei Summanden oder Subtrahenden.
- Beispiele: 0 plus 1, x minus 2, 7n minus 7 plus x, 3u plus v Quadrat minus 4u hoch 3 plus 5.

Benennung von Termen

Binom: Ein zweigliedriger Term.

Polynome

Polynome entstehen durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von Potenzen einer Variablen.
Die Variable darf weder im Nenner noch unter einem Wurzelzeichen stehen.
Beispiel: 3 - x⁵ - 6x³ + x² - 8x + 1 ist ein Polynom in x.
Der Grad eines Polynoms wird durch die größte vorkommende Hochzahl bestimmt.
Das Beispiel-Polynom 3 - x⁵ - 6x³ + x² - 8x + 1 ist ein Polynom 5. Grades.
Es gibt auch Polynome mit mehreren Variablen, z. B. 5a² + 3ab³ - 4b, 3x² + 1/2y + 4z.

Bruchterme

Bruchterme enthalten im Nenner mindestens eine Variable.
Beispiele für Bruchterme: 5/x, 1/(x-2), 3/y
Der Term 23-y ist kein Bruchterm, da die Variable nicht im Nenner steht.
Der Term 23-y kann in 23/y umgeformt werden, wobei 23/y der Koeffizient von y ist.
Für Variablen in Termen können in der Regel beliebige Zahlen eingesetzt werden.
Bei Bruchtermen gilt diese Regel im Allgemeinen nicht.

Äquivalente Terme

Terme können wie Zahlen behandelt und mit Rechenregeln umgeformt werden.
Äquivalente Terme ergeben für gleiche Variablenwerte dasselbe Ergebnis.
Umformungen führen oft zu einfacheren, aber gleichwertigen Termen.
Beispiel: 4x + 2, 2x + 6 und 2(x + 3) sind äquivalente Terme.

Äquivalenz von Termen

Beim Umformen von Termen können neue Terme entstehen.
Nicht alle Terme sind äquivalent zum ursprünglichen Term.
Äquivalente Terme liefern für dieselbe Eingabe den gleichen Wert.
Beispiel: T1(x) = 2/x (x ∈ ℝ, x ≠ 0) und T2(x) = 2/x (x ∈ ℝ) sind nicht äquivalent.
T1(x) ist nur für x ≠ 0 definiert.
T2(x) ist auch für x = 0 definiert, obwohl der Term dann nicht definiert ist.
Der Definitionsbereich beeinflusst die Äquivalenz von Termen.

Multiplikation eingliedriger Terme

Bei der Multiplikation eingliedriger Terme mit unterschiedlichen Variablen werden die Zahlenfaktoren und die Variablen separat multipliziert. Beispiel: 2x * 3y = 6xy
Bei der Multiplikation eingliedriger Terme mit gleichen Variablen werden die Zahlenfaktoren multipliziert und die Variablen potenziert, wobei die Exponenten addiert werden. Beispiel: 2s * 5s² = 10s³

Multiplikation mehrgliedriger Terme

Mehrgliedrige Terme werden durch Anwendung des Distributivgesetzes multipliziert: Jedes Glied des ersten Terms wird mit jedem Glied des zweiten Terms multipliziert.
Beispiel: (3u + v) * (u – 2v) = 3u² - 6uv + uv - 2v² = 3u² - 5uv - 2v²
Nach der Multiplikation werden gleichartige Terme zusammengefasst.

Mehrgliedrige Terme und Binome

Ein mehrgliedriger Term besteht aus mehreren Gliedern, die durch Plus- oder Minuszeichen verbunden sind.
Ein Binom ist ein zweigliedriger Term.

Bestandteile und Grad von Termen und Polynomen

Der Hauptbestandteil eines Terms ist die Variable, die mit einem Koeffizienten multipliziert wird.
Der Grad eines Polynoms wird durch den höchsten Exponenten der Variablen bestimmt.
Ein Polynom 3. Grades enthält mindestens einen Term mit der Variable hoch 3 als höchstem Exponenten.

Polynome mit mehreren Variablen

Das Polynom 5a² + 3ab³ - 4b enthält zwei Variablen (a und b).
Ein Beispiel für ein Polynom in mehreren Variablen ist 5a² + 3ab³ - 4b.

Bruchterme und ihre Eigenschaften

Ein Bruchterm ist ein Term, der als Bruch dargestellt wird, wobei der Zähler und/oder der Nenner Terme enthalten.
Der Term 23/y ist ein Bruchterm, bei dem die Variable y im Nenner steht.
Man kann im Allgemeinen nicht beliebige Zahlen für Bruchterme einsetzen, weil der Nenner nicht null sein darf.
Nicht jeder Term kann als Bruchterm dargestellt werden (z.B. Terme ohne Nenner).

Äquivalente Terme und Termumformungen

Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für alle erlaubten Variablenwerte denselben Wert ergeben.
Eine korrekte Umformung für den Term 4x + 2 ist z.B. 2(2x + 1).
Das Ziel beim Rechnen mit Termen ist es, sie zu vereinfachen oder in eine andere, oft günstigere Form zu bringen.
2(x + 3) ist äquivalent zu 2x + 6, welches nicht direkt äquivalent zu 4x + 2 ist, sondern nur wenn x=1.
Das Umformen von Termen beinhaltet Vereinfachungen durch Ausklammern, Distributivgesetz usw.

Definitionsbereiche und Bruchterme

Wenn ein Bruchterm im Nenner eine Variable enthält, ist die Variable auf Werte beschränkt, die den Nenner ungleich Null halten.
Setzt man 0 in T1(x) = 2/x ein, erhält man eine Division durch Null, was undefiniert ist.
Die Terme T1(x) und T2(x) sind nicht äquivalent, falls ihre Definitionsbereiche unterschiedlich sind oder bei gleichen Variablenwerten unterschiedliche Funktionswerte erzeugen.
Die Definitionsbereiche von T1(x) und T2(x) unterscheiden sich, falls es Variablenwerte gibt, für die nur ein Term definiert ist.
Die mögliche Konsequenz des Einsatzes von 0 in Bruchtermen ist eine Division durch Null, was undefiniert ist.

Multiplikation von Termen und binomische Formeln

Das Ergebnis der Multiplikation 2s * 5s² ist 10s³.
(3u + v)(u – 2v) = 3u² - 6uv + uv - 2v² = 3u² - 5uv - 2v².
Das Produkt aus den Termen 2x und 3y ist 6xy.
Bei der Multiplikation 4a * 3a² * 2a werden die Koeffizienten multipliziert und die Exponenten der Variablen addiert, was zu 24a⁴ führt.
3u² - 5uv - 2v² lässt sich als Ergebnis der Multiplikation (3u + v)(u - 2v) darstellen.
Die Anwendung der ersten binomischen Formel auf (x + 4) ergibt x² + 8x + 16.
Die Anwendung der dritten binomischen Formel auf (y - 2) ergibt y² - 4y + 4.
Die Anwendung der zweiten binomischen Formel auf (3x - 5) führt zu 9x² - 30x + 25.
Die Anwendung der vierten binomischen Formel auf (b + 1) ergibt b² - 1.
Die Anwendung der ersten binomischen Formel auf (2x + 3) ergibt 4x² + 12x + 9.

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Description

In diesem Quiz geht es um die Definition und Klassifikation von Termen in der Mathematik. Es werden ein- und mehrgliedrige Terme sowie deren Benennung thematisiert. Prüfe dein Wissen über die verschiedenen Arten von Termen und ihre Eigenschaften.