Mathematik: Hilfsmittelfreier Teil

Okay, hier sind detaillierte Studiennotizen zu den bereitgestellten Texten:

• Die Dokumente enthalten Beispielaufgaben für einen schriftlichen Teil der Abiturprüfung in Mathematik, der ohne Hilfsmittel zu bearbeiten ist.

Allgemeines

• Die Aufgaben sind für ein erhöhtes Anforderungsniveau konzipiert.
• Die Aufgaben sind ohne Taschenrechner, Software, Tabellen oder Formelsammlungen zu lösen.
• Für das erhöhte Niveau gibt es zwei Aufgaben-Pools, Pool 1 stellt geringere Anforderungen als Pool 2.

Struktur der Prüfung

• Die Prüfung besteht aus Aufgaben aus den Sachgebieten Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik.
• Es werden auch alternative Methoden wie vektorielle analytische Geometrie und die Anwendung von Matrizen berücksichtigt.
• Die Bearbeitungszeit für den hilfsmittelfreien Prüfungsteil beträgt 45 Minuten.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 1: Analysis

• Gegeben ist eine kubische Funktion, deren Graph abgebildet ist.
• Die Schüler müssen ohne Rechnung begründen, dass die zugehörige Gleichung nur eine Lösung hat, und die Koordinaten des Wendepunktes berechnen.
• Ein Rechteck wird durch den Graphen einer Wurzelfunktion in zwei Teilflächen zerlegt.
• Ziel ist, das Verhältnis der Flächeninhalte zu ermitteln.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 1: Analytische Geometrie

• Gegeben sind eine Ebene und ein Punkt.
• Es soll gezeigt werden, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt, und die Koordinaten des Spiegelpunktes an der Ebene ermittelt werden.
• Ein Viereck ist durch seine Eckpunkte gegeben.
• Nachweis, dass es sich um ein Parallelogramm, aber kein Rechteck handelt.
• Koordinaten des Mittelpunkts und Radius eines Kreises mit Durchmesser AC bestimmen.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 1: Lineare Algebra

• Gegeben sind eine Matrix A und ein Vektor v.
• Berechnung von v₂ unter Verwendung der gegebenen Formel.
• Bestimmung eins Vektors w, so dass Aw=w gilt, mit kleinstmöglichen Werten.
• Gegeben sind zwei Matrizen A und B.
• Es soll gezeigt werden, dass B die zu A inverse Matrix ist.
• Begründung einer gegebenen Eigenschaft für eine Matrix C.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 1: Stochastik

• Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt.
• Die Schüler sollen die passende Abbildung zur Verteilung von X auswählen und ihre Wahl begründen.
• Mithilfe der ausgewählten Abbildung sollen Wahrscheinlichkeiten näherungsweise angegeben werden.
• Gegeben sind zwei Urnen mit verschiedener Zusammensetzung an farbigen Kugeln.
• Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen von Kugeln aus den Urnen.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 2: Analysis

• Ein Speicherbecken mit einer bestimmten Grundfläche wird betrachtet.
• Ein Graph zeigt die Zufluss- bzw. Abflussrate der Flüssigkeit über einen Zeitraum von 5 Stunden.
• Die Schüler müssen das Volumen der zufließenden Flüssigkeit näherungsweise bestimmen und einen Graphen skizzieren, der die Höhe des Flüssigkeitsstandes in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
• Für eine Funktion f(x) = ae^(x²) soll gezeigt werden, dass die Tangente ta an einem bestimmten Punkt durch eine gegebene Gleichung beschrieben werden kann.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 2: Analytische Geometrie

• Eine Gerade und ein Punkt im Raum sind gegeben.
• Es ist ein Verfahren zu beschreiben, um die Koordinaten von zwei Punkten auf der Geraden zu finden, die mit dem gegebenen Punkt ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck bilden.
• Gegeben sind zwei Ebenen E₁ und E₂
• Begründung, dass die Ebenen nicht identisch sind.
• Weiterer Punkt bestimmen, der auf beiden Ebenen liegt
• Es soll genau ein Koeffizient in der Gleichung einer Ebene so geändert werden, dass eine Gleichung der anderen Ebene entsteht.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 2: Lineare Algebra

• Es gibt 2x2-Matrizen, die besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Quadrate besitzen.
• Für jeden Wert für t ist eine Matrix Mt gegeben. Welche besondere Eigenschaft haben die Matrizen Mt bezüglich ihrer Quadrate M²t.
• Für eine Matrix A mit bestimmten Eigenschaften soll untersucht werden, welche Werte für die Elemente der Matrix A in Frage kommen.
• Die Nutzer einer Kantine werden hinsichtlich der Auswahl eines Menüs in drei Gruppen eingeteilt.
• Ein Graph gibt modellhaft die Übergänge zwischen den Gruppen von Tag zu Tag an.
• Gib die in der zugehörigen Übergangsmatrix fehlenden Werte an.
• Bestimme den Wert a22 der Matrix M².
• Interpretiere die Bedeutung der zweiten Zeile der Matrix M² im Sachzusammenhang.

Beispielaufgaben Aufgabenpool 2: Stochastik

• Verteilungen von Zufallsgrößen werden durch Parameter charakterisiert.
• In den Klassen 10a und 10b, die jeweils aus 25 Schülern bestehen, wurden die Leistungen jedes Schülers im Weitsprung ermittelt. Erkläre anschaulich, was bestimmte Beziehungen für die Verteilungen der Sprungweiten bedeuten.
• Eine Zufallsgröße X kann fünf unterschiedliche Werte annehmen. Gib eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X so an, dass der Erwartungswert zwischen dem kleinsten und dem zweitkleinsten Wert dieser Zufallsgröße liegt.
• Eine verbeulte Münze wird mehrfach geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Wurf „Wappen“ fällt, beträgt p. Gib jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse A und B an.
• Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei drei Würfen dreimal „Wappen“ fällt, ist 0,216. Untersuche Sie, ob das Ergebnis „Wappen“ wahrscheinlicher ist als das Ergebnis „Zahl“.