Física: Ondas

Álgebra Lineal

Capítulo 1: Matrices

Definiciones y notaciones

• Una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ es un arreglo rectangular de números con $m$ filas y $n$ columnas.
• $a_{ij}$ representa el elemento en la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna de la matriz $A$.

Ejemplo 1.2

• La matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ es una matriz de $2 \times 3$.

Definición 1.3

• Si $m = n$, $A$ es una matriz cuadrada de orden $n$.
• Una matriz columna tiene dimensiones $m \times 1$.
• Una matriz fila tiene dimensiones $1 \times n$.
• La diagonal principal de una matriz cuadrada $A$ está formada por los elementos $a_{ii}$.
• Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
• La matriz identidad $I_n$ es una matriz diagonal de orden $n$ con 1 en la diagonal principal.
• $I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$
• Una matriz triangular superior (inferior) es una matriz cuadrada con todos los elementos debajo (encima) de la diagonal principal iguales a cero.

Notación 1.4

• $M_{m,n}(\mathbb{R})$ denota el conjunto de matrices $m \times n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$.
• $M_{m,n}(\mathbb{C})$ denota el conjunto de matrices $m \times n$ con coeficientes en $\mathbb{C}$.
• $M_n(\mathbb{R})$ denota el conjunto de matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{R}$.
• $M_n(\mathbb{C})$ denota el conjunto de matrices cuadradas de orden $n$ con coeficientes en $\mathbb{C}$.

Operaciones con matrices

Definición 2.1 (Adición)

• Si $A, B \in M_{m,n}(\mathbb{R})$, entonces $C = A + B$ se define como $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ para todos $i, j$.

Definición 2.2 (Multiplicación Escalar)

• Si $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ y $\lambda \in \mathbb{R}$, entonces $B = \lambda A$ se define como $b_{ij} = \lambda a_{ij}$ para todos $i, j$.

Definición 2.3 (Multiplicación Matricial)

• Si $A \in M_{m,p}(\mathbb{R})$ y $B \in M_{p,n}(\mathbb{R})$, entonces $C = AB \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ se define como $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}$ para todos $i, j$.

Ejemplo 2.4

• Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix}$,
• El producto $AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Propiedades 2.5

• La adición matricial es conmutativa y asociativa.
• La multiplicación matricial es asociativa pero no conmutativa en general.
• La multiplicación matricial es distributiva con respecto a la adición.
• Para toda matriz $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$, $I_m A = A I_n = A$.

Transposición

Definición 3.1

• La transpuesta de una matriz $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$, denotada $A^T$, es la matriz $A^T \in M_{n,m}(\mathbb{R})$ definida por $(A^T){ij} = a{ji}$ para todos $i, j$.

Ejemplo 3.2

• Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{pmatrix}$, entonces $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$.

Propiedades 3.3

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\lambda A)^T = \lambda A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

Matrices Inversibles

Definición 4.1

• Una matriz cuadrada $A \in M_n(\mathbb{R})$ es inversible si existe una matriz $B \in M_n(\mathbb{R})$ tal que $AB = BA = I_n$.
• La matriz $B$ es el inverso de $A$ y se denota $A^{-1}$.

Teorema 4.2

• Si $A$ es inversible, su inverso es único.

Propiedades 4.3

• Si $A$ y $B$ son inversibles, entonces $AB$ es inversible y $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
• Si $A$ es inversible, entonces $A^T$ es inversible y $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

Capítulo 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definiciones

Definición 1.1

• Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:
• $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$
• $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$
• $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$
• Los $x_i$ son las incógnitas, los $a_{ij}$ son los coeficientes y los $b_i$ son los términos constantes.

Definición 1.2

• El sistema puede escribirse en forma matricial como $Ax = b$.
• $A$ es la matriz de coeficientes.
• $x$ es el vector de incógnitas.
• $b$ es el vector de términos constantes.

Definición 1.3

• La matriz aumentada del sistema es $(A|b)$, obtenida añadiendo la columna $b$ a la matriz $A$.

Trading Algorítmico

• El trading algorítmico utiliza programas de computadora para ejecutar operaciones basadas en instrucciones predefinidas.
• Los algoritmos consideran factores como el precio, el tiempo y el volumen.

Ventajas

• Velocidad: Los algoritmos reaccionan más rápido que los humanos.
• Eficiencia: Ejecución automática de operaciones, reduciendo errores manuales.
• Reducción de Costos: Menores costos de transacción debido a la ejecución eficiente.
• Disciplina: Los algoritmos siguen reglas sin interferencia emocional.

Desventajas

• Problemas Técnicos: Fallos del sistema pueden llevar a pérdidas significativas.
• Sobre-Optimización: El rendimiento de los algoritmos puede ser bajo en condiciones de mercado cambiantes.
• Complejidad: El desarrollo y mantenimiento de algoritmos requiere experiencia.
• Impacto en el Mercado: Grandes órdenes algorítmicas pueden causar disrupciones.

Estrategias

Seguimiento de Tendencias

• Se enfoca en identificar y capitalizar las tendencias de precios existentes.
  • Promedios Móviles (MA): $MA = \frac{\sum_{i=n}^{n} Price_i}{n}$
  • Breakout Trading: Comprar cuando el precio excede un cierto nivel.

Reversión a la Media

• Apuesta a que los precios volverán a su valor promedio.
  • Pairs Trading: Explota errores temporales de precios entre activos correlacionados.
  • Arbitraje Estadístico: Utiliza modelos estadísticos para identificar oportunidades de arbitraje.

Arbitraje

• Ganar utilizando las diferencias de precios en distintos mercados.
  • Arbitraje de Latencia: Explotación de pequeñas discrepancias de precios utilizando una ejecución ultra-rápida.
  • Arbitraje Triangular: Capitaliza las inconsistencias de precios entre tres monedas.

Algoritmos de Ejecución

• Ejecutar eficientemente grandes órdenes sin impactar el mercado.
  • Precio Promedio Ponderado por Volumen (VWAP): $VWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} Price_i * Volume_i}{\sum_{i=1}^{n} Volume_i}$
  • Precio Promedio Ponderado por Tiempo (TWAP): Ejecuta órdenes uniformemente durante un período de tiempo.

Herramientas

• Lenguajes de Programación: Python, Java, C++.
• Plataformas: Interactive Brokers, MetaTrader.
• Fuentes de Datos: Bloomberg, Reuters.

Regulación

• Los organismos reguladores monitorean el trading algorítmico para prevenir la manipulación del mercado y asegurar prácticas justas.

Estadísticas Descriptivas Univariadas

Definiciones

Definición 1: Población e Individuo

• La población es el conjunto de elementos que se desea estudiar.
• Un individuo es un elemento de la población.

Definición 2: Variable

• Una variable es una característica que se mide en cada individuo de la población.
  • Una variable es cuantitativa si toma valores numéricos.
  • Una variable es cualitativa si toma valores no numéricos.

Definición 3: Variable Cuantitativa Discreta

• Una variable cuantitativa es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.

Definición 4: Variable Cuantitativa Continua

• Una variable cuantitativa es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Indicadores de Posición

Definición 5: Media Aritmética

• La media aritmética de una serie estadística es la suma de los valores dividida por el número de valores.
• $\qquad \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Definición 6: Mediana

• La mediana es el valor que divide la población en dos partes iguales, donde la mitad tiene un valor inferior o igual y la otra mitad un valor superior o igual.

Definición 7: Cuantiles

• Los cuantiles son los valores que dividen la población en un número dado de partes iguales.
  • Se incluyen los cuartiles (4 partes), los deciles (10 partes) y los percentiles (100 partes).

Indicadores de Dispersión

Definición 8: Varianza

• La varianza de una serie estadística es la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media.
• $\qquad \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Definición 9: Desviación Estándar

• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
• $\qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Definición 10: Coeficiente de Variación

• El coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la media.
• Permite comparar la dispersión de dos series estadísticas que no tienen la misma unidad.
• $\qquad CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$

Definición 11: Intervalo Intercuartílico

• El intervalo intercuartílico es el intervalo entre el primer y el tercer cuartil.
• Contiene el 50% de la población.

Definición 12: Distancia Intercuartílica

• La distancia intercuartílica es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil.

Guía de inicio rápido de TensorFlow

Tensores

• Los tensores son arrays multidimensionales con un tipo uniforme.

Variables

• Las variables permiten mantener el estado en los pasos.

Operaciones

• Los tensores pueden ser manipulados mediante operaciones.

Ejemplo básico

• Se definen constantes a y b utilizando tf.constant().
• Se evalúan en una sesión de TensorFlow para mostrar la suma y la multiplicación.

Grafos

• Un grafo de TensorFlow es un conjunto de objetos tf.Operation y tf.Tensor.
• Los objetos tf.Operation representan unidades de computación.
• Los objetos tf.Tensor representan las unidades de datos que fluyen entre las operaciones.
• Se define un grafo para realizar una suma de dos variables.

Ejemplo

• Se definen variables a y b utilizando tf.Variable().
• Se realiza la suma de a y b utilizando tf.add().
• Se evalúa en una sesión de TensorFlow después de inicializar las variables.

Regresión lineal

• Se implementa un modelo de regresión lineal utilizando TensorFlow.

Ejemplo

• Se utilizan datos de entrenamiento X y Y de tipo np.float32.
• Se definen variables W y b para el peso y el sesgo, respectivamente.
• Se usa una función de coste para calcular el error.
• Se minimiza la función de coste usando el optimizador Gradient Descent.

Redes neuronales

• Las redes neuronales son modelos de aprendizaje automático utilizados para tareas complejas como la clasificación de imágenes y el procesamiento del lenguaje natural.

Ejemplo

• Se utiliza el conjunto de datos MNIST (dígitos escritos a mano).
• Se define la arquitectura de la red neuronal.
• Se implementa la propagación hacia adelante y la retropropagación para entrenar el modelo.
• Finalmente, se evalúa la precisión del modelo en los datos de prueba de MNIST.

Conclusión

• La guía de inicio rápido proporciona una introducción básica a TensorFlow y cómo se puede utilizar para construir modelos de aprendizaje automático.

Propiedades de la Transformada de Fourier

Linealidad

• La Transformada de Fourier es un operador lineal.
• $F{af(t) + bg(t)} = aF(\omega) + bG(\omega)$

Escalamiento Temporal

• $F{f(at)} = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$

Desplazamiento Temporal

• $F{f(t - t_0)} = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$