Matemáticas: Eliminación de Gauss
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Questions and Answers

¿Cuál es la definición de rango de una matriz?

  • Es el número de filas de la matriz.
  • Es el orden máximo de las submatrices cuadradas, cuyos determinantes no son todos nulos. (correct)
  • Es el total de elementos no nulos en la matriz.
  • Es el menor orden de las submatrices cuadradas cuya determinante es no nula.

    • Si A es una matriz cero, ¿cuál es su rango?

  • El número de filas
  • 0 (correct)
  • 1
  • El número de columnas

    • Si una matriz tiene un rango r, ¿qué podemos afirmar sobre sus submatrices cuadradas?

  • Al menos una submatriz cuadrada de orden r es regular. (correct)
  • Todas las submatrices de orden superior a r son regulares.
  • No puede tener submatrices cuadradas de orden r.
  • Todas las submatrices de orden r son singulares.

    • Si r(A) = r, ¿qué implica esto en cuanto a las submatrices de A?

    <p>A tiene al menos una submatriz cuadrada de orden r regular.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué debe contener una matriz cuyo rango es r > 0?

    <p>Al menos una submatriz cuadrada de orden r que sea regular.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la operación que se realiza en el Renglón 11?

    <p>Multiplicar por ½</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué renglón coincide con el Renglón 14?

    <p>Renglón 12</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué representa el pivote en el proceso de reducción de filas?

    <p>El primer número diferente de cero en una fila</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se obtiene el Renglón 16 en el proceso descrito?

    <p>Anulando los elementos bajo el tercer pivote</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el papel de los controles en la descripción de los renglones?

    <p>Comprobar la equivalencia de las matrices</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la solución del sistema S')?

    <p>(1, 2)</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué representa la notación r(A) y r(A') en este contexto?

    <p>El rango de las matrices</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué determina la matriz escalón equivalente?

    <p>La cantidad de filas no nulas</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se obtiene al anular los elementos debajo del segundo pivote -4?

    <p>Renglón 14</p> Signup and view all the answers

    ¿Por qué se elimina la última ecuación 0y = 0 del sistema S')?

    <p>Porque no aporta información útil</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se debe hacer para calcular r(A) en la matriz A?

    <p>Realizar operaciones elementales por filas</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuántas incógnitas hay en el sistema S)?

    <p>5</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué indica que el sistema S) es 'compatible determinado'?

    <p>Hay una única solución</p> Signup and view all the answers

    Al eliminar la ecuación trivial, ¿cuántas ecuaciones quedan en el sistema S')?

    <p>2</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se obtiene al reemplazar y = 2 en la primera ecuación del sistema?

    <p>x = 1</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la relación entre r(A) y r(M) en un sistema compatible determinado?

    <p>r(A) = r(M) = n</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa que r(A) < n en un sistema homogéneo de igual número de ecuaciones que incógnitas?

    <p>El sistema admite soluciones no triviales.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre el teorema de Rouché?

    <p>Si r(A) = r, entonces Sh es compatible e indeterminado.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se puede deducir si el determinante de A es cero?

    <p>El sistema admite soluciones no triviales.</p> Signup and view all the answers

    En un sistema homogéneo, ¿qué representa r(A)?

    <p>El rango de la matriz de coeficientes.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué sucede con un sistema homogéneo si r(A) = n?

    <p>El sistema es compatible con una única solución, que es la trivial.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cómo se obtienen las soluciones no triviales de un sistema homogéneo?

    <p>Pasando incógnitas secundarias al segundo miembro y dándoles valores arbitrarios.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el resultado al resolver el sistema homogéneo dado en el ejemplo Nº 8?

    <p>Tendrá múltiples soluciones no triviales.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa un sistema homogéneo compatible indeterminado?

    <p>Admite múltiples soluciones no triviales.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la matriz de coeficientes del sistema mencionado?

    <p>A = ⎛1 1 2 4 5⎞</p> Signup and view all the answers

    Si se asigna el valor 13 a b4, ¿cuál parte del ejercicio está relacionada con esta acción?

    <p>Hallazgo de la solución general</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se busca al determinar si los pares (-3; 2; -1; 0; 2) y (-9; -1; 2; 3; 1) son soluciones del sistema?

    <p>Determinar si pertenecen al conjunto solución</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es el total recaudado en el primer día de venta de entradas?

    <p>$9.075</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuáles son los precios de las entradas que se deben hallar?

    <p>Entradas de todas las clases</p> Signup and view all the answers

    En el ejercicio de entradas, ¿cuántas entradas de primera clase se vendieron en la tarde?

    <p>50</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por solución general en el contexto del sistema del ejercicio 4?

    <p>Una expresión que incluye múltiples variables</p> Signup and view all the answers

    Al calcular las entradas vendidas por clase en el primer día, ¿qué clase tuvo la menor cantidad de entradas vendidas?

    <p>Primera clase</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Obtención de Elementos en Matrices

    • Anulación de elementos debajo del primer pivote para simplificación de matrices.
    • Renglones de matrices se modifican mediante operaciones elementales.
    • Control de consistencia en los renglones evaluando ecuaciones.

    Rango de una Matriz

    • El rango (r) de una matriz A es el orden máximo de las submatrices cuadradas de A con determinantes no nulos.
    • r (A) = 0 si A es la matriz nula; de lo contrario, A debe tener al menos una submatriz cuadrada regular de orden r.

    Soluciones de Sistemas de Ecuaciones

    • Un sistema de ecuaciones es compatible si tiene al menos una solución.
    • Si el rango de la matriz de coeficientes (r(A)) es igual al rango de la matriz ampliada (r(M)), hay soluciones únicas o infinitas.

    Condiciones de Soluciones No Triviales

    • Existen soluciones no triviales si r(A) < n (número de incógnitas).
    • Sistemas homogéneos de igual número de ecuaciones e incógnitas siempre admiten soluciones no triviales.

    Ejemplo de Sistema Homogéneo

    • Un sistema como 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ... + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 0 tiene soluciones no triviales si det(A) = 0.
    • Ejemplo de un sistema homogéneo muestra que el rango puede ser evaluado mediante su matriz.

    Resolución de Sistemas de Ecuaciones

    • Para resolver, se forma una matriz asociada y se busca reducir a la forma escalonada.
    • Métodos para hallar soluciones particulares mediante sustituciones.

    Actividades de Aplicación

    • Proyectos prácticos, como determinar precios de entradas basado en ingresos acumulativos, refuerzan el uso de matrices en situaciones reales.
    • El uso de métodos sistemáticos ayuda a resolver problemas complejos de asignación y recaudación.

    Consideraciones Finales

    • La comprobación de la congruencia y consistencia en matrices y sistemas de ecuaciones es esencial para garantizar soluciones correctas.
    • La manipulación de renglones y la obtención de matrices escalonadas son técnicas fundamentales en álgebra lineal para resolver sistemas.

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    Quiz Team

    Description

    Este cuestionario revisa el proceso de eliminación de Gauss aplicado en la obtención de soluciones de sistemas de ecuaciones. A través de ejemplos, podrás practicar cómo anular elementos en las matrices. Ideal para estudiantes de matemáticas en niveles avanzados.

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