मूल बीजगणित अवधारणाएँ

ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। यहाँ अपडेटेड नोट्स हैं:

• बीजगणित गणित की एक शाखा है जो संख्याओं और मात्राओं को दर्शाने के लिए प्रतीकों का उपयोग करती है।
• इसमें गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए सूत्रों और समीकरणों में इन प्रतीकों का उपयोग करना शामिल है।
• बीजगणित उच्च गणित, विज्ञान और विभिन्न अन्य क्षेत्रों के लिए एक आधारभूत अवधारणा है।

बुनियादी बीजगणितीय अवधारणाएँ

• चर: एक प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर) जो एक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है जो बदल या भिन्न हो सकता है
• स्थिर: एक निश्चित मान जो नहीं बदलता
• अभिव्यक्ति: चर, स्थिरांक और बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक) का संयोजन
• समीकरण: एक कथन कि दो व्यंजक बराबर हैं, जिसे बराबर चिह्न (=) से दर्शाया गया है
• गुणांक: एक संख्या जो एक बीजगणितीय व्यंजक में एक चर से गुणा की जाती है
• पद: एक एकल संख्या या चर, या संख्याएँ और चर एक साथ गुणा किए जाते हैं

बीजगणितीय संक्रियाएँ

• जोड़ (+): पदों को मिलाना
• घटाव (-): पदों के बीच अंतर ज्ञात करना
• गुणा (* या ×): पदों को बढ़ाना
• भाग (/ या ÷): पदों को बराबर भागों में विभाजित करना
• घातांक (^): एक पद को घात तक बढ़ाना

बीजगणित के नियम

• विनिमेय नियम: ऑपरेंड का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है (a + b = b + a, a * b = b * a)
• साहचर्य नियम: ऑपरेंड का समूहन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है ((a + b) + c = a + (b + c), (a * b) * c = a * (b * c))
• वितरक नियम: योग या अंतर पर एक कारक वितरित करना (a * (b + c) = a * b + a * c)
• पहचान नियम:
  • योज्य पहचान: a + 0 = a (शून्य योज्य पहचान है)
  • गुणक पहचान: a * 1 = a (एक गुणक पहचान है)
• व्युत्क्रम नियम:
  • योज्य व्युत्क्रम: a + (-a) = 0 (-a का योज्य व्युत्क्रम है)
  • गुणक व्युत्क्रम: a * (1/a) = 1 (1/a, a का गुणक व्युत्क्रम है, जहाँ a ≠ 0)

रैखिक समीकरणों को हल करना

• एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात 1 होती है
• एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों पर समान संक्रियाएँ करके चर को समीकरण के एक तरफ अलग करें
• बुनियादी चरण:
  • समीकरण के दोनों पक्षों को समान पदों को मिलाकर और कोष्ठकों को हटाकर सरल कीजिए
  • पदों को समीकरण के सही पक्ष में ले जाने के लिए जोड़ या घटाव का उपयोग करें
  • चर को अलग करने के लिए गुणा या भाग का उपयोग करें

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

• रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली समान चरों वाले दो या दो से अधिक रैखिक समीकरणों का एक समूह है
• हल करने के तरीके:
  • प्रतिस्थापन: एक चर के लिए एक समीकरण हल करें और उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें
  • विलोपन (जोड़/घटाव): एक या दोनों समीकरणों को एक स्थिरांक से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक विपरीत हों, फिर उस चर को खत्म करने के लिए समीकरणों को एक साथ जोड़ें
  • रेखांकन: समन्वय तल पर प्रत्येक समीकरण को ग्राफ़ करें; प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान है

बहुपद

• एक बहुपद चर और गुणांकों से बना एक व्यंजक है, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा और गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक की संक्रियाएँ शामिल हैं
• बहुपद के पद: बहुपद के व्यक्तिगत घटक, जोड़ या घटाव द्वारा अलग किए गए
• एक पद की घात: पद में चरों के घातांकों का योग
• बहुपद की घात: बहुपद में किसी भी पद की उच्चतम घात
• मानक रूप: घात के अवरोही क्रम में पदों के साथ एक बहुपद लिखना

बहुपद संक्रियाएँ

• जोड़/घटाव: समान पदों को मिलाएं (समान चर और घातांक वाले पद)
• गुणा: एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद में वितरित करें
• भाग: लंबी भाग या सिंथेटिक भाग का उपयोग करके किया जा सकता है, खासकर जब एक रैखिक कारक द्वारा विभाजित किया जाता है

बहुपदों का गुणनखंडन

• गुणनखंडन दो या दो से अधिक सरल बहुपदों के गुणनफल के रूप में एक बहुपद लिखने की प्रक्रिया है
• सामान्य तकनीकें:
  • सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ): सभी पदों के लिए सामान्य सबसे बड़े कारक को विभाजित करें
  • वर्गों का अंतर: a² - b² = (a + b)(a - b)
  • पूर्ण वर्ग त्रिपद: a² + 2ab + b² = (a + b)², a² - 2ab + b² = (a - b)²
  • द्विघात त्रिपद: ax² + bx + c के रूप के त्रिपदों का गुणनखंडन करें

द्विघात समीकरण

• एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ a ≠ 0
• हल करने के तरीके:
  • गुणनखंडन: द्विघात व्यंजक का गुणनखंडन करें और प्रत्येक कारक को शून्य पर सेट करें
  • वर्ग को पूरा करना: एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाने के लिए समीकरण में हेरफेर करें
  • द्विघात सूत्र: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
• विभेदक: द्विघात सूत्र के भीतर व्यंजक b² - 4ac, जो मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है:
  • यदि b² - 4ac > 0: दो अलग-अलग वास्तविक मूल
  • यदि b² - 4ac = 0: एक वास्तविक मूल (एक दोहराया गया मूल)
  • यदि b² - 4ac < 0: दो जटिल मूल

परिमेय व्यंजक

• एक परिमेय व्यंजक एक भिन्न है जहाँ अंश और हर बहुपद हैं
• परिमेय व्यंजकों को सरल बनाना: अंश और हर का गुणनखंडन करें और सामान्य कारकों को रद्द करें
• संक्रियाएँ:
  • गुणा: अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करें; यदि संभव हो तो सरल कीजिए
  • भाग: दूसरे भिन्न को उल्टा करें और गुणा करें
  • जोड़/घटाव: एक सामान्य हर खोजें, फिर अंशों को जोड़ें या घटाएँ
• परिमेय समीकरणों को हल करना: भिन्नों को खत्म करने के लिए दोनों पक्षों को सबसे छोटे सामान्य हर (एलसीडी) से गुणा करें, फिर परिणामी समीकरण को हल करें

असमानताएँ

• एक असमानता एक कथन है जो असमानता प्रतीकों (,, ≤, ≥) का उपयोग करके दो व्यंजकों की तुलना करता है
• असमानताओं को हल करना: समीकरणों को हल करने के समान, लेकिन एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता चिह्न उलट जाता है
• अंतराल संकेतन: अंतरालों का उपयोग करके असमानता के समाधान सेट को व्यक्त करना, जैसे कि (a, b), [a, b], (a, ∞), आदि।
• यौगिक असमानताएँ: "और" या "या" के साथ दो या दो से अधिक असमानताओं का संयोजन

निरपेक्ष मान

• एक संख्या का निरपेक्ष मान शून्य से उसकी दूरी है, जिसे |x| से दर्शाया गया है
• निरपेक्ष मान समीकरणों को हल करना: धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मामलों पर विचार करें:
  • यदि |x| = a, तो x = a या x = -a
• निरपेक्ष मान असमानताओं को हल करना:
  • यदि |x| एक संख्या जो इंगित करती है कि एक आधार संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया जाता है
• घातांक के नियम:
  • घातों का गुणनफल: aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  • घातों का भागफल: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
  • घात की घात: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  • गुणनफल की घात: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  • भागफल की घात: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
  • ऋणात्मक घातांक: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
  • शून्य घातांक: a⁰ = 1 (यदि a ≠ 0)
• मूल: एक संख्या का मूल, जैसे कि वर्गमूल (√), घनमूल (∛), आदि।
• मूलों को सरल बनाना: मूल के अंदर की संख्या का गुणनखंडन करें (मूल के नीचे की संख्या) ताकि पूर्ण वर्ग (या घन, आदि) कारकों को हटाया जा सके
• हर को परिमेय बनाना: एक उपयुक्त रूप से गुणा करके एक भिन्न के हर से मूलों को हटाना