Логарифмичні функції

Логарифм

• Определение: Логарифм числа b по основанию a (логарифм a по основанию b) — это степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b. Обозначается как log_a(b).

• Основные свойства логарифмов:

  1. Логарифм произведения: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  2. Логарифм частного: log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
  3. Логарифм степени: log_a(x^n) = n * log_a(x)
  4. Логарифм единицы: log_a(1) = 0, так как a^0 = 1
  5. Логарифм основания: log_a(a) = 1, так как a^1 = a

• Изменение основания:

  • log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), где c — любое положительное число, отличное от 1.

• Числовые примеры:

  1. log_2(8) = 3, так как 2^3 = 8.
  2. log_10(1000) = 3, так как 10^3 = 1000.

• Применения логарифмов:

  • Решение уравнений.
  • Моделирование экспоненциального роста и распада (например, популяции, радиоактивный распад).
  • В статистике и науке для обработки данных (применение логарифмической шкалы).

• График логарифмической функции:

  • Возрастает, если основание > 1; убывает, если 0 < основание < 1.
  • Пересекает ось Y в точке (1,0) и асимптотически приближается к оси Y (не пересекает).

• Логарифмическая шкала: Используется в разных областях (например, декартова система координат, в шкале Рихтера для измерения землетрясений).

Логарифм

• Визначення: Логарифм числа b за основою a (логарифм a за основою b) - це ступінь, до якої потрібно звести основу a, щоб отримати b. Позначається як log_a(b).
• Основні властивості логарифмів:
  • Логарифм добутку: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  • Логарифм частки: log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
  • Логарифм степеня: log_a(x^n) = n * log_a(x)
  • Логарифм одиниці: log_a(1) = 0, оскільки a^0 = 1
  • Логарифм основи: log_a(a) = 1, оскільки a^1 = a
• Зміна основи: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), де c - будь-яке додатне число, відмінне від 1.
• Числові приклади:
  • log_2(8) = 3, оскільки 2^3 = 8.
  • log_10(1000) = 3, оскільки 10^3 = 1000.
• Застосування логарифмів:
  • Розв'язування рівнянь.
  • Моделювання експоненціального зростання та розпаду (наприклад, популяції, радіоактивний розпад).
  • В статистиці та науці для обробки даних (застосування логарифмічної шкали).
• Графік логарифмічної функції:
  • Зростає, якщо основа > 1; спадає, якщо 0 < основа < 1.
  • Перетинає вісь Y в точці (1,0) та асимптотично наближається до осі Y (не перетинає).
• Логарифмічна шкала: Використовується в різних сферах (наприклад, декартова система координат, шкала Ріхтера для вимірювання землетрусів).