Линейная алгебра: Диагональные матрицы

Study Notes

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали равны нулю.
Прямоугольная матрица m×n называется квадратной, если m = n.
При умножении матрицы на число, все элементы матрицы умножаются на это число.
Умножение двух матриц определено, только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Сложение двух матриц определено, только если число строк и столбцов обеих матриц одинаково.
Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.
Алгебраическое дополнение элемента aᵢⱼ определяется как (-1)ⁱ⁺ʲ умноженное на минор этого элемента.

Определитель квадратной матрицы равен нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.
Перестановка двух строк (столбцов) определителя меняет его знак на противоположный.
Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система линейных уравнений, имеющая единственное решение, называется определённой.
Совместная система линейных уравнений, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределённой.
Несовместная система линейных уравнений не имеет решений.
Однородная система всегда совместна.

Алгебраическое дополнение элемента aᵢⱼ равно (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ, где Mᵢⱼ - минор элемента aᵢⱼ.

Обратная матрица A⁻¹ к квадратной матрице А существует, если ее определитель не равен нулю (Δ≠0).
Определитель обратной матрицы равен единице, деленной на определитель исходной матрицы.