Линейная алгебра: Диагональные матрицы

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Прямоугольная матрица называется квадратной, если количество строк равно количеству столбцов.

При умножении матрицы на число умножаются все элементы матрицы.

Умножение двух матриц определено только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Сложение двух матриц определено только тогда, когда количество строк и столбцов обеих матриц одинаково.

Величина определителя равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны.

Величина определителя не изменится, если общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) вынести за знак определителя.

Алгебраическое дополнение элемента равно минору, умноженному на (-1) в степени i + j.

Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле: det(A) = ad - bc.

Минор элемента a_ij в определителе четвертого порядка равен определителю, полученному удалением i-ой строки и j-ого столбца.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Разложение вектора по базису в пространстве, имеет вид:

Угол между двумя векторами и вычисляется по формуле:

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Векторное произведение векторов и находится по формуле:

Скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле:

Смешанное произведение векторов находится по формуле:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид: y = kx + b.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ , имеет вид: k₁k₂ = -1.

Площадь треугольника, ограниченного прямой y = kx + b и координатными осями, вычисляеся по формуле: S = |b/2k|

Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой, осью абсцисс и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле: V = pi * int_a^b(f(x))²dx.

Уравнение плоскости, заданное точкой и нормальным вектором, имеет вид: a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0.

Ранг матрицы - это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Функция y = f(x) называется четной, если f(-x) = f(x).

Предел функции f(x) при x стремящемся к a равен A (lim_x→a f(x) = A), если при любом ε > 0 можно найти δ > 0 так, что для любого x из проколотой окрестности точки a (0 < |x - a| < δ) выполняется неравенство |f(x) - A| < ε.

Производная функции f(x) в точке x есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции.