Linear Functions in Algebra

Functions

Linear Functions

• A linear function is a polynomial of degree one, which means the highest power of the variable (usually x) is one.
• The general form of a linear function is: f(x) = mx + b, where:
  • m is the slope (a measure of how steep the line is)
  • b is the y-intercept (the point where the line crosses the y-axis)
• Characteristics:
  • The graph is a straight line
  • The slope is constant
  • The function has a constant rate of change
• Examples:
  • f(x) = 2x + 3
  • f(x) = -x - 2

Quadratic Functions

• A quadratic function is a polynomial of degree two, which means the highest power of the variable (usually x) is two.
• The general form of a quadratic function is: f(x) = ax^2 + bx + c, where:
  • a is the coefficient of the x^2 term
  • b is the coefficient of the x term
  • c is the constant term
• Characteristics:
  • The graph is a parabola (a U-shaped curve)
  • The function has a vertex (a maximum or minimum point)
  • The function can have zero, one, or two x-intercepts
• Examples:
  • f(x) = x^2 + 4x + 4
  • f(x) = -2x^2 + 3x - 1

توابع خطی

• تابعی خطی، چندجمله‌ای از درجه یک است که به این معنی است که بالاترین قدرت متغیر (معمولا x) یک است.* فرم عمومی تابع خطی به صورت f(x) = mx + b است، که:
  • m شیب است (اندازه‌ای از آنچنانی خط است)
  • b قطع ی 축 y است (نقطه‌ای که خط از آن می‌گذرد)
• خصائص:
  • نمودار، خطی مستقیمی است
  • شیب ثابت است
  • تابع نرخ تغییر ثابت دارد
• مثال‌ها:
  • f(x) = 2x + 3
  • f(x) = -x - 2

توابع درجه دوم

• تابعی درجه دوم، چندجمله‌ای از درجه دو است که به این معنی است که بالاترین قدرت متغیر (معمولا x) دو است.* فرم عمومی تابع درجه دوم به صورت f(x) = ax^2 + bx + c است، که:
  • a ضریب عبارت x^2 است
  • b ضریب عبارت x است
  • c عبارت ثابت است
• خصائص:
  • نمودار، پارابولی (منحنی U‌شکل) است
  • تابع نقطه اوج دارد (نقطه‌ی بیشینه یا کمینه)
  • تابع صفر، یک یا دو تقاطع轴 x دارد
• مثال‌ها:
  • f(x) = x^2 + 4x + 4
  • f(x) = -2x^2 + 3x - 1