Les bases de l'algèbre linéaire

• Ces notes présentent les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire.

Définitions de base

Espace vectoriel

• Structure mathématique définie sur un ensemble E, avec deux opérations : l'addition et la multiplication scalaire.
• L'addition associe à deux éléments de E un troisième élément de E, notée (u, v) ↦ u + v.
• La multiplication scalaire associe à un scalaire K et un élément de E un élément de E, notée (λ, u) ↦ λu.
• Pour être un espace vectoriel, (E, +) doit être un groupe abélien et les propriétés suivantes doivent être respectées pour tous λ, μ ∈ K et u, v ∈ E : λ(μu) = (λμ)u, (λ + μ)u = λu + μu, λ(u + v) = λu + λv, et 1u = u.

Sous-espace vectoriel

• Un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si 0_E ∈ F, ∀u, v ∈ F, u + v ∈ F et ∀λ ∈ K, ∀u ∈ F, λu ∈ F.
• En d'autres termes, F doit contenir le vecteur nul, être fermé sous l'addition et la multiplication scalaire.

Combinaison linéaire

• Expression formée en multipliant des vecteurs u1,..., un ∈ E par des scalaires λ1,..., λn ∈ K et en les sommant : λ1u1 +...+ λnun.

Famille génératrice

• Une famille de vecteurs (u1,..., un) est génératrice si tout vecteur de E peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Famille libre

• Une famille de vecteurs (u1,..., un) est libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.
• Mathématiquement, λ1u1 +...+ λnun = 0 implique λ1 =... = λn = 0.

Base

• Une base de E est une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice.
• Tous les espaces vectoriels de dimension finie possèdent une base.

Dimension

• La dimension de E, notée dim(E), est définie comme le nombre de vecteurs dans une base de E.

Applications linéaires

Définition

• Une application linéaire est une fonction f : E → F qui préserve les opérations d'addition et de multiplication scalaire.
• Formellement, ∀u, v ∈ E, f(u + v) = f(u) + f(v) et ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, f(λu) = λf(u).

Noyau et image

• Le noyau de f, noté ker(f), est l'ensemble des vecteurs de E qui sont envoyés sur le vecteur nul de F : ker(f) = {u ∈ E | f(u) = 0_F}.
• L'image de f, notée Im(f), est l'ensemble des vecteurs de F qui sont l'image d'au moins un vecteur de E : Im(f) = {f(u) | u ∈ E}.
• ker(f) est un sous-espace vectoriel de E, et Im(f) est un sous-espace vectoriel de F.

Rang

• Le rang de f, noté rg(f), est la dimension de son image : rg(f) = dim(Im(f)).

Théorème du rang

• Le théorème du rang relie la dimension de l'espace de départ à la dimension du noyau et de l'image : dim(E) = dim(ker(f)) + rg(f).

Matrices

Définition

• Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, de taille m × n si elle a m lignes et n colonnes.

Opérations

• Addition : L'élément (i, j) de A + B est la somme des éléments (i, j) de A et B : (A + B)_ij = A_ij + B_ij.
• Multiplication scalaire : L'élément (i, j) de λA est le produit de λ et de l'élément (i, j) de A : (λA)_ij = λA_ij.
• Multiplication matricielle : L'élément (i, j) de AB est la somme des produits des éléments de la ligne i de A et de la colonne j de B : (AB)ij = ∑(k=1)^n A_ik B_kj.

Transposée

• La transposée de A, notée A^T, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A : (A^T)_ij = A_ji.

Matrice inverse

• Une matrice A est inversible s'il existe une matrice A^(-1) telle que AA^(-1) = A^(-1)A = I, où I est la matrice identité.

Déterminant

• Le déterminant d'une matrice carrée A, noté det(A), est un scalaire qui peut être calculé de différentes manières (par exemple, par récurrence).
• Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition

• Un vecteur propre de A est un vecteur non nul v tel que Av = λv, où λ est la valeur propre associée à v.

Polynôme caractéristique

• Le polynôme caractéristique de A est défini par p(λ) = det(A - λI).
• Les valeurs propres de A sont les racines de son polynôme caractéristique.

Diagonalisation

• Une matrice A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que P^(-1)AP = D, où D est une matrice diagonale.
• Les éléments diagonaux de D sont les valeurs propres de A, et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.