La Mediana e la Media Aritmetica

Study Notes

La mediana è una misura di posizione che divide un insieme di dati in due parti equifrequenti, ovvero con lo stesso numero di osservazioni sopra e sotto il suo valore.
Quando la numerosità della popolazione (N) è dispari, la mediana è data dall'osservazione (X) posizionata al posto (N+1)/2.
In caso di N dispari, la mediana è l'osservazione che si trova al centro dell'insieme ordinato.
Quando la numerosità della popolazione (N) è pari, la mediana è data dalla media aritmetica tra l'osservazione X posizionata al posto (N/2) e l'osservazione X posizionata al posto (N/2 + 1).
In caso di N pari, la mediana è la media dei due valori centrali dell'insieme ordinato.
La mediana è una misura di posizione non influenzata dai valori estremi, al contrario della media.

La media aritmetica è una misura di sintesi di posizione, rappresenta il valore medio di un insieme di dati.
La media aritmetica μ(X) è sempre espressa nella stessa unità di misura dei dati a cui si riferisce.
In caso di un insieme non aggregato, la media aritmetica si calcola come la somma di tutte le osservazioni diviso il numero totale di osservazioni (N).
In caso di una distribuzione statistica con frequenze assolute, la media aritmetica si calcola come la somma dei prodotti tra il valore di ciascuna modalità e la sua frequenza.
La media aritmetica possiede diverse proprietà:
- La media di una costante è la costante stessa.
- La media della somma di una costante e una variabile è data dalla somma della costante e della media della variabile.
- La media del prodotto di una costante e una variabile è data dal prodotto della costante e della media della variabile.
- La media della somma algebrica di due variabili è uguale alla somma algebrica delle loro medie.
- La somma degli scarti dalla media è nulla.
- La media è l'operatore che minimizza la somma degli scarti quadratici.
- La media aritmetica è il primo momento (M1) della distribuzione.

La moda è la modalità (il valore) che si presenta con maggiore frequenza in un insieme o distribuzione di dati.
Per un insieme non aggregato, la moda è l'osservazione che compare più volte.
Per una distribuzione statistica con carattere discreto, la moda è la modalità con frequenza assoluta maggiore.
Se ci sono più modalità con la stessa frequenza, la distribuzione è bimodale.
Per una distribuzione statistica continua con intervalli, non si parla di moda, ma di classe modale, ovvero la classe con la frequenza più alta.